27.3.1 将实际问题抽象成反比例函数问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，核心是将实际问题抽象为反比例函数。导入先回顾确定反比例函数解析式只需一个条件，再通过提问引导学生举例，搭建从旧知到应用的学习支架。 其亮点在于选取港口卸货、杠杆原理等真实情境，用数学眼光观察现实世界，通过问题链引导推理（如例1先求货物总量再建立函数关系解决最值）培养数学思维，以表格、公式强化模型意识。学生提升应用能力，教师获得结构化教学资源。

27.3　实际问题与反比例函数 第1课时 将实际问题抽象成反比例函数问题 人教版 九年级 数学（上） 第27章 反比例函数 新课导入 我们知道，确定一个一次函数y＝kx＋b的解析式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数解析式，则只需一个独立条件即可，如点(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的解析式是______，当x＝4时，y的值为___，而当y＝时，相应x的值为______． y＝ 18 2 用反比例函数可以反映很多实际问题中的两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？ 探究新知 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕怡好用了9h. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v（单位：t/h）与御载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 货物总量(工作总量)是多少？ 工作总量、工作效率(工作速度)与工作时间有怎样的关系？ 货物总量 = 平均装载速度 × 装载总时间 工作效率 = 解：轮船上的货物总量为700×9=6300（t）， 所以v关于t的函数解析式为v = （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v（单位：t/h）与御载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 解：把t=6代入v = ，得 v = = 1050（t/h）. 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050t. 对于函数v = ，当t>0时，t越小，v越大. 因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.　 后来人们把它归纳为“杠杆原理”.　 杠杆原理为： 阻力×阻力臂 = 动力×动力臂 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m. （1）动力F（单位：N）与动力臂l（单位: m）有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 由“杠杆原理”可知，本例中存在怎样的等量关系？ 动力F是动力臂l的反比例函数吗？若是，请写出反比例函数解析式． 动力F × 动力臂l = 阻力×阻力臂 是 F = 解：(1)根据“杠杆原理”，得 Fl = 1200×0.5， 所以F关于l的函数解析式为F = 当l = 1.5 m 时， 对于函数F = ，当l = 1.5 m 时，F = 400N，此时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要400N的力. F = = 400（N） （2）对于函数F = ，当l >0时，F随l的增大而减小. 因此，只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量. 将F=400× = 200代入F = ， 得 200 = . 所以 = = 3（m） . 因此，若想用力不超过400 N的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3−1.5=1.5（m）. 思考： 在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长，越省力？ 若阻力×阻力臂的乘积为定值，则动力臂越长，动力越小. 所以，动力臂越长越省力. 例 1 例题与练习 某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：   第1天 第2天 第3天 第4天 售价x(元/双) 150 200 250 300 销售量y(双) 40 30 24 20 (1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数解析式． 解：(1)由表中数据，得xy＝6000，   第1天 第2天 第3天 第4天 售价x(元/双) 150 200 250 300 销售量y(双) 40 30 24 20 故所求函数解析式为y＝. (2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？ (2)由题意，得(x－120)y＝3 000. 把y＝代入，得(x－120)·＝3 000， 解得x＝240. 经检验，x＝240是原方程的根． 答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元． 例 2 根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U(单位：V)一定时，通过导体的电流I(单位：A)与导体的电阻R(单位: Ω)满足关系式I＝，其中I与R满足反比例函数关系，当I＝2 A时，R＝5 Ω. (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； 解：(1)∵通过导体的电流I(单位：A)与导体的电阻R(单位：Ω)满足反比例函数关系， 且I＝，当I＝2 A时，R＝5 Ω. ∴U＝IR＝2×5＝10(V). ∴电流I与电阻R之间的函数关系式为I＝. (2)当I＝2.5 A时，求电阻R的值． (2) I＝ 解得R＝4. 答：电阻R的值为4 Ω. 当I＝2.5 A时，2.5＝， 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120cm3（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗. （1）漏斗口的面积S（单位：cm2）与漏斗的深h（单位：cm）有怎样的函数关系？ 解：已知圆锥形容积 ， 圆锥体积公式为： . 将 代入公式：. 整理得： 所以这是一个反比例函数关系. （2）如果漏斗口的面积不超过50cm2，那么漏斗的深h至少为多少？ 解：由 ，代入 ： . 因为 ， 解得： 所以漏斗的深 至少为 . 所以 . 2. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可，小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元，他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元， （1）y与x有怎样的函数关系？ . 这是反比例函数关系. （2）如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ 当 时： . 所以小张平均每月应还款 万元 . （3）如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 因为 ， 因为 ，两边同乘 得： . 解得： . 所以他至少要 24 个月才能结清余款. 所以 5000元 = 0.5万元 3．小明从家到学校的路程为1200 m，步行的速度v(m/min)与所用时间t(min)成反比例关系． (1)写出v与t之间的函数关系式； 解：(1)∵路程＝速度×时间， 已知路程为1 200 m， ∴vt＝1 200， 即v＝ (t > 0). (2)若小明步行的速度是60 m/min，他从家到学校需要多长时间？ (2)当v＝60时，60＝， 解得t＝20. ∴他从家到学校需要20 min. 课堂小结 如何建立反比例函数模型解决实际问题． 随堂检测 1. 面积为 4的矩形长为x，宽为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) C 2. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为0.25米，则王老师镜片的度数为       度． 400 3. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示. （1）求密度ρ关于体积V的函数解析式； 解：设密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ=， 把点（6，2）代入解ρ=， ∴密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ=（v＞0）. 得k=12， 解：由图象得：当ρ≥4时， （2）当密度ρ不低于4kg/m3时，求二氧化碳体积的取值范围. 答：当密度ρ不低于4kg/m3时，二氧化碳体积的取值范围是0＜v≤3． 0＜v ≤3， 作业布置 (1)教材P80 习题27.3第1，2，3，7题； (2)对应课时练习． $