2.7 对数与对数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“对数与对数函数”专题，覆盖对数概念、运算性质、函数图像与性质等核心考点，依据高考评价体系分析对数运算、单调性判断等高频考点权重，归纳对数式化简、图像应用等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+素养培养”，如以2026·延庆模拟对数式大小比较题为例，通过换底公式转化培养运算能力和推理能力，结合“母题变式”训练强化模型意识。特设易错点警示和答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

对数与对数函数 1.对数的概念 一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x= ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数，记作 .  以e为底的对数叫做自然对数，记作 .  logaN a N lg N ln N 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1= ，logaa= ，= (a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)= ； ②loga= ； ③logaMn= (n∈R). (3)对数换底公式：logab=(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 0 1 N logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 3.对数函数 (1)概念：一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞). (2)对数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象     定义域 _________ (0，+∞)   a>1 0<a<1 值域 ___ 性质 过定点 ，即x=1时，y=0 当x>1时， ；当0<x<1时， _____ 当x>1时， ；当0<x<1时， _____ 函数 函数 R (1，0) y>0 y<0 y<0 y>0 增 减 4.反函数 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称. y=x 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M=N，则logaM=logaN.(　　) (2)log35·log53=1.(　　) (3)函数y=loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.(　　) (4)函数y=log2x与y=lox的图象关于x轴对称.(　　) 自主诊断 × √ × √ 2.已知alog43=2，则3-a等于 A.　　　B.9　　　C.　　　D.16 √ 解析　因为alog43=2，则log43a=2，因此3a=42=16， 所以3-a==. 3.函数f(x)=的定义域为 A.(-∞，4) B.(3，4) C.(-∞，3)∪(3，4) D.(-∞，3)∪(3，+∞) √ 解析　因为f(x)=， 所以要使函数有意义， 则解得x<4且x≠3， 所以f(x)的定义域为(-∞，3)∪(3，4). 4.若对数函数f(x)的图象经过点(2，1)，则它的反函数g(x)的解析式为 　　　 　.  g(x)=2x 解析　设f(x)=logax(a>0且a≠1)，函数图象过点(2，1)，即f(2)=loga2=1，即a=2，f(x)=log2x，它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x. 1.掌握三个对数函数图象的特点 (1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交. (2)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都经 过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快 速画出对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的大致图象. 微点提醒 (3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c<d<1<a<b. 微点提醒 返回 2.谨防两个易误点 (1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.当底数a的范围不明确时，研究函数的单调性、最值时必须分0<a<1和a>1两种情况讨论. (2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化. 例1　(1)(多选)下列运算中正确的是 A.=log75 B.ln(ln e)=0 C.lo=-1 D.= 题型一　对数式的运算 √ √ √ 解析　对于A，=log57，故A错误； 对于B，ln(ln e)=ln 1=0，故B正确； 对于C，lo===-1，故C正确； 对于D，===，故D正确. (2)计算：2log32-log3+log320-log3=　　　.  解析　由题意可得2log32-log3+log320-log3 =log34-log3+log320-log35 =log3=log33=. 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 思维升华 跟踪训练1　(1)(2025·扬州检测)计算：lg 25+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 解　原式=2lg 5+lg 23+lg 5·(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 5×lg 2+ (lg 2)2 =2+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3. 跟踪训练1　(2)(人教B版必修第二册P18例4改编)已知log4a=log25b=，则lg(ab)=　　　　.  2 解析　由log4a=log25b=可得a=，b=， 所以ab=×=(4×25==(102=，所以lg(ab)=2. 例2　(1)(2025·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过 A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 题型二　对数函数的图象及应用 √ 解析　当x=0时， y=loga=-1， 当0<a<1时，函数图象经过第二、三、四象限； 当a>1时，函数图象经过第一、三、四象限， 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. (2)(多选)(2025·海口模拟)已知函数f(x)=|log3x|，0<a<b，且f(a)=f(b)，下列结论正确的是 A.0<a<1 B.>b C.+b>3 D.a+2b>2 √ √ √ 解析　因为0<a<b，f(a)=f(b)，所以由函数f(x)=|log3x|的图象知0<a<1<b，所以A正确； 由f(a)=f(b)，可得|log3a|=， 即-log3a=log3b，所以ab=1，即b=，所以B不正确； 因为0<a<1<b，且b=，所以+b=3b>3，所以C正确； 因为0<a<1<b，且b=，所以a+2b=a+. 因为函数y=x+(0<x<1)单调递减， 所以函数y=x+(0<x<1)的值域是(3，+∞)， 因此a+>3，即a+2b>3>2，所以D正确. 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 思维升华 跟踪训练2　已知实数m>0且m≠1，函数y=logm(x+n)的大致图象如图所示，则 A.m>1，n>1 B.m>1，0<n<1 C.0<m<1，n>1 D.0<m<1，0<n<1 √ 解析　由图象可知函数y=logm(x+n)是减函数，所以0<m<1； 当x=0时，logm(x+n)=logmn<0，所以n>1. 例3　(2026·延庆模拟)设a=log32，b=log96，c=，则 A.a>b>c　　　B.c>b>a　　　C.b>c>a　　　D.b>a>c 命题点1　比较对数式的大小 题型三　对数函数的性质及应用 √ 解析　因为b=log96=lo=log3，且c==log3， 又<2<，函数y=log3x在(0，+∞)上单调递增， 则log3<log32<log3，所以c<a<b. 例4　(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=log2x-(x-1)2，则不等式f(x)<0的解集为 　　　　　 　　　.  命题点2　解简单的对数方程或不等式 (0，1)∪(2，+∞) 解析　由题意，不等式f(x)<0，即log2x-(x-1)2<0， 等价于求log2x<(x-1)2在(0，+∞)上的解， 令g(x)=log2x，h(x)=(x-1)2，则不等式为g(x)<h(x)， 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图所示， 又g(1)=h(1)=0，g(2)=h(2)=1， 由图可得不等式f(x)<0的解集为(0，1)∪(2，+∞). 例5　(多选)(2026·岳阳模拟)关于函数f(x)=log2x+log2(4-x)，下列说法正确的是 A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0，2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称 命题点3　对数函数性质的综合应用 √ √ 解析　函数f(x)=log2x+log2(4-x)=log2(4x-x2)=log2[-(x-2)2+4](0<x<4)， 当x=2时，4x-x2取到最大值4， 故此时f(x)=log2x+log2(4-x)取到最大值log24=2，A错误； f(x)=log2(4x-x2)(0<x<4)可以看作是由函数y=log2u，u=-x2+4x(0<x<4)复合而成，而y=log2u是定义域上的增函数，u=-x2+4x(0<x<4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，B正确； 因为函数f(4-x)=log2(4-x)+log2x=f(x)，故f(x)的图象关于直线x=2对称，C正确； 因为f(4-x)+f(x)=2f(x)=0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误. 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成. 思维升华 跟踪训练3　(1)(2025·苏州期末)已知a=log103，b=log53，c=，则a，b，c的大小关系为 A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a √ 解析　a=log103<log10=， b=log53>log5=，b=log53<log55=1， c=>=1，故a<b<c. (2)(多选)(2025·辽宁教研联盟模拟)关于函数f(x)=lg，下列说法正确的有 A.f(x)的定义域为(-1，1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0，1)上单调递增 √ √ √ 解析　因为f(x)=lg=lg，则>0，解得-1<x<1， 所以f(x)的定义域为(-1，1)，故A正确； 因为f(-x)=lg=-f(x)，所以f(x)为奇函数， 所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确； 因为y=-1在(0，1)上单调递增，y=lg x在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)=lg在(0，1)上单调递增，故D正确. 返回 一、单项选择题 1.若函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则f等于 A.　　　B.　　　C.　　　D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 √ 解析　因为函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称， 所以f(x)=3x，所以f==. 2.(2025·湘西期末)函数y=的定义域为 A. B.(-∞，1] C. D.[1，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　由题意得 解得<x≤1. 3.(2025·天津河西区模拟)设a=log0.30.4，b=log0.31.1，c=log0.40.3，则a，b，c的大小关系为 A.b<c<a B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　易知0=log0.31<log0.30.4<log0.30.3=1，即0<a<1， 而log0.31.1<log0.31=0，即b<0， 又log0.40.3>log0.40.4=1，即c>1， 所以b<a<c. 4.(2025·成都模拟)已知f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M，且点M在直线+=1(m>0，n>0)上，则m+n的最小值为 A.3+2 B.8 C.4 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)，f(2)=loga1+1=1，即点M(2，1)， 由题意可得+=1(m>0，n>0)， 所以m+n=(m+n)=3++≥3+2=3+2， 当且仅当=， 即m=2+，n=+1时，等号成立， 故m+n的最小值为3+2. 5.(2026·菏泽模拟)以下运算中正确的是 A.-2ln(ln ee)=9 B.log23·log94=2 C.若lg 3=a，lg 2=b，则log518= D.+=lg 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　-2ln(ln ee)=9-2ln e=9-2=7，故A错误； log23·log94=log23·log32=1，故B错误； log518====，故C正确； +=+=log32+log35=log310=≠lg 3，故D错误. 6.若不等式(x-1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为 A.(1，2] B.(1，2) C.(1，] D.(，2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　若0<a<1，此时x∈(1，2]，logax<0， 而(x-1)2>0， 故(x-1)2<logax无解； 若a>1，此时x∈(1，2]，logax>0，而(x-1)2>0， 令f(x)=logax，g(x)=(x-1)2， 画出函数f(x)与g(x)的图象，如图， 若不等式(x-1)2<logax在x∈(1，2]内恒成立， 则loga2>1，解得1<a<2，即实数a的取值范围是(1，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 二、多项选择题 7.(2025·贵阳模拟)已知2x=3y=6，则实数x，y满足 A.(x-1)(y-1)=1 B.x+y>4 C.+>1 D.xy>4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为2x=3y=6， 所以x=log26=1+log23，y=log36=1+log32， 所以(x-1)(y-1)=log23×log32=1，A正确； x+y=2+log23+log32>2+2=4，B正确； +=log62+log63=1，C错误； 由+=1，可得xy=x+y>4，D正确. 8.(2026·烟台模拟)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a)，下列说法中正确的是 A.若f(x)的定义域为R，则a的取值范围是(-4，0) B.若f(x)的值域为R，则a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞) C.若a=2，则f(x)的单调递减区间为(-∞，-1) D.若f(x)在(-2，-1)上单调递减，则a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　选项A，x2+ax-a>0对任意x∈R恒成立，即Δ=a2+4a<0，解得-4<a<0，A正确； 选项B，x2+ax-a≤0有解，因此Δ=a2+4a≥0，解得a≤-4或a≥0，B正确； 选项C，当a=2时，f(x)=lg(x2+2x-2)，由x2+2x-2=(x+1)2-3>0得x<-1-或x> -1+，根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(-∞，-1-)，C错误； 选项D，f(x)在(-2，-1)上单调递减， 则解得a≤，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=　 　.  e 解析　f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4 =a3ln 2==8， ∴aln 2=2，∴a=e. 10.设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，则f(x)的最大值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12 解析　f(x)=log2(4x)·log2(2x) =(log24+log2x)(log22+log2x) =(2+log2x)(1+log2x)， 令t=log2x，∵≤x≤4，∴-2≤t≤2， 则g(t)=(2+t)(1+t)=t2+3t+2=-， ∴当t=2时，g(t)取得最大值12， 即f(x)的最大值为12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数. (1)求k的值； 解　∵f(x)是偶函数， ∴f(-x)=f(x)， 即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx对任意x∈R恒成立， ∴2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)=log3=log33-2x=-2x， ∴k=-1. 11.(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数. (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1). 解　由(1)得f(x)=log3(9x+1)-x=log3(9x+1)-log33x=log3=log3(3x+3-x)， 则不等式f(x)≥log3(7·3x-1)等价于3x+3-x≥7·3x-1>0， 由7·3x-1>0，解得x>-log37； 由3x+3-x≥7·3x-1，得6·(3x)2-3x-1≤0， 得0<3x≤， 即x≤-log32， 综上，不等式的解集为{x|-log37<x≤-log32}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2026·南通模拟)已知函数f(x)=log2. (1)判断并证明f(x)的奇偶性； 解　f(x)为奇函数，证明如下： 由解析式易知>0⇒(x-1)(x+1)<0⇒-1<x<1，即函数的定义域为(-1，1)， 而f(-x)=log2=-log2=-f(x)，故f(x)为奇函数. 12.(2026·南通模拟)已知函数f(x)=log2. (2)若对任意x∈，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2+at-6恒成立，求实数a的取值范围. 解　由m==-1在上单调递减，而y=log2m在定义域上为增函数， 所以f(x)在上单调递减， 故f(x)min=f=-1， 要使任意x∈，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2+at-6恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2026·南通模拟)已知函数f(x)=log2. (2)若对任意x∈，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2+at-6恒成立，求实数a的取值范围. 解　只需t2+at-6≤-1在t∈[-2，2]上恒成立， 即t2+at-5≤0在t∈[-2，2]上恒成立， 由y=t2+at-5的图象开口向上， 则⇒-≤a≤， 综上，实数a的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 13.(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为 A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 能力拓展 √ 解析　方法一　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m， 令m=2，则x=1，y=3-1=，z=5-3=，此时x>y>z，A有可能； 令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能； 令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能. 方法二　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t， 则x=2t-2，y=3t-3，z=5t-5. 当x>y时，2t-2>3t-3，解得t<<5； 当z>y时，5t-5>3t-3，解得t>>5. 因此当x>z>y时，t无解，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 14.(多选)(2025·沈阳模拟)科学记数法可以将一个正数x表示成x=a×10b，a∈[1，10)，b∈Z的形式，显然lg x=b+lg a，其中b叫做lg x的首数，记为f(x)，lg a叫做lg x的尾数，记为g(x)，则 A.f(e4)=1 B.g(e4)> C.f(xy)=f(x)+f(y) D.g(xy)=g(x)+g(y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为10<24<e4<34<100， 所以e4用科学记数法表示为e4=×10， 所以lg e4=1+lg，所以f(e4)=1，故A正确； 因为e3>10，所以e>1，即e4>1， 所以>1，则g(e4)=lg>，故B正确； 令x=2，y=5，则f(xy)=f(10)=1， f(x)=f(2)=0，f(y)=f(5)=0， 所以f(xy)≠f(x)+f(y)，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　令x=2，y=5，则g(xy)=g(10)=0， g(x)=g(2)=lg 2，g(y)=g(5)=lg 5， 所以g(xy)≠g(x)+g(y)，故D错误. 返回 $