专题04 统计与概率（期末真题汇编，浙江专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集浙江多地高一下期末真题，聚焦统计与概率6大核心考点，情境涵盖亚运会、新能源汽车销量等社会热点，基础题与综合题梯度分明，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|30+|随机抽样、数字特征、互斥独立事件|结合分层抽样（如超市营业情况调查）、方差计算（如成绩数据变换）等基础考点| |解答题|10+|图表分析、概率综合|以频率分布直方图（如体重管理知识竞赛成绩）、统计与概率结合（如AI学习工具使用时间调查）为载体，考查数据处理与综合应用能力|

专题04 统计与概率 高频考点概览 考点01随机抽样 考点02样本数字特征 考点03用图表分析样本数字特征 考点04 随机事件的概率计算 考点05 互斥、对立与独立事件 考点06 统计与概率的综合 考点01 随机抽样 1．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)1班有学生45人，2班有学生27人，3班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出24人参加数学趣味活动，那么1班被抽取的人数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．以上都不正确 2．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 3．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为（   ） A．12 B．6 C．4 D．2 考点02 样本数字特征 1．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的众数为___________； 2．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)现有一组数据12，13，15，14，12，20，18，19，则这组数据的第55百分位数为（   ） A．14 B．14.5 C．15 D．18 3．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知数据，，，的平均数为5，数据，，，的平均数为6，则数据，，…，，，，…，的平均数为（   ） A． B．5 C．6 D． 4．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)已知的方差为3，则的方差为（   ） A．6 B．7 C．12 D．18 5．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A．7，8 B．7，16 C．6，8 D．6，16 6．(24-25高一下·浙江丽水·期末)某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知样本数据，，，，的平均数是4，方差是1，则新样本数据，，，，，的（   ） A．平均数是7 B．平均数是 C．方差是4 D．方差是 8．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)某新能源汽车4S店2024年6月到2025年3月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，19，24，25，25，27，32，37，35，40，则关于这组数据的结论正确的是（   ） A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25 9．(24-25高一下·浙江台州·期末)在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为，则此样本的方差不可能为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 10．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)某次测量中得到的样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若样本数据恰好是样本数据都加2后所得，则两样本的下列数字特征对应相同的是（    ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 11．(24-25高一下·浙江丽水·期末)有一组样本数据：，，，，，，，，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（    ） A．中位数 B．平均数 C．极差 D．众数 12．(24-25高一下·浙江温州·期末)下列各组数据中方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，4，5，6，7 D．2，2，5，8，8 13．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)有一组样本数据，其中，则（    ） A．该组数据的中位数为2.5 B．该组数据的极差大于1 C．该组数据的平均数等于的平均数 D．该组数据的方差不小于的方差 14．(24-25高一下·浙江衢州·期末)下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 1．(24-25高一下·浙江衢州·期末)下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（   ） 考点03 用图表分析样本数字特征 A．B．C． D． 2．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（   ）   A． B．估计样本的中位数为23 C．估计样本的众数为22 D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人 3．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（    ）   A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的均值大于乙得分的均值 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 4．(24-25高一下·浙江台州·期末)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW·h之间，进行恰当分组后（最后一组为闭区间，其余各组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. (1)求直方图中x的值； (2)试估计该小区用户月用电量的平均数. 5．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.   (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的 （i）第70百分位数（结果用分数表示）； （ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）. 6．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)2025年是“全民体重管理年”，健康体重成为社会关注的新焦点．为了提升人们体重管理意识和技能，预防控制超重肥胖，某市开展“体重管理知识”宣传活动．举办了“体重管理”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图．   (1)求图中a的值与该样本数据的第60百分位数； (2)根据该频率分布直方图，估计1000个参赛选手中有多少人能得60分及以上． 7．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）． (1)求的值； (2)求该样本的平均数和中位数． 8．(24-25高一下·浙江丽水·期末)某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图．   (1)求出频率分布直方图中的值； (2)请估计样本数据的众数和平均数； (3)学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 9．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)对800名学生的成绩进行统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和80%分位数（保留1位小数）； (2)现从中采用分层随机抽样的方法抽取20人若成绩在的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和55.4；第四组的学生实际成绩的平均数与方差分别为87分和2，求第三组的学生实际成绩的平均数与方差． 10．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低分，最高分）． (1)求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围； (3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差． 考点04 随机事件的概率计算 1．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)从2，4，8，16中任取两个数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·浙江台州·期末)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，且两个人的射击结果互不影响，若甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，则两人都中靶的概率为_______. 4．(24-25高一下·浙江丽水·期末)甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为__________． 5．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为___________． 6．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·浙江台州·期末)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（    ） A．， B．， C． D． 9．(24-25高一下·浙江衢州·期末)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 11．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 13．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则______. 14．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0，1，2，3，4．从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为，记，且． (1)求事件“”发生的概率； (2)求事件“”发生的概率． 15．(24-25高一下·浙江衢州·期末)某次竞赛共有20道题，甲、乙、丙三位同学分别能答对其中的12道题，8道题和道题．假设每道题被抽中的可能性相等，现从中任选一题，由三位同学独立作答． (1)求甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三位同学中至少有一人答对的概率为，求的值． 16．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中（）个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖．一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖（每位顾客只有一次抽奖机会）． (1)若，求一次抽奖中奖的概率； (2)若要求一次抽奖中奖的概率最小． （ⅰ）求； （ⅱ）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率． 17．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 考点05 互斥、对立与独立事件 1．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)设样本空间含有等可能的样本点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知事件A与B相互独立，且，，则（   ） A．0.8 B．0.5 C．0.56 D．0.94 3．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，若，且与相互独立，则_______． 4．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)甲、乙、丙三人各自独立破解同一密码，成功率分别为0.5，0.6，0.4.现定义事件为“甲和乙至少有一人成功”，事件为“丙未成功”，则（    ） A．0.28 B．0.36 C．0.42 D．0.48 5．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知集合是的子集，且，则的概率为______． 6．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)有一个质地均匀的骰子，连续投掷两次，表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是6”，表示事件“第二次投掷正面朝上的点数是5”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是7”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是8”，则以下说法正确的是（       ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成双”，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)若，，，则（    ） A．事件A与B不互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立 9．(24-25高一下·浙江温州·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（    ） A．事件乙和事件丙互斥 B．事件丙和事件丁互为对立 C．事件甲与事件丙相互独立 D．事件乙与事件丁相互独立 10．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．乙与丁互斥 D．丙与丁互为对立 11．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 12．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（   ） A．事件A与C是互斥事件 B．事件B与D是对立事件 C．事件C与D相互独立 D． 13．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)一个盒子中装有标号为的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件“两张标签标号之积大于15”，事件“第一张标签标号小于3”，则（    ） A． B． C．与互斥 D．与相互独立 14．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 15．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若与相互独立，则 16．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（       ） A．事件与事件互为对立事件 B．若，则 C．若，则 D．若，则事件与事件相互独立 17．(24-25高一下·浙江丽水·期末)甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（    ） A．事件、是相互独立事件 B．事件、是互斥事件 C． D． 考点06 概率统计的综合 1．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.   (1)求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 2．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． (1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ (2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） (3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 3．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个． (1)求n和乙样本直方图中a的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； (3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率． 4．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)从某学校的600名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. (1)求第六组，第七组的频率； (2)估计该校的600男生的身高的平均数和第75百分位数（精确到0.1）， (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求. 5．(24-25高一下·浙江温州·期末)为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最低一档），的用户缴费在第二档，的用户缴费在第三档（最高一档）．为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图．   (1)求直方图中的值； (2)请估计月均用电量第一档的范围； (3)用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在的概率． 6．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 注：第一部分有m个数，平均数为，方差为，第二部分有n个数，平均数为，方差为，记样本均值为，样本方差为，则，. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 统计与概率 高频考点概览 考点01随机抽样 考点02样本数字特征 考点03用图表分析样本数字特征 考点04 随机事件的概率计算 考点05 互斥、对立与独立事件 考点06 统计与概率的综合 考点01 随机抽样 1．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)1班有学生45人，2班有学生27人，3班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出24人参加数学趣味活动，那么1班被抽取的人数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．以上都不正确 【答案】B 【详解】根据分层抽样的比例计算可得.故选：B 2．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【详解】由条件可知高一年级应抽取的人数是人.故选：B. 3．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为（   ） A．12 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【详解】依题意，抽取中型超市的数量为.故选：B 考点02 样本数字特征 1．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的众数为___________； 【答案】5 【详解】由题设，给定数据中5出现次数最多，故众数为5.故答案为：5 2．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)现有一组数据12，13，15，14，12，20，18，19，则这组数据的第55百分位数为（   ） A．14 B．14.5 C．15 D．18 【答案】C 【详解】从小到大排列：12，12，13，14，15，18，19，20，由，得这组数据得第55百分位数为第五个数，等于15.故选：C 3．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知数据，，，的平均数为5，数据，，，的平均数为6，则数据，，…，，，，…，的平均数为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【详解】因为数据，，，的平均数为5，数据，，，的平均数为6，所以数据，，…，，，，…，的平均数为.故选：D. 4．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)已知的方差为3，则的方差为（   ） A．6 B．7 C．12 D．18 【答案】C 【详解】因为的方差为3，所以的方差为.故选：C. 5．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A．7，8 B．7，16 C．6，8 D．6，16 【答案】B 【详解】由题意，，.所以，，，的平均数，方差.故选：B. 6．(24-25高一下·浙江丽水·期末)某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选D 7．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知样本数据，，，，的平均数是4，方差是1，则新样本数据，，，，，的（   ） A．平均数是7 B．平均数是 C．方差是4 D．方差是 【答案】C 【详解】由题意可得，，所以新样本的平均数为，故A、B错误；设新样本为， 则 .故选：C. 8．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)某新能源汽车4S店2024年6月到2025年3月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，19，24，25，25，27，32，37，35，40，则关于这组数据的结论正确的是（   ） A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25 【答案】ABC 【详解】此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为16，19，24，25，25，27，32，35，37，40，平均数为，则极差为，众数为25， 由题意，所以这组数据的中位数为，故ABC正确，D错误.故选：ABC. 9．(24-25高一下·浙江台州·期末)在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为，则此样本的方差不可能为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】AB 【详解】设总平均数为，高一的平均数为，高二的平均数为，高三的平均数为，该样本的方差为， 则 ，则此样本的方差不可能为，故A，B正确.故选：AB 10．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)某次测量中得到的样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若样本数据恰好是样本数据都加2后所得，则两样本的下列数字特征对应相同的是（    ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 【答案】D 【详解】设样本的平均值为，方差为，则样本的平均值为，，样本的方差相同．故选：D． 11．(24-25高一下·浙江丽水·期末)有一组样本数据：，，，，，，，，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（    ） A．中位数 B．平均数 C．极差 D．众数 【答案】C 【详解】由题设数据，其中位数、众数为3，平均数，极差为， 所以最大的为极差.故选：C 12．(24-25高一下·浙江温州·期末)下列各组数据中方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，4，5，6，7 D．2，2，5，8，8 【答案】D 【详解】对于A：数据全部为5，相等，没有波动，所以方差为0.对于B：平均数为， 方差为.对于C：平均数为，方差为.对于D： 平均数为，方差为.通过比较可知，选项D的方差最大.故选：D. 13．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)有一组样本数据，其中，则（    ） A．该组数据的中位数为2.5 B．该组数据的极差大于1 C．该组数据的平均数等于的平均数 D．该组数据的方差不小于的方差 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以该组数据的中位数为，故A正确；对于B，因为，所以，又因为，所以，所以该组数据的极差大于1，故B正确；对于C，该组数据的平均数为，而数据的平均数为，若两组数据的平均数相等，则，即，不一定成立，故C错误；对于D，因为数据的平均数为，所以数据的方差为，新增数据后，方差为： ，此时对称轴，而， 故，此时对称轴，故 ，故样本数据的方差必然大于原方差，故D正确.故选：ABD. 14．(24-25高一下·浙江衢州·期末)下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【详解】对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误； 对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确； 对于C：若，即，故C正确； 对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为， 所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确. 故选：BCD. 1．(24-25高一下·浙江衢州·期末)下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（   ） 考点03 用图表分析样本数字特征 A．B．C． D． 【答案】D 【详解】对于A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，故A和B错误； 对于C，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，故C错误． 对于D，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，故D正确. 故选：D. 2．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（   ）   A． B．估计样本的中位数为23 C．估计样本的众数为22 D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人 【答案】D 【详解】对A，由题意，，解得，故A正确；对B，区间的频率分别为，因为，，故中位数位于内.设中位数为，则，解得，故B正确；对C，由直方图可得估计这组数据的众数为，故C正确；对D，由直方图可得的频率为，故估计全校学生BMI值落在区间的人数为，故D错误.故选：D 3．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（    ）   A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的均值大于乙得分的均值 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】AC 【详解】对于A，将甲的得分从大到小排列为8.1，8.2，8.3，8.4，8.4，8.7，易知其中位数为， 乙的得分从大到小排列为7.8，7.9，8.0，8.0，8.4，8.6，易知其中位数为，所以可得甲得分的中位数大于乙得分的中位数，即A正确；对于B，易知甲得分的极差为，乙得分的极差为，因此甲得分的极差小于乙得分的极差，即B错误；对于C，甲得分的均值为，乙得分的均值为，所以甲得分的均值大于乙得分的均值，即C正确；对于D，结合统计图以及甲、乙得分的极差可知，乙得分的离散程度较大，因此甲得分的方差小于乙得分的方差，可得D错误.故选：AC 4．(24-25高一下·浙江台州·期末)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW·h之间，进行恰当分组后（最后一组为闭区间，其余各组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. (1)求直方图中x的值； (2)试估计该小区用户月用电量的平均数. 【详解】（1）因为小长方形面积和为， 所以，解得． （2）居民月用电量的平均数为 . 5．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.   (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的 （i）第70百分位数（结果用分数表示）； （ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）. 【详解】（1），所以； （2）（i）因为， ， 所以第70百分位数在12和16之间，设第70百分位数是， ， （ii） 6．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)2025年是“全民体重管理年”，健康体重成为社会关注的新焦点．为了提升人们体重管理意识和技能，预防控制超重肥胖，某市开展“体重管理知识”宣传活动．举办了“体重管理”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图．   (1)求图中a的值与该样本数据的第60百分位数； (2)根据该频率分布直方图，估计1000个参赛选手中有多少人能得60分及以上． 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 解得， 可得数据在的频率为0.05，数据在的频率为0.15，数据在的频率为0.35，数据在的频率为0.65，所以第60百分位数在， 设样本数据的第60百分位数为，可得，解得， 所以第60百分位数为； （2）样本数据中，得分在60分及以上的参赛选手所占的比例为， 所以可估计1000个参赛选手中得60分及以上的人数为. 7．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）． (1)求的值； (2)求该样本的平均数和中位数． 【详解】（1）由题意知：，所以. （2）由题意知：， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为，所以， 由中位数的定义可得，解得，即中位数为． 8．(24-25高一下·浙江丽水·期末)某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图．   (1)求出频率分布直方图中的值； (2)请估计样本数据的众数和平均数； (3)学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 【详解】（1）由直方图知，所以； （2）平均值为：分，众数为：分； （3）成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励． 9．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)对800名学生的成绩进行统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和80%分位数（保留1位小数）； (2)现从中采用分层随机抽样的方法抽取20人若成绩在的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和55.4；第四组的学生实际成绩的平均数与方差分别为87分和2，求第三组的学生实际成绩的平均数与方差． 【详解】（1）根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为， 前2组的频率为，前3组的频率为， 所以80%分位数位于，设80%分位数为， 由，解得，即80%分位数为76.7. （2）根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人， 各段抽取的人生分别为：6人，8人，3人，2人和1人， 其中分数在区间的学生为5人，其平均成绩与方差分别为， 设第四组学生实际成绩的平均数和方差为， 设第三组学生实际成绩的平均数和方差为， 由，可得， 可得，解得， 所以第三组的学生实际成绩的平均数为72与方差为1. 10．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低分，最高分）． (1)求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围； (3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为， 可得，解得， 由图可知，样本中成绩在分以上的人数为人. （2）前三个矩形面积之和为， 前四个矩形面积之和为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 因此，全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围为. （3）成绩在内占成绩在的比例为， 成绩在内占成绩在的比例为， 设成绩在内的平均数和方差分别为、， 由分层随机抽样的平均数公式可得，解得， 由分层随机抽样的方差公式可得，解得. 故成绩在内的平均数为，方差为. 考点04 随机事件的概率计算 1．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，点数有6种可能:，其中是偶数的有3种:，概率为，故选：A． 2．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)从2，4，8，16中任取两个数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题的有序数对有，分别为，，，，，，，，，，，；共组，使为整数的有序数对有，，，，共4组， 故概率.故答案选：B. 3．(24-25高一下·浙江台州·期末)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，且两个人的射击结果互不影响，若甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，则两人都中靶的概率为_______. 【答案】 【详解】两人都中靶的概率为.故答案为：. 4．(24-25高一下·浙江丽水·期末)甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为__________． 【答案】0.26 【详解】由题意可得，“恰有一人中靶”事件可分为“甲中靶，乙不中靶”和“乙中靶，甲不中靶”， ∴两个人射击一次恰有一人中靶的概率为 ；故答案为：0.26. 5．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为___________． 【答案】/ 【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和,并且他们投篮互不影响. 现每人分别投篮1次，恰好有一个人命中包含以下两种情况： 甲投中，乙没投中，概率为：, 甲没投中，乙投中，概率为： , 所以恰好有一个人命中的概率 故答案为： 6．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由设红球为A, B，黄球为1, 2,从袋中不放回地随机摸出2个球，共有6种结果：{A,B}, {A,1}, {A,2}, {B,1}, {B,2}, {1,2}，这2个球颜色相同的有2种结果：{A,B}与{1,2}，2个球颜色相同的概率为. 故选：B 7．(24-25高一下·浙江台州·期末)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据古典概型概率知识可知：5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为.故选：A 8．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（    ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【详解】首先，我们知道投掷的点数有，对于，符合条件的有，对于，符合条件的有，故，，故B正确.故选：B 9．(24-25高一下·浙江衢州·期末)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件总数.骰子的点数为，其中质数有，事件“第一次朝上的面的点数为质数”包含的基本事件数（第一次有种质数情况，第二次有种情况 ），则.两次朝上的面的点数之和为奇数，则一次为奇数，一次为偶数.第一次为奇数，第二次为偶数时，有种情况；第一次为偶数，第二次为奇数时，有种情况.所以事件包含的基本事件数，则.事件表示“第一次朝上的面的点数为质数且两次朝上的面的点数之和为奇数”. 当第一次为，第二次需为奇数，有种情况； 当第一次为或，第二次需为偶数，各有种情况，共种情况.所以。根据概率加法公式.故选：C 10．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【详解】A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误；B.该题未被攻克的概率为，故B错误；C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误；D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确.故选：D 11．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生，而事件不发生的概率为，事件不发生的概率为，所以事件，都不发生的概率为，故事件，中至少有一个发生的概率是，故D正确.故选：D 12．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 【答案】/ 【详解】设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题有.由题有.由题可得可为 ，共24种情况. 满足的有共6种， 则对应概率为：.故答案为： 13．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则______. 【答案】 【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，； 方案二坐车可能：312、321，所以，； 所以，.答案： 14．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0，1，2，3，4．从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为，记，且． (1)求事件“”发生的概率； (2)求事件“”发生的概率． 【详解】（1），所以或， 又不放回的依次取出2个球共有 共20种情况，所以事件“”发生的概率为. （2），，因为，所以， 所以共14种情况符合， 所以事件“”发生的概率为. 15．(24-25高一下·浙江衢州·期末)某次竞赛共有20道题，甲、乙、丙三位同学分别能答对其中的12道题，8道题和道题．假设每道题被抽中的可能性相等，现从中任选一题，由三位同学独立作答． (1)求甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三位同学中至少有一人答对的概率为，求的值． 【详解】（1）记事件“任选一道题，甲答对”， 事件“任选一道题，乙答对”，事件“任选一道题，丙答对”， 记事件“任选一道题，甲、乙两位同学恰有一人答对”，则， （2）记事件“甲、乙、丙三位同学至少有一人答对”， 则，所以. 16．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中（）个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖．一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖（每位顾客只有一次抽奖机会）． (1)若，求一次抽奖中奖的概率； (2)若要求一次抽奖中奖的概率最小． （ⅰ）求； （ⅱ）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率． 【详解】（1）设“一次抽奖中奖” （1）记这2个红球的编号为个白球的编号为， 所以样本空间，共有30个样本点， 又因为 所以，所以； （2）（ⅰ）当时，， 所以时，；当时， 综上所述，所以时，一次抽奖中奖的概率最小． （ⅱ）记“两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖”，“第位顾客中奖”， 由题意知，，所以． 17．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 【详解】（1）记表示打第个球是甲胜，两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即， 各球的结果相互独立，，， ，. （2）（i），为奇数；，为偶数. .，，，互斥， 各球的结果相互独立. . . . . . （ii），. 考点05 互斥、对立与独立事件 1．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)设样本空间含有等可能的样本点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为样本空间，， 则，，所以.故选：B. 2．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知事件A与B相互独立，且，，则（   ） A．0.8 B．0.5 C．0.56 D．0.94 【答案】D 【详解】由题意，事件 与事件 相互独立，且 , ，可得；则   故选：D. 3．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，若，且与相互独立，则_______． 【答案】0.88 【详解】由题意知,, 所以.故答案为：0.88 4．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)甲、乙、丙三人各自独立破解同一密码，成功率分别为0.5，0.6，0.4.现定义事件为“甲和乙至少有一人成功”，事件为“丙未成功”，则（    ） A．0.28 B．0.36 C．0.42 D．0.48 【答案】D 【详解】根据题意，，所以，. 故选：D. 5．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知集合是的子集，且，则的概率为______． 【答案】 【详解】因为是的子集，，所以集合可能是共种情况， 其中满足条件的分以下几种情况：若均不相同，则可能为和和和，此时共种情况；若中有两个相同，则可能为和和和和和和和， 此时共种情况；若均相同，则有这1种情况；以上共计种. 由于，那么符合条件的有：和和和共种；和和和共种； 以上共计种.所以概率为.故答案为：. 6．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)有一个质地均匀的骰子，连续投掷两次，表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是6”，表示事件“第二次投掷正面朝上的点数是5”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是7”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是8”，则以下说法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有，，， 所以，故A错误；，故B错误； ，故C错误；，故D正确.故选：D. 7．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成双”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记三双不同的手套为：白1，白2；红1，红2；黑1，黑2，（1为左，2为右）从中随机取出2只共有：白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况，事件包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件，事件包含：白2红2，白2黑2，红2黑2，3个基本事件，事件包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事件，，， ，，对于A，，A错误；对于B，事件互斥，则，B正确；对于C：，C错误；对于D，，，D错误.故选：B 8．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)若，，，则（    ） A．事件A与B不互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立 【答案】AC 【详解】由，则，所以，则事件A与B相互独立， 由于事件A与B可以同时发生，则事件A与B既不互斥也不对立.故选：AC. 9．(24-25高一下·浙江温州·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（    ） A．事件乙和事件丙互斥 B．事件丙和事件丁互为对立 C．事件甲与事件丙相互独立 D．事件乙与事件丁相互独立 【答案】D 【详解】用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，则所有可能的情况有：，， ，，，，共36种情况， 对于：事件乙可以和事件丙同时发生，如出现，所以事件乙和事件丙不互斥，故错误； 对于：事件丙和事件丁的所有情况不是总的样本空间，如事件丙和事件丁不包括，所以事件丙和事件丁不互为对立，故错误；对于：第一次点数小于3的情况有， ，共12种情况，所以，两次点数之和为8 的情况有，共5种情况，所以，第一次点数小于3且两次点数之和为8 的情况有，所以，，所以事件甲与事件丙不相互独立，故错误；对于：第一次点数为偶数的情况有18种，所以，两次点数之和为奇数的情况共有18种，所以，第一次点数为偶数且两次点数之和为奇数的情况共有9种，所以， ，所以事件乙与事件丁相互独立，故正确.故选：. 10．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．乙与丁互斥 D．丙与丁互为对立 【答案】BC 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2所有可能为，，共3种情况；则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况；两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况；则，，，； A：当出现情况时，甲乙同时发生，则，故甲乙不相互独立，故A项错误； B：当出现情况时，甲丙同时发生，则，故甲丙相互独立，故B项正确； C：由上所述可得乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故C项正确； D：由，故丙与丁不相互对立，故D错误. 故选：BC. 11．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 【答案】AC 【详解】选项A：互斥事件为两事件不能同时发生，对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生， 所以对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，A说法正确；选项B：若，则，B说法错误；选项C：由相互独立事件的概念可知，若，则相互独立，C说法正确； 选项D：对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生，即不能保证两事件不同时发生，也不能保证两者必有其一发生，如投掷一枚骰子，事件为：向上的点数为奇数，事件为向上的点数不小于4，满足，但不是对立事件，D说法错误；故选：AC 12．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（   ） A．事件A与C是互斥事件 B．事件B与D是对立事件 C．事件C与D相互独立 D． 【答案】AD 【详解】依题意，，，对于A：因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件A与C是互斥事件，故A正确；对于B:因为事件B,D中都包含1人击中，故B错误； 对于C：因为事件C,D中都包含0人击中，故C错误；对于D：因为，所以，故D正确；故选：AD 13．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)一个盒子中装有标号为的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件“两张标签标号之积大于15”，事件“第一张标签标号小于3”，则（    ） A． B． C．与互斥 D．与相互独立 【答案】C 【详解】根据题意可知所有的样本点共有：，， ，，共个， 事件包含的样本点有：，共个，所以，故A错误； 事件包含的样本点有： ，共个，所以，故B错误；因为，所以与互斥，故C正确；因为，，所以，所以与不相互独立，D错误.故选：C 14．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误；若事件与事件互斥，则，B正确；若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误；因为，所以事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，D正确．故选：BD. 15．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若与相互独立，则 【答案】BD 【详解】因为，，若与互斥，则，，故A错误，B正确；若，则，所以，故C错误；若与相互独立，则，故D正确；故选：BD 16．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（       ） A．事件与事件互为对立事件 B．若，则 C．若，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】BCD 【详解】对于A：由，若，则事件与事件不是对立事件，若，则事件与事件互为对立事件，故A错误；对于B：若，则，故B正确；对于C：若，所以，所以，所以，故C正确；对于D：若 ，所以，即，所以，所以事件与事件相互独立，故D正确.故选：BCD. 17．(24-25高一下·浙江丽水·期末)甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（    ） A．事件、是相互独立事件 B．事件、是互斥事件 C． D． 【答案】AC 【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，基本事件总数， 记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，则事件包含的基本事件有18个，分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，则事件包含的基本事件有18个，分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则事件包含的基本事件有18个，分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 事件包含的基本事件有9个，分别为：，，，，，，，，， ，，事件、是相互独立事件，故正确；事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误；，故正确；包包含的基本事件有9个，分别为：，，，，，，，，，．故错误．故选：． 考点06 概率统计的综合 1．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.   (1)求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 【详解】（1）因为，所以. 平均值：.   （2）抽取的6名学生中，“青铜用户”选4名，记为，“铂金用户”选2名，记为， 样本空间， 设事件“这2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以. 2．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． (1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ (2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） (3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 【详解】（1）由题意可得：，则， 所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人. （2）由题意可得：， 又因为， 可知，则解得：. （3）中的人数：，分别记为； 中的人数：，分别记为 中的人数：，记为 则任选两人的情况有 ，共种， 其中来自同一组有，共种， 所以两个人来自同一组的概率为. 3．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个． (1)求n和乙样本直方图中a的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； (3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率． 【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，则，解得； 由乙样本数据直方图可知，，解得； （2）解：甲样本数据的平均值估计值为， 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为，， 解得，所以乙样本数据的第75百位数为， 即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为； （3）解：由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人， 将从分数在中抽取的2名学生分别记为，， 从分数在中抽取的4名学生分别记为，，，， 则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15个， 所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个， 即这两人分数都在中的概率为． 4．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)从某学校的600名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. (1)求第六组，第七组的频率； (2)估计该校的600男生的身高的平均数和第75百分位数（精确到0.1）， (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求. 【详解】（1）第六组的频率为， 第七组的频率为. （2）由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为，身高在第五组的频率为， 身高在第六组的频率为，身高在第七组的频率为， 身高在第八组的频率为，平均数为 ， 由于， 设这所学校的600名男生的身高第75百分位数为，则， 由，得， 所以这所学校的600名男生的身高的第75百分位数为178.8cm. （3）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名男生有，，，，，， ，，，，，，，，共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件E包含的基本事件为，，，，，，共7种情况. 所以. 5．(24-25高一下·浙江温州·期末)为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最低一档），的用户缴费在第二档，的用户缴费在第三档（最高一档）．为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图．   (1)求直方图中的值； (2)请估计月均用电量第一档的范围； (3)用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在的概率． 【详解】（1）根据频率分布直方图可得：， 解得. （2）因为75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数. ，. 设第一档的上限为，则列方程为：，解得. 所以月均用电量第一档的范围是. （3）用户的月均用电量在的概率为： 所以恰有1户居民的月均用电量在的概率为：. 6．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 注：第一部分有m个数，平均数为，方差为，第二部分有n个数，平均数为，方差为，记样本均值为，样本方差为，则，. 【详解】（1）由题意 ，解得 ； （2）由直方图知， 的频率为 设至少有 2 份试卷及格为事件 ，有 2 份试卷及格为事件 ，有 3 份试卷及格为事件 ， （3）样本数据在区间 的个数为 ，在区间 上的个数为 ， 所以 ， 总方差为 . 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $