26.2.2.1 二次函数y＝ax²＋k的图象和性质（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²＋k的图象和性质，课堂导入通过复习描点法及y=ax²的性质，以配方为桥梁建立与新知的联系，形成学习支架帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于通过探究画图、对比平移关系培养几何直观，用表格归纳性质发展抽象能力，例题练习强化推理意识。如对比y=1/2x²与y=1/2x²±2的图象总结“上加下减”规律，助力学生直观理解知识，也为教师提供结构化教学资源提升教学效果。

26.2　二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax²＋k的图象和性质 人教版 九年级 数学（上） 第26章 二次函数 新课导入 1．画函数图象利用描点法，其步骤为______、______、______． 列表 描点 连线 2 2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条_______，如果a>0，它的开口向_____，对称轴是______，顶点坐标是______；那么当x＜0时，y随x的增大而______，当x＞0时，y随x的增大而______；当x＝______时，y取最______值．当a<0时又会有什么变化呢？ 抛物线 上 y轴 (0，0) 减小 增大 0 小 探究新知 思考： 回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ ax2+bx+c a(x−h)2+k 配方 y=ax2+bx+c y=a(x−h)2+k 当分别讨论h，k的取值时，就可以建立起y=ax2+bx+c与y=ax2的联系了. 当h=0，k≠0时，二次函数 y = ax2 + k的图象和性质是怎样的？ 探究： (1)在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=x2+2，y=x2−2的图像，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2)抛物线y=x2+2，y=x2−2与抛物线y=x2有什么关系？ 先列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x2+2 … … y=x2 −2 … … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 然后描点画图，就得到y = x2+2，y = x2−2的图像. 图中红色、蓝色抛物线分别是哪一个函数的图象？ 中间黑色虚线抛物线又是哪一个函数的图象？ 抛物线y＝x2＋2与y＝x2－2的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 开口方向 对称轴 顶点 y = x2+2 y = x2−2 向上 y轴 (0，2) 向上 y轴 (0，−2) 抛物线y＝x2＋2，y＝x2－2与抛物线y＝x2有什么位置关系？ y = x2 y = x2 + 2 向上平移 2个单位长度 y = x2 y = x2 − 2 向下平移 2个单位长度 y = x2 + k 改变k的值，你发现了什么？ 改变k的值，可以发现，随着k的变化，二次函数y=x2+k的图象在向上或向下平移，即把抛物线y=ax2向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=x2+k . y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时，向上平移k个单位长度得到 当k<0时，向下平移∣k∣个单位长度得到 上下平移规律：上加下减常数项. 思考： 你能归纳出二次函数 y = x2 + k的图象特征和性质吗？与同学交流一下. 二次函数y=ax2 +k的图象和性质： y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 向上 向下 y=ax2+k a>0 a<0 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大； 当x<0时，y随x增大而减小； y轴（直线x=0） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 当x>0时，y随x增大而增大. 当x>0时，y随x增大而减小. 知识归纳 1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系： 函数解析式 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 y＝ax2 (a≠0) (0，0) y轴 当a＞0时，抛物线开口向_____；当a＜0时，抛物线开口向_____． 如果a＞0，那么当x＜0时，y随x的增大而____，当x＞0时，y随x的增大而_____；如果a＜0，那么当x＜0时，y随x的增大而_____，当x＞0时，y随x的增大而______． y＝ax2＋k (a≠0) (0，k) 上 下 减小 增大 增大 减小 2.二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上或向下平移______个单位长度得到．当k＞0时，抛物线y＝ax2向______平移______个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向______平移______个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k. |k| 上 k 下 |k| 例 1 例题与练习 指出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值． (1)y＝－x2＋4； 向下 y 轴 (0，4) 当x＝0时，有最大值 y＝4. 开口方向: 对称轴: 顶点坐标: 最值: (2) y＝2x2－3. 向上 y 轴 (0，−3) 当x＝0时，有最大值 y＝−3. 开口方向: 对称轴: 顶点坐标: 最值: 例 2 直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数解析式： (1)经过点(－3，2)； (2)与抛物线 y＝x2的开口大小相同，方向相反； (3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4. (1)y＝x2－1. (2)y＝－x2－1. (3)y＝－x2－1. 例 3 能否适当地上下平移抛物线 y＝x2，使得到的新图象经过点(5，－2)？若能，请你求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 解：设平移y＝x2的图象后经过点(5，－2)的图象的函数解析式为y＝x2＋k， 则有－2＝×52＋k， 解得k＝－7， 故平移后经过点(5，－2)的抛物线为y＝x2－7， 即把抛物线y＝x2向下平移7个单位长度． 1. 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y = x2，y = x2+1，y = x2−1 . 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 1 1 -1 -1 3 - 3 -3 y = x2+1 y = x2 y = x2−1 y = x2 y = x2+1 y = x2−1 向上平移1个单位长度 向下平移1个单位长度 1 1 -1 -1 3 - 3 -3 y = x2+1 y = x2 y = x2−1 y = x2 开口向上 对称轴：y 轴 顶点坐标：(0，0) 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. y = x2+1 1 1 -1 -1 3 - 3 -3 y = x2+1 y = x2 y = x2−1 开口向上 对称轴：y 轴 顶点坐标：(0，1) 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. y = x2−1 1 1 -1 -1 3 - 3 -3 y = x2+1 y = x2 y = x2−1 开口向上 对称轴：y 轴 顶点坐标：(0，−1) 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. 2．对于二次函数y＝－x2＋3，下列说法中错误的是 (　 　) A．最大值为3 B．图象与y轴没有交点 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．其图象关于y轴对称 B 3．已知抛物线y＝4x2＋2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是 (　 　) A．y1＜y2　　　B．y1＝y2　　　 C．y1＞y2　　　D．无法确定 4．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位长度得到抛物线y＝－3x2＋2，则a＝_____，c＝_____． C －3 4 课堂小结 1．二次函数y＝ax2＋k的图象和性质． 2．二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的关系． 随堂检测 1、已知点(m，n)在 y = ax2+a（a不为0）的图象上 ，点(-m,n)_______（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 在 2、若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k______；若顶点位于x轴上方，则k______；若顶点位于x轴下方，则k ______. =2 >2 <2 3、如图，抛物线 y = x2−4与 x 轴交于A、B两点, 点P为抛物线上一点，且S△PAB = 4，求P点的坐标. 解：抛物线y=x2−4，当y=0时，x=±2， 即A点的坐标为(−2,0)，B点的坐标为(2,0) . ∴AB=4. ∵S△PAB=4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4｜b｜=4. ∴｜b｜=2. 即b=±2. 当b=2时，x2−4=2，解得x= ±. 当b=−2时，x2−4=-2，解得x= ±. ∴P点坐标为(,2)，(−,2)，(,2)，(− ,2) . 作业布置 (1)教材P44　习题26.2第2题(1)； (2)对应课时练习． $