25.3.2传播与平均增长(下降)率问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“传播与平均增长（下降）率问题”，通过填空回顾流感传染实例，提问列方程解应用题步骤，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接一元二次方程与实际问题。 其亮点在于运用特值分析法、表格归纳传播规律，结合公式总结（a(1±x)^n=b），培养抽象能力、推理意识与模型观念。如传播问题用表格清晰呈现各轮数量关系，成本对比引导区分下降额与下降率，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供结构化教学流程。

25.3　实际问题与一元二次方程 第2课时　传播与平均增长(下降)率问题 人教版 九年级 数学（上） 第25章 一元二次方程 新课导入 填空：若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有______个人患了流感，第二轮过后共有______个人患了流感． 我们遇见过一些用列方程来解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的吗？ 6 36 2 探究新知 探究1 某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 提出问题： (1)本题中有哪些等量关系？如何理解两轮传染？ (2)若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有______人患了流感；第二轮后共有________人患了流感； (3)本题中的等量关系是什么？请列出方程； (4)请将所列出的方程进行化简并求解，为什么负值要舍去？ 特值分析法： 第1轮传染 第2轮传染 注意：不要忽视初始人数的二次传染. 第1轮传染后患病人数________人； 第2轮传染后患病人数____________人. (1+2+2×3) (1+2)=3 如果每轮每人传染2人. 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 第一轮传染后有________人患了流感. 第二轮传染中的传染源为________人，第二轮传染后有______________人患了流感. 根据等量关系 “___________________________” 列出方程____________________ . x+1 x+1 x+1+x(x+1) 两轮传染后，有121人患了流感 x+1+x(x+1)=121 化简得：x2 + 2x−120=0 解方程： x+1+x(x+1)=121 (x−10)(x +12)=0 解得：x1=10，x2=−12(不合题意，舍去) 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 提出问题： (1)上述问题中如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？ (2)通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？ 思考： 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此体会阻断病毒传播的必要性. 解：两轮后传染121 人， 第三轮每人再传染 10 人： 121+121×10 = 1331 答：经过三轮传染后共有1331人被传染. 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1·x = x (1+x)1 第二轮 1+x (1+x)·x 第三轮 第n轮 (1+x)2 (1+x)2·x (1+x)n-1 (1+x)n-1·x 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 1+x+(1+x)·x =(1+x)2 (1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3 (1+x)n 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系 设未知数 根据题目中的等量关系，列出方程 解方程，求出未知数的值 检验方程的解能否保证实际问题有意义 写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则 探究2 两年前生产1t甲种食品的成本是10 000元，生产1t乙种食品的成本是12 000元. 随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元，哪种食品成本的年平均下降率较大？ 下降率 = ×100% 提出问题： (1)甲种食品成本的年平均下降额与乙种食品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？ (2)若设甲种食品的年平均下降率为x，则一年后甲种食品的成本为多少元？两年后甲种食品的成本为多少元？你能列出相应的方程并求出问题的解吗？ 提出问题： (3)解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦，实际上我们可以用直接开平方法来解．怎么用直接开平方法来解？ 分析： 容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10000−6000)÷2=2000（元）， 乙种食品成本的年平均下降额为(12000−7200)÷2=2400（元）. 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 但年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）. 设甲种药品成本平均每年的下降率为x. 第一年下降前的成本 10000 第一年下降后的成本 10000 (1−x) 下降率x 第二年下降后的成本 10000 (1−x)2 下降率x 于是有：10000 (1−x)2 = 6000 化简得：(1−x)2 = = 0.6 . 直接开平方：1−x = ± ≈±0.7746. 解得：x1≈ 0.225 ，x2≈ 1.775 . 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 为什么选择22.5%作为答案？ x是下降率，必须 0<x<1， 1.775 > 1 ， 不符合实际，应舍去， 所以 x ≈ 0.225 . 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 解：设乙种食品年平均下降率为 y . 可列方程：12000 (1−y)2 = 7200 化简得：(1−y)2 = = 0.6 . 直接开平方：1−y = ± . 解得：y1≈ 0.225 ，y2≈ 1.775（舍去） . 所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 因为 = 0.6 ， = 0.6 所以甲乙两种食品成本的年平均下降率相等。 x甲 = y乙 思考： 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 结论：甲乙两种食品成本年平均下降率相同. 成本下降额大的食品，它的成本下降率不一定大. 比较变化：要同时看绝对下降额和相对下降率. 某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求年平均增长率． 解：设总产值的年平均增长率为x. 依题意100(1+x)2=121， 解得：x1=0.1，x2=−2.1(舍去)， ∴年平均增长率为10%. 它与探究2有什么不同？ 与探究2相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率. 平均增长率 设基础量为 a，平均增长率为 x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为 a(1+x)2……依此类推，n次增长后的量为 a(1+x)n 平均降低率 设基础量为a，平均降低率为x，则一次降低后的量为a(1-x)，两次降低后的量为 a(1−x)2……依此类推，n次降低后的量为 a(1-x)n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% 知识归纳 1．若原有a个传染源，每轮每个传染x人，传染n轮后的总人数为a(1＋x)n. 2．解决增长率与下降率问题的公式：a(1±x)n＝b，其中a是_______________，x为____________ ______________，n为增长(或下降)的次数，b为增长(或下降)后的量． 变化前的量 平均增长率 或平均下降率 例 1 例题与练习 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支． 依题意可列方程1＋x＋x2＝91. 解这个方程，得x1＝9， 答：每个支干长出9个小分支． x2＝－10(不合题意，舍去). 例 2 某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为多少？经调查，该商品每降价0.2元，每月可多销售10件．若该商品原来每月销售500件，那么两次 调价后, 每月可销售商品多少件？ 解：设降价率为x. 由题意，得40(1－x)2＝32.4， 解得x1＝1.9(舍去)，x2＝0.1＝10%. 即降价率为10% . 两次调价后每月可销售商品的数量为 500＋10×＝880(件). 1. 2019年我国快递业务量是635.2亿件，2021年增至1083.0亿件，这两年的年平均增长率是多少（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后一位）？ 解：设这两年的年平均增长率为x. 由题意，得635.2(1－x)2＝1083.0， 解得x1＝0.3057≈ 30.6%，x2＝−2.3057(舍去). 答：这两年的年平均增长率约为 30.6% . 2．某人患有甲型H3N2流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则根据题意可列方程为____________． (1＋x)2＝36 课堂小结 1．“传播问题”的两种模型： ①传染源参与两轮传染； ②传染源只参与第一轮传染． 2．总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、找、列、解、答，最后还要检验根是否符合实际意义． 随堂检测 1、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支，如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支. 由题意，得1+ x + x2 ＝ 91， 因式分解：(x−9)(x+10)=0 解得x1＝9，x2＝−10(舍去). 答：每个支干长出 9 个小分支。 2、青山村所种水稻2020年平均每公顷产15000 kg，2022年平均每公顷产18000 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）. 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x. 由题意，得15000 (1+ x)2＝18000， 增长率取正，解得x＝ −1 ≈ 0.095445 . 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为9.54% . 化简得：(1+ x)2 = = 1.2 . 直接开平方：1+ x = ± . 作业布置 (1)教材P28　复习题25第10，11题； (2)对应课时练习． $