精品解析：2026年湖南长沙市长郡双语实验中学九年级中考数学学情自测五

2026年春季九年级毕业会考模拟练习卷（五） 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 手撕钢是一种超薄不锈精密带钢，具有良好的微观组织和性能．国产手撕钢的厚度仅有0.000015米，创造了新的世界纪录，广泛应用于航空航天、高端电子、新能源等．将数据0.000015用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 是一个数学函数，它表示自然数的指数次幂．其中自然数是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数． A. B. C. 3.14 D. 5. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（   ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式 B. 为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 C. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次必有1次中奖 D. “投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件 7. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的高，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径画弧交于点；作射线交于点．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12. 方程的解为________． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 14. 图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为_____． 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是_______． 16. 如图，某校的图书码共有7位数字，它是由6位“数字代码”和1位“校验码”构成，其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性的，它的编制是按照特定的算法得来的．以图1所示的图书码为例，其算法为： 第1步，计算前6位数字中从左向右数偶数位上的数字之和为，即； 第2步，计算前6位数字中从左向右数奇数位上的数字之和为，即； 第3步，计算与的和为，即； 第4步，取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 第5步，计算与的差就是校验码，即． 如图2，某个图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则的值为______． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求代数式的值，其中a＝＋1． 19. 长沙香炉洲大桥全线长约三千米，横跨湘江，连通大泽湖街道和丁字湾街道，其中西汊航道独塔斜拉桥塔高202米，刷新了长沙跨江大桥的最高纪录．某校数学实践小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，得到如下数据：，，米． （1）求的长； （2）若一辆小车以15米/秒的速度从A往B行驶，问小车能否在40秒钟内通过路段？（参考数据：，，） 20. 百合外国语学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图： 名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成5组，分别是， b．名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的学生总数的值为___________ （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为___________度； （4）百合外国语学校共有1800名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？ 21. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与，重合），将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，．与边交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）当平分时，求证：． 22. 某校计划购买甲、乙两种树苗共株绿化校园，已知甲种树苗每株元，乙种树苗每株元． （1）若购买这批树苗共用了元，求甲、乙两种树苗各购买了多少株？ （2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和，若要使这批树苗的成活率不低于且买树苗的总费用最小，问应选购甲、乙两种树苗各多少株？总费用最小是多少元？ 23. 如图，直角坐标系中，A（2，0），点在第一象限且为正三角形，的外接圆交y轴的正半轴于点，过点作圆的切线交x轴于点． （1）求、两点的坐标； （2）求直线的函数解析式； （3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长，试求当△AEF的面积取最大值时AE的长． 24. 世界乱象丛生，祖国和平安定，稳如泰山我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为非零常数，则称这两个函数为关于的“和定函数”，为和定系数，请根据该约定，解答下列问题： （1）求函数与函数的和定系数； （2）若一次函数（，为常数，）与反比例函数（为非零常数）为关于的“和定函数”，且对任意实数，都有，求一次函数解析式和反比例函数的解析式； （3）如图所示，若函数与函数为关于的“和定函数”，两个交点分别为，，点坐标为，连接，． ①求证：平分； ②试问的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 25. 如图，是的直径，弦于点，连接，，，，点是上一动点，连接并延长交于点，作，交的延长线于点． （1）证明：是的切线； （2）设的面积是，的面积是，的面积是，若，求的值； （3）如图，当时，交于，若，设，，求与的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季九年级毕业会考模拟练习卷（五） 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：B、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有A选项； 故选：A． 2. 手撕钢是一种超薄不锈精密带钢，具有良好的微观组织和性能．国产手撕钢的厚度仅有0.000015米，创造了新的世界纪录，广泛应用于航空航天、高端电子、新能源等．将数据0.000015用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：0.000015用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方的法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故选项A运算正确； B．当时，，故选项B运算正确； C．，故选项C运算不正确； D．，故选项D运算正确． 4. 是一个数学函数，它表示自然数的指数次幂．其中自然数是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数． A. B. C. 3.14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无限不循环小数是无理数，即可作答． 【详解】解：是分数，是有理数，不符合题意； 是整数，是有理数，不符合题意； 是有限小数，是有理数，不符合题意； 是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 故选：D． 5. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边之差小于第三边． 首先设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得，再解即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系可得： ， 即：， 只有选项B符合要求， 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式 B. 为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 C. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次必有1次中奖 D. “投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意； B. 为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意； C. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次可能有1次中奖，故该选项不正确，不符合题意； D. “投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类，掌握以上知识是解题的关键． 7. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点O作，垂足为H，在中，有勾股定理即可求出结果． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键． 9. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性可知一次函数中随的增大而减小，再结合图象上点的特征即可解答． 【详解】解：， 一次函数中随的增大而减小， 又， ． 故选：B． 10. 如图，是的高，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径画弧交于点；作射线交于点．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的作法及性质，证明是解题的关键． 先证是等腰直角三角形，推出，，作于点F，由角平分线的性质定理得，推出，进而得出，依次求出，即可． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 是的高， ，， 如图，作于点F， 由作图知，平分， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 12. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程变形，化为同分母分式，再去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验得到原方程的解． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同时乘以得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入得：， 因此，是原分式方程的解． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 14. 图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由菱形的性质可知是的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ∴是的中点， 在中，， ， 菱形的面积为． 故答案为：． 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设“立春”用A表示，“立夏”用B表示，“秋分”用C表示，“大寒”用D表示，画树状图如下： 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是=． 16. 如图，某校的图书码共有7位数字，它是由6位“数字代码”和1位“校验码”构成，其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性的，它的编制是按照特定的算法得来的．以图1所示的图书码为例，其算法为： 第1步，计算前6位数字中从左向右数偶数位上的数字之和为，即； 第2步，计算前6位数字中从左向右数奇数位上的数字之和为，即； 第3步，计算与的和为，即； 第4步，取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 第5步，计算与的差就是校验码，即． 如图2，某个图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查列代数式．根据题干给定的算法，列出代数式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∵为10的整数倍， ∴的个位数只能为6， ∴； 故答案为：2． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，先逐项化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求代数式的值，其中a＝＋1． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的乘除法则进行化简即可解题. 【详解】式＝＝， 当＋1时， 原式＝ 【点睛】本题考查了分式的化简求值,属于简答题,熟悉分式的乘除法则是解题关键. 19. 长沙香炉洲大桥全线长约三千米，横跨湘江，连通大泽湖街道和丁字湾街道，其中西汊航道独塔斜拉桥塔高202米，刷新了长沙跨江大桥的最高纪录．某校数学实践小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，得到如下数据：，，米． （1）求的长； （2）若一辆小车以15米/秒的速度从A往B行驶，问小车能否在40秒钟内通过路段？（参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）小车在秒钟内通过路段 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）根据题意得到，再根据余弦的定义得到，求出米，得到米，计算比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：，，米， （米） 【小问2详解】 解：，， ， ， 米， 在中，， ， 米 ， 米 米 ， 小车能在秒钟内通过路段． 20. 百合外国语学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图： 名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成5组，分别是， b．名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的学生总数的值为___________ （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为___________度； （4）百合外国语学校共有1800名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？ 【答案】（1）30 （2）见解析 （3）48 （4）1020 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体的思想，补全频数分布直方图，求扇形圆心角的度数，条形统计图和扇形统计图的综合问题， 对于（1），根据D组的人数及其所占的百分比可得调查的学生人数； 对于（2），先求出C组的人数，再补全统计图即可； 对于（3），先求出B组所占的百分比，再乘以得出答案； 对于（4）用总人数乘以样本中睡眠时间在9小时以上的百分比可得答案． 【小问1详解】 解：， 所以本次调查的学生总人数为30人； 故答案为：30； 【小问2详解】 解：，可知C组的人数有7人； 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：， 所以B组所在扇形区域的圆心角为； 故答案为：48； 【小问4详解】 解：， 所以睡眠时间在9小时及以上的学生有1020名． 21. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与，重合），将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，．与边交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）当平分时，求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先由正方形得，，再根据旋转得，，接着利用同角余角相等推出，最后证明； （2）先根据，，得，正方形对角线得，再根据角平分线和全等得，从而证，最后根据相似比例，结合得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 【点睛】求证乘积式先转比例式，依托等角证相似，再借等量代换完成推导． 22. 某校计划购买甲、乙两种树苗共株绿化校园，已知甲种树苗每株元，乙种树苗每株元． （1）若购买这批树苗共用了元，求甲、乙两种树苗各购买了多少株？ （2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和，若要使这批树苗的成活率不低于且买树苗的总费用最小，问应选购甲、乙两种树苗各多少株？总费用最小是多少元？ 【答案】（1）购买甲种树苗株，乙种树苗株 （2）购买甲种树苗株，乙种树苗株，总费用最小为元 【解析】 【分析】（1）先设购买甲种树苗株，根据两种树苗共株，得购买乙种树苗株，再根据总费用列一元一次方程求解； （2）先列费用一次函数，再由成活率列不等式求范围，利用一次函数增减性求费用最小值． 【小问1详解】 解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株， 根据题意得，， 解得， ， 答：购买甲种树苗株，乙种树苗株； 【小问2详解】 解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买这批树苗总费用为元，根据题意得， ， 又由题意可得，， 解得， ∵， ∴一次函数的函数值随增大而减小， ∴当时，， 此时，乙种树苗株， 答：购买甲种树苗株，乙种树苗株，总费用最小为元． 23. 如图，直角坐标系中，A（2，0），点在第一象限且为正三角形，的外接圆交y轴的正半轴于点，过点作圆的切线交x轴于点． （1）求、两点的坐标； （2）求直线的函数解析式； （3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长，试求当△AEF的面积取最大值时AE的长． 【答案】（1）B（1，）；C（0，） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)连接AC，作BG⊥OA于G，如图，根据等边三角形的性质得OA=AB=OB=2，∠ABO=60°，∠OBH=30°，根据含30°的直角三角形求出OH，BH，然后在Rt△OAC中求出OC的长，即可写出B、C坐标； （2）由∠AOC=90°，得出AC是圆的直径，再根据CD是圆的切线，得CD⊥AC，由∠OCD=30°，计算出得到D点坐标为（，0），然后用待定系数法求CD的函数解析式； （3）先求出AB、OA、OD、CD、BC、OC的长，得出四边形ABCD的周长，设AE=t，△AEF的面积为S，得出S的二次函数，根据点E、F分别在线段AB、AD上，求出t的取值范围，再利用二次函数的最值求取S的最大值时AE的长． 【小问1详解】 解：∵A（2，0）， ∴OA=2． 连接AC，作BG⊥OA于G， ∵△OAB为正三角形， ∴OG=1，， ∴B（1，）， ∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°， ∴， ∴C（0，）； 【小问2详解】 ∵∠AOC=90°， ∴AC是圆的直径， 又∵CD是圆的切线， ∴CD⊥AC， ∴，， ∴D（，0）， 设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 则，解得 ， ∴直线CD的解析式为； 【小问3详解】 ∵AB=OA=2，，，， ∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=． 设AE=t，△AEF的面积为S，过点E作于点H， 则，， ， ∵， 又∵点E、F分别在线段AB、AD上， ∴ ， ∴， ∴当时，， 即当时，△AEF的面积取最大值． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、切线的性质定理、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用等知识，综合性强，解题关键是熟练掌握相关性质，并用数形结合的思想分析问题． 24. 世界乱象丛生，祖国和平安定，稳如泰山我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为非零常数，则称这两个函数为关于的“和定函数”，为和定系数，请根据该约定，解答下列问题： （1）求函数与函数的和定系数； （2）若一次函数（，为常数，）与反比例函数（为非零常数）为关于的“和定函数”，且对任意实数，都有，求一次函数解析式和反比例函数的解析式； （3）如图所示，若函数与函数为关于的“和定函数”，两个交点分别为，，点坐标为，连接，． ①求证：平分； ②试问的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为； （3）①证明：联立， 整理得， 已知和定系数，即两根之和为． ， 解得， 抛物线解析式为，此时抛物线关于轴对称． 设，，其中，． 联立与得，即， ，． 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， ． 令，得， 直线与轴的交点坐标为． 同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点坐标为． ， 直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称． 平分． ②的值是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）联立整理得，根据新定义即可求解； （2）联立得，由“和定函数”得即方程的两根之和为， 由根与系数的关系得， 令解得，可得 恒成立，则有且，即可求解； （3）①联立可得， 设，， 结合待定系数法求得，，即可求解； ②由相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质得，，可得，，代入求解即可. 【小问1详解】 解：联立整理得， 设方程的两个根为，，根据韦达定理：， 函数与函数的和定系数为． 【小问2详解】 解：联立，得，已知这两个函数是关于的“和定函数”，即方程的两根之和为． 根据韦达定理：得到； 令， 整理得， 解得， 当时，． 必过， ， 又， ， ． 又， 整理得恒成立， 且， ， ， ，，． 一次函数解析式为，反比例函数的解析式为． 【小问3详解】 解：①略； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴的值是定值，定值为． 25. 如图，是的直径，弦于点，连接，，，，点是上一动点，连接并延长交于点，作，交的延长线于点． （1）证明：是的切线； （2）设的面积是，的面积是，的面积是，若，求的值； （3）如图，当时，交于，若，设，，求与的函数关系式． 【答案】（1）证明：连接， ，是的直径， ，， ，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理，得出，，再利用等边对等角，切线的判定方法即可得证； （2）先根据，且，得出，即，进一步得出，进而，最后利用勾股定理即可解答； （3）根据垂径定理、相似三角形的判定与性质、二次根式的性质及化简，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，且， ∴，即， ， ∴或（不合题意，舍去）， ∴． ，， ，，， ， ． ， ∴． 设，（），半径为，（），则，， 在中，， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：， ，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ， ． 又∵易得，， ∴，， ． 设，（）， ，，，， ∴在中，， 即， 解得，（负值已舍去）， ，． ，， ∴， ， ， ． 答：与的函数关系式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $