精品解析：甘肃嘉峪关市酒钢三中2026届高三适应性考试数学试题

嘉峪关市酒钢三中2026届高三适应性考试卷 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等写在答题卡和试题卷上的规定位置，并认真核对相关信息. 2．考生在答题卡上需按要求答题，考生必须在答题卡上各题目规定的答题区域内答题，超出答题区域书写答案无效.在本试题卷和草稿纸上答题无效. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写. 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，为实数，且，则（ ） A. 7 B. 5 C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知，，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. 或 D. 2或 5. 已知圆台存在内切球，圆台的上底面半径为2，母线长为6，则该内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. 240 B. C. 80 D. 7. 在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（ ） A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7 8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（ ） A. B. C. （其中） D. 当，时， 10. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C为钝角 B. C. D. 的最小值为 11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则周长的最小值为11 C. 若三点共线，且，则 D. 若直线过，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列 的前n项和为 若 则 ________ 13. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 14. 在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 17. 在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． （1）证明：． （2）若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 18. 设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． （1）证明：，，三项成等差数列； （2）证明：对任意整数，均有； （3）数列是否为等差数列?并说明理由． 19. 某中学共有个社团，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会需随机邀请其中个社团参展（，为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从个社团中等可能地选取个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为． （1）求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； （2）求使概率取得最大值的整数的值（用，表示）； （3）记随机变量的数学期望为，方差为； （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，有，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市酒钢三中2026届高三适应性考试卷 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等写在答题卡和试题卷上的规定位置，并认真核对相关信息. 2．考生在答题卡上需按要求答题，考生必须在答题卡上各题目规定的答题区域内答题，超出答题区域书写答案无效.在本试题卷和草稿纸上答题无效. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写. 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，为实数，且，则（ ） A. 7 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件转化为，再利用复数相等求参数. 【详解】由条件可知，即， 得且，解得，， 所以. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 故. 3. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 4. 已知，，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. 或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由在上的投影向量为，可得，代入求解即可. 【详解】因为，在上的投影向量为，所以，所以，解得或，所以或，所以或. 5. 已知圆台存在内切球，圆台的上底面半径为2，母线长为6，则该内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，由题意易知为等腰梯形，且， 取的中点 ，连接，因为圆台存在内切球，设内切球的半径为， 则易知球心在上，且， 过点作，交于，连接， 设，则由圆的切线性质可知， 所以，所以， 过点作，交于， 则, 由，得，解得， 所以，所以内切球的表面积为. 6. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. 240 B. C. 80 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的通项， 项的两种来源，①中项与相乘，②中项与相乘， ①令，得，此时该项为，与相乘后得到， ②令，得，此时该项为，与相乘后得到， 所以，含项的系数为． 7. 在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（ ） A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】设该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为， 根据题意可得，，解得. 8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的周期性画出函数的图象，利用对称性判断轴两个函数图象交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围. 【详解】由已知满足， 且函数为偶函数， 所以， 令， 所以函数是周期为的周期函数. 又因为与函数都是偶函数，由对称性可知 由于关于的方程至少有8个实数解， 故当时，与至少有个交点. 函数与图象如图所示. 由图可知：当时，只需，解得 ， 当时，只需，解得， 当时，显然符合题意. 综上所述：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（ ） A. B. C. （其中） D. 当，时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题结合正态分布的对称性判断选项A，B，根据二项分布的概率公式判断选项C，再通过条件概率公式计算验证选项D，从而得出正确答案． 【详解】对于A，正态分布的密度曲线关于直线对称， 所以，A正确； 对于B，由正态分布的对称性， ， 所以，B正确； 对于C，二项分布满足，， 当且仅当时两者相等，一般情况不成立，C错误； 对于D，当时，， ， 条件概率 ，D正确． 10. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C为钝角 B. C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可得A正确；由余弦定理结合A的结果可得B正确；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得C正确；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可得D正确； 【详解】对于A，∵， ∴，即， ∴，又，∴一定为钝角，故选项A正确； 对于B，由余弦定理知，，化简得，故选项B正确； 对于C，∵， ∴，故选项C正确； 对于D，∵， ∴， ∵为钝角，则，， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则周长的最小值为11 C. 若三点共线，且，则 D. 若直线过，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据焦点坐标得到抛物线方程，求出，得到答案；B选项，根据焦半径进行转化，得到的最小值，进而得到周长的最小值；C选项，设出直线方程，联立抛物线方程，根据三角形面积公式得到直线斜率，并得到；D选项，设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理得到A，B的坐标，并得到各边长，由余弦定理，同角三角函数关系和二倍角公式得到答案. 【详解】抛物线的焦点为， 由题意得，解得. 对于A：如图，设点在第一象限，由，得. 在中，因为，则， 所以，故A错误； 对于B：抛物线的焦点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为. 的周长为， 当三点共线时，的周长取最小值， 最小值为，故B正确； 对于C：设直线的方程为，显然直线与抛物线必相交， 联立方程，消去得， 则. 则. 可得，解得. 所以 ，故C正确； 对于D：设过点的直线的方程为， 联立方程，消去得， 则，解得，可得. 将，代入得，即，解得或. 当时，，此时与重合，舍去； 当时，，则， 可得， 因为，则. 又因为，则， 所以. 可得. 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列 的前n项和为 若 则 ________ 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意可求出，进而可求 【详解】由题意 则 所以 故答案为：30 13. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 14. 在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的定义，转化为求的最大值，利用正弦定理求的最大值. 【详解】因为平面，所以为直线与平面所成的角， 中，，，外接圆的半径为， 所以， 不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动， 所以的最大值为直径， ，当时，的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再求，，然后根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据题意可知存在，使，参变分离得，令函数，再利用导数结合交点个数求参数范围即可． 【小问1详解】 解：由题意，，则， . ∴曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 解：由题意，. 在上存在两个零点， ∴存在，使， 即. 令函数，则直线与函数的图象有两个交点. ， 由，得. 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，则. ∵当时，；当时，， ∴当时，直线与函数的图象有两个不同交点， ∴实数的取值范围是． 17. 在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． （1）证明：． （2）若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在中，是线段的中点， .∵平面平面，平面平面平面， ∴平面.又∵平面，∴， ∵，即，，平面， ∴平面，∵平面 ∴ （2）(2)①；②存在实数 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，进而证明，再结合已知证明平面，最后应用线面垂直的定义得出线线垂直； （2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数； ②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①取的中点，连接，则，由（1）可知，平面. 平面，即两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 设平面的法向量为， 则即令，则. 设平面的法向量为， 则即令，则. . 设二面角的平面角为， 则. ，解得，即. ②假设实数存在，设点，则. 由，得则 由，得，则， 由（1）知平面的一个法向量. 由平面，得，解得. ∴存在实数，使得当时，平面. 18. 设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． （1）证明：，，三项成等差数列； （2）证明：对任意整数，均有； （3）数列是否为等差数列?并说明理由． 【答案】（1）证明： 由题意得 ， 对任意，，且前项和 要证成等差数列，只需证， 当时，代入递推式得， 又，， 代入得： ，化简得， 两边同乘3得，整理得， 因为， 所以，故成等差数列，证毕.； （2）证明： 因为数列，对任意，令 所以，对任意，，，， 所以，前项和， 所以①， 因为，对任意，②， 将②代入①得：， 移项化简得，证毕.； （3）数列是等差数列，理由如下： 由（2）的结论，对任意整数，均有， 令（），得， 因为， 所以， 验证时也成立， 所以，对所有， ， 当时， ， 两式相减得： ， 展开整理得， 令，代入上式得（）， 可变形为， 又因为当时，，即 所以数列在时为常数列，即， 所以时，，其中为常数，（显然时也成立）， 所以，，即是首项为1，公差为的等差数列. 【解析】 【分析】（1） 先利用递推公式结合的定义验证满足等差中项性质即可证明； （2）结合前项和与的关系推导第二问的等式即可证明； （3）通过与的递推关系推导的通项公式，判断其为等差数列 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某中学共有个社团，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会需随机邀请其中个社团参展（，为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从个社团中等可能地选取个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为． （1）求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； （2）求使概率取得最大值的整数的值（用，表示）； （3）记随机变量的数学期望为，方差为； （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，有，． 【答案】（1） （2）当能被整除时，和；当不能被整除时，；（表示的整数部分） （3）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用对立事件概率公式计算至少参加一次的概率； （2）由题意求出的组合表达式，再通过解不等式，确定，进而找到取最大值对应的m； （3）（i）结合超几何分布的期望公式即可求得；（ⅱ）利用服从超几何分布的离散型随机变量的方差的性质，求的，再通过不等式放缩证明结论. 【小问1详解】 设社团“星火社”至少参加一次博览会为事件M，则； 【小问2详解】 当时，同时收到两次邀请的社团数为， 仅收到周一或仅收到周三邀请的社团数均为， 则由乘法计数原理知事件所含基本事件数为， 此时， 令，即得， 解得， 则当能被整除时， 在和处取得最大值， 当不能被整除时，在处取得最大值； （表示的整数部分） 【小问3详解】 记“某社团参加周一的博览会”为事件A，“某社团参加周三的博览会”为事件B， 记两次都参加的社团数，则，S满足超几何分布， （i）； （ii）证明：， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $