第25章　一元二次方程小结（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根与系数关系及应用，通过知识框架图将实际问题与方程的转化、四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）及适用类型等核心内容串联，构建“实际问题-方程建模-求解-检验”的闭环知识网络。 其亮点在于设置“思考”引导学生主动探究解法选择，如通过表格对比不同解法适用类型培养推理意识，结合面积、增长率等实际问题渗透模型意识。分层设计让学生从基础定义到综合应用逐步提升，教师可依托清晰知识脉络精准开展复习，有效巩固学生知识体系。

小结 人教版 九年级 数学（上） 第25章 一元二次方程 知识结构 实际问题 实际问题 的答案 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0的根) 检验 解方程 降次 配方法 公式法 因式分解法 设未知数，列方程 2 通过对一元二次方程这章的学习，你掌握了哪些知识？这些知识点间又有哪些联系呢？如何运用这些知识解决问题呢？ 知识回顾 一般地，如果方程中只含有______个未知数，且含有未知数的式子都是______，未知数的最高次数是______，这样的方程叫作一元二次方程． 一 整式 2 一元二次方程的定义: 一元二次方程的一般形式是____________________，其中______是二次项，______是二次项系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项． ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ax2 a bx b c 一元二次方程的一般形式: 一元二次方程的特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2+bx+c=0 (a≠0，b≠0) a b 0 ax2+c=0(a≠0，c≠0) a 0 c ax2=0(a≠0) a 0 0 一元二次方程的特殊形式: 思考：有哪些解一元二次方程的方法？ 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 形如方程x2=p可以用直接开平方法求解： （1）当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根x1 = ，x2 = －； （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1 = x2 =0； （3）当p<0时，因为对任意实数x，都有>0，所以方程无实数根. ①移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； ②二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数； ③配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； ④降次，利用平方根的意义降次； ⑤解两个一元一次方程，移项、合并同类项. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 p . （1）当p>0时，则=±，方程有两个不等的实数根x1 =−+ ，x2 = −−； （2）当p=0时，则=0，方程有两个相等的实数根x1 = x2 =−； （3）当p<0时，因为对任意实数x，都有0，所以方程无实数根. 公式法适用于任何一个一元二次方程 . 先将方程化为一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0) . 求根公式： . 公式法 ①将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0); 易错点：计算Δ的值时，注意a, b, c符号的问题. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： ②确定a，b，c的值； ③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则利用求根公式求解；若b2-4ac＜0,则方程无实数根. 判别一个一元二次方程是否有实根，只需确定___________的 符号: Δ=b2−4ac Δ的符号 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 Δ＞0 有两个不等的实数根 Δ＝0 有两个相等的实数根 Δ＜0 无实数根 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式； ②把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式； ③把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； ④解两个一元一次方程，求出方程的根. 解法 适用的方程类型 直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 公式法 所有的一元二次方程 因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 一元二次方程的解法及适用类型： 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1，x2，则其求根公式是 x ＝ . 一元二次方程根与系数的关系： 根与系数的关系是：x1+x2＝ ，x1x2＝ . － 只有当a ≠ 0，Δ ≥ 0时，才能用根与系数的关系. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： ①审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系； ②设未知数； ③根据题目中的等量关系，列出方程； ④解方程，求出未知数的值； ⑥检验方程的解能否保证实际问题有意义； ⑦写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则。 直接利用面积公式列一元二次方程解决问题时，要熟记各种常见几何图形的面积公式． 对于不规则图形的面积或周长问题，一般通过平移、割补等方法转化为规则图形，然后列方程求解，和周长有关的问题中，平移或割补之后注意边是否存在重复或遗漏． 实际问题与一元二次方程 平均增长率 设基础量为 a，平均增长率为 x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为 a(1+x)2……依此类推，n次增长后的量为 a(1+x)n 平均降低率 设基础量为a，平均降低率为x，则一次降低后的量为a(1-x)，两次降低后的量为 a(1−x)2……依此类推，n次降低后的量为 a(1-x)n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% 循环问题分两种： 对于n支队伍，单循环比赛的总场数为n(n－1)，双循环比赛的总场数为n(n－1). 作业布置 完成对应课时练习． $