第2章 第9讲 函数的对称性及其应用(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性及其应用”专题，依据课程标准要求梳理了两个函数图象对称、函数自身轴对称与中心对称等核心考点，通过分析近三年高考真题明确自身对称（如2023全国乙卷、2024新课标Ⅰ卷）为高频重难点，归纳出对称中心/轴判断、参数求解等常考题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+多法解题+规律建模”策略，如以2023乙卷对称函数题为例，通过“方程法、零点对称法、定义法”三种思路培养数学思维，总结“和定对称，差定周期”口诀助学生用数学语言表达规律。设“易错陷阱警示”和分层测评，教师可据此精准教学，学生能高效掌握解题技巧，提升高考得分率。

第9讲　函数的对称性及其应用 高三总复习数学 广东专版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.能通过平移，分析得出一般的中心对称和轴对称公式和推论.　 2.会利用对称公式解决问题. 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.两个函数图象的对称性 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____对称. (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____对称. (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称. y轴 x轴 原点 2.函数自身的对称性 (1)轴对称 ①偶函数关于_____对称. ②若f(x＋2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为______，一般地，若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线______对称. ③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线______对称. y轴 x＝2 x＝a x＝a (2)中心对称 ①奇函数关于______对称. ②若f(x＋2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为________，一般地，若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点________对称. ③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点______对称. 微提醒　函数自身对称性的表达式与周期性表达式外表很像，应注意区别，为避免混淆出错，可以用口诀“和定对称，差定周期”来判断是对称性还是周期性.　 原点 (2，0) (a，0) (a，0) 常用结论 1.对称性的三个常用结论 (1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点(，0)对称.特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. (3)[教材知识纵向延伸]①若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称. ②若y＝f(x)与y＝g(x)关于x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)；若y＝f(x)与y＝g(x)关于点(a，b)对称，则g(x)＝2b－f(2a－x). 2.函数对称性与周期性的关系(双对称问题求周期) (1)若函数f (x)的图象关于x＝a和x＝b(a≠b)对称，则y＝f (x)的一个周期为2｜b－a｜. (2)若函数f (x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f (x)的一个周期为2｜b－a｜. (3)若函数f (x)的图象关于x＝a和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f (x)的一个周期为4｜b－a｜. 可以简记为：双对称见周期，周期为同类对称2倍差，异类对称4倍差. 自测诊断 1.(多选)下列结论正确的是 A.函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 B.函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称 D.若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称 √ √ 因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋.又y＝的图象关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.故选B. 2.函数f(x)＝图象的对称中心为 A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，1) √ 由题图可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，所以当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]. 3.(链接人教A必修一P85练习T1)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为___________ _________. [－5，－2) ∪(2，5] 返回 4.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝_____. 因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 5 考点探究　能力提升 返回 考点一　两个函数图象的对称 自主练透 1.函数y＝ex与函数y＝e－x的图象 A.关于 x轴对称 B.关于 y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y＝x对称 √ 令f(x)＝2x－cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)＋f(－x)＝0，所以g(x)＝－f(－x)＝－[2－x－cos(－x)]＝－＋cos(－x).故选C. 2.下列函数与y＝2x－cos x的图象关于原点对称的是 A.y1＝－2x＋cos x B.y1＝2－x－cos(－x) C.y1＝－2－x＋cos(－x) D.y1＝－2－x－cos(－x) √ 设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y).由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x).故选D. 3.下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是 A.y＝log2(2＋x) B.y＝log2(2－x) C.y＝log2(4＋x) D.y＝log2(4－x) √ 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. 4.已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的 图象 A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 √ 破解两个函数图象对称的方法 1.利用结论“函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称”，即可求出对称轴.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝. 2.利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在题中的应用. 规律方法 考点二　函数自身轴对称(高考超重点) 师生共研 法一：因为f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(－3)＝f(－1)，f(－5)＝f(1)， 即所以ab＝120. 典例1 (1)(一题多解)已知函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则ab＝_____. 120 法二：令f(x)＝0，可得1－x2＝0，解得x＝－1，或x＝1.由对称性知，方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为x＝－3，或x＝－5.由根与系数的关系 可得所以ab＝120. 法三：因为函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(－2＋x)＝f(－2－ x)，整理可得所以ab＝120. [注]　从本题的三种方法中很好地体现了多想少算地解题策略，只有平时多练习思考，从中对比优劣，才能拓展思维广度，才能在考试的时候可以灵活选择. 试求函数f(x)的最大值？ 教师备选 解：把a＝8，b＝15代入f(x)得，f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)， 所以f(x)＝－(x2－1)(x2＋8x＋15)＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5) ＝－[(x＋1)(x＋3)][(x－1)(x＋5)]＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5). 令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，所以h(t)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t2－2t－15)＝－(t－1)2＋16， 所以t＝1∈[－4，＋∞)时，函数f(x)的最大值为16. (2) (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由. 解：假设存在a，b， 使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称. 令g(x)＝f()＝(x＋a)ln(1＋) ＝(x＋a)ln ， 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称， 所以g(x)＝g(2b－x)， 即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln ， 于是 当a＝，b＝－时，g(x)＝(x＋)ln(1＋)， g(－1－x)＝(－x－)ln ＝(－x－)ln ＝(x＋)ln ＝(x＋)ln(1＋)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意. 故存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－. 轴对称问题的常用性质 1.设P(x0，y0)为y＝f(x)图象上任一点，若y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔点Q(2a－x0，y0)在y＝f(x)的图象上. 2.(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称. 规律方法 由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f(x)的定义域是(－∞，2)∪(2，＋∞).因为f(2－x)＝log2｜x｜＋(2－x)2－4(2－x)＝log2｜x｜＋x2－4，f(2＋x)＝log2｜x｜＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2｜x｜＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称. 对点练1.已知函数f(x)＝log2｜x－2｜＋x2－4x，则函数f(x)关于直线______对称. x＝2 函数f(x)＝ln图象的对称轴方程为_______. 因为内层函数t＝的对称轴是直线x＝，所以函数f(x)＝ln图象的对称轴方程为x＝. 教师备选 x＝ 对点练2.已知函数f(x)＝32－x＋3x＋a，其中a为常数，若存在x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝ A.0 B.1 C.2 D.2a 因为f(2－x)＝3x＋32－x＋a＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称.又f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝2.故选C. √ 函数f(x)＝ex＋e－x－2图象的对称轴方程是__________. 由f(x)＝ex＋e－x－2，得f(x)＝e－1(ex＋1＋e－x－1).因为函数y＝ex＋1＋e－x－1是由偶函数y＝ex＋e－x向左平移一个单位长度得到[破题点：利用奇偶性判断函数对称性是首选策略]，所以函数f(x)＝e－1(ex＋1＋e－x－1)图象的对称轴是直线x＝－1. 教师备选 x＝－1 对点练3.已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有＜0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)＞f(1)的解集为 A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2) C.(e，e3) D.(e，＋∞) 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.因为f(x)在[2，＋∞)上恒有＜0(x1≠x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)＞f(1)需满足｜ln x－2｜＜｜1－2｜⇒1＜ln x＜3，解得e＜x＜e3.故选C. √ 考点三　函数自身中心对称(高考超重点) 师生共研 典例2 (1)(多选)下列说法中正确的是 A.函数f＝的图象关于点(－2，2)对称 B.函数f满足f为奇函数，则函数f的图象关于点(－1，0)对称 C.若函数y＝f过定点(0，1)，则函数y＝f＋1过定点(1，2) D.函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 √ √ √ 对于A，f＝＝2－，所以该函数图象的对称中心为(－2，2)，故A正确；对于B，因为f为奇函数，所以f＝－f，所以f＝－f，所以函数f的图象关于点(－1，0)对称，故B正确；对于C，函数y＝f＋1的图象是由函数y＝f的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到.因为函数y＝f过定点(0，1)，所以函数y＝f＋1过定点(1，2)，故C正确；对于D，因为y＝＝＝1＋，所以该函数图象的对称中心为(b，1)，由已知可知该函数的图象关于点(3，c)中心对称，所以有b＝3，c＝1⇒b＋c＝4，故D错误.故选ABC. 证明：f＝ln ＋ax＋b的图象是由函数g＝ln ＋ax＋bx3＋a向右平移1个单位得到，而函数g＝ln ＋ax＋bx3＋a关于中心对称，所以y＝f图象为中心对称图形，且对称中心为. (2)(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形. 溯源教材5 溯源 (人教A必修一P87习题T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 透视 该高考题是教材习题结论的直接应用，只有掌握了教材习题，本高考题(含典例1(2))的解题思路就非常清晰.从本高考题可以看出，一是函数与导数中的解答题不再局限于导数问题，纯函数问题成为新的命题方向；二是函数图象的对称性问题体现了高考“反套路”的命题导向，在近三年高考试题解答题中多次出现.所以高三备考中在立足基础复习的策略下，还要强调融会贯通，增强同一主题必修模块与选择性必修模块间的联系，将各个模块的知识有机结合并综合应用 预测 (1)函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是__________. (1，－2) 解析：法一(常规法)：设对称中心为(a，b)，则f(a＋x)＋f(a－x)＝2b对任意的x均成立，所以(a＋x)3－3(a＋x)2＋(a－x)3－3(a－x)2＝2b，整理得，2a3＋6ax2－6a2－6x2＝2b，即a3＋3ax2－3a2－3x2＝b，所以a3－3a2＝b，且3a－3＝0，所以a＝1，且b＝－2，故对称中心为(1，－2). 法二(导数法)：因为f(x)＝x3－3x2，所以f'(x)＝3x2－6x.由f'(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0，或x＝2.因为三次函数都是中心对称图形，所以对称中心中x＝＝1，可求对称中心中y＝13－3×12＝－2，故对称中心为(1，－2). 【教师备选】　法三(导数法)：因为三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都是中心对称图形，都关于点(－，f(－))对称，所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是(1，－2). 预测 (2)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－3)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形. 证明：因为f(x)的定义域是(2，4)，关于x＝3对称， ……………… [破题点] 所以f(x)＋f(6－x)＝［ln ＋ax＋b(x－3)3］＋［ln ＋a(6－x)＋b(3－x)3］ ＝(ln ＋ln )＋[ax＋a(6－x)]＋[b(x－3)3＋b(3－x)3]＝6a， 所以f(x)＋f(6－x)＝6a， 所以曲线y＝f(x)关于点(3，3a)中心对称， 所以曲线y＝f(x)是中心对称图形，对称中心为点(3，3a). 中心对称问题的常用性质 1.设P(x0，y0)为y＝f(x)图象上任一点，若y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔点Q(2a－x0，2b－y0)在y＝f(x)的图象上. 2.(1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点(，)成中心对称. 注意：(1)对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2(2)关于点(，)，也就是(，)对称. (2)三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都是中心对称图形，都关于点(－，f(－))对称. 规律方法 因为函数y＝f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)＋2 026的图象关于点(2，2 026)对称.故选A. 对点练4.已知函数y＝f(x＋2)为奇函数，则函数y＝f(x)＋2 026的图象 A.关于点(2，2 026)对称 B.关于点(2，－2 026)对称 C.关于点(－2，2 026)对称 D.关于点(－2，－2 026)对称 √ 法一：因为f(x)的定义域是(－∞，0)∪(2，＋∞)，关于x＝1对称，所以f(x)＋f(2－x)＝［ln＋(x－1)3＋3］＋［ln＋(1－x)3＋3］＝(ln＋ln)＋[(x－1)3＋(1－x)3]＋6＝6，所以f(x)＋f(2－x)＝6，所以曲线y＝f(x)关于点(1，3)中心对称. 法二：因为f(x)＝ln＋(x－1)3＋3，所以f(x)＝ln＋(x－1)3＋3.令g(x)＝ln＋x3，可判定g(x)是奇函数，所以函数f(x)是由函数g(x)向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度变换而成，所以函数f(x)图象的对称中心为(1，3). 对点练5.(一题多解)函数f(x)＝ln ＋(x－1)3＋3图象的对称中心为_______. (1，3) 对点练6.已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为____. 因为f(－x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x)的图 象关于点(1，0)对称.又y＝的图象也关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3＝6. 返回 6 课 时 分 层 测 评 返回 1.已知函数f(x)＝，则函数f(x)图象的对称中心的坐标为 A.(－1，－3) B.(－1，3) C.(－1，－2) D.(－1，2) √ f(－1＋x)＋f(－1－x)＝＋＝＋＝－4，所以函数f(x)的图象关于点(－1，－2)对称.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.(一题多解)已知函数f(x)＝2｜2x－a｜的图象关于直线x＝2对称，则a等于 A.2 B.4 C.－2 D.－4 √ 法一：函数f(x)＝2｜2x－a｜的图象关于直线x＝2对称，可得f(2＋x)＝f(2－x)，即为＝，即有｜2x＋4－a｜＝｜4－2x－a｜(*)恒成立，可得4＋2x－a＝4－2x－a或4＋2x－a＋4－2x－a＝0，解得x＝0或a＝4，检验可得a＝4时(*)式恒成立.故选B. 法二：因为函数y＝的对称轴为x＝.根据题意，有＝2，解得a＝4.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则b等于 A.1 B.－1 C.3 D.－3 √ 因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0.又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，所以f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，所以 解得a＝－3，b＝1.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于 A.点(－2，0)对称 B.点(2，0)对称 C.直线x＝－2对称 D.直线x＝2对称 √ 因为f(x)＝ex－2－e2－x，所以f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.已知函数f (x)的定义域为R，则下列说法不正确的是 A.若f (x＋2)＝－f (－x)，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称 B.函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称 C.函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称 D.函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 若f (x＋2)＝－f (－x)，即f (x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f (x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f (2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f (－1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (1－x)－f (x－1)＋f (－1＋x)－f (1－x)＝0，故函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f (1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (3－x)－f (x－1)＋f (1＋x)－f (1－x)不恒为0，故函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象不关于(1，0)对称，故D错误.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是 A.f(x)＝f(－x) B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C.f(3)＝f(5) D.f(x＋2)＝f(x－2) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于点(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是 A.f(x)＝x＋ B.f(x)＝ex－3＋e3－x C.f(x)＝x4－18x2 D.f(x)＝ √ √ 若函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则f(6－x)＝f(x)总成立.对于A，f(6－x)＝6－x＋≠x＋＝f(x)，故A错误；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，故B正确；对于C，f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648≠f(0)，所以f(6－x)＝f(x)不恒成立，故C错误；对于D，易求f(x)的图象关于直线x＝3对称，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.设函数y＝f的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f＋f(9)＝1，则实数m＝____. 因为函数y＝f的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，所以x＝log3y－m，所以f＝log3x－m.又f＋f(9)＝1，所以(log33－m)＋(log39－m)＝1，整理得2m＝2，即m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.(开放题)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f＝________ _______________. ①f＝f；②f至少有两个零点；③f有最小值. 取f＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f＝f，令f＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f至少有两个零点，f＝x2－2x＝－1，当x＝1时，f＝－1，满足③f有最小值.(答案不 唯一). (答案不唯一) x2－2x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则f(0)＝____. 因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.又因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，1)对称，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，函数f(x－2)的图象关于y轴对称，函数f(x－1)的图象关于原点对称，则下列说法正确的是 A.f(－2)＝0 B.对∀x∈R，f(x)＝f(x＋4)恒成立 C.函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 D.f(2 027)＝0 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为函数f(x－2)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(x－2)＝f(－x－2)，则f(x)＝f(－x－4).因为函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称，f(－1)＝0，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，则f(x)＝－f(－x－2)，故C正确；因为f(x)＝f(－x－4)＝－f(－x－2)，所以f(x－4)＝－f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，故B正确；f(2 027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝0，故D正确；没有条件能确定f(－2)＝0，故A错误.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(2025·山东日照一模)已知函数f＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为__________. 令9－3x≠0，解得x≠2，可知f.又因为f＋f＝＋＝＝，所以函数f的图象关于点P对称. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)(2025·陕西西安二模节选)已知函数f＝ln(x＋1)，设g(x)＝(x＋1)f()－f(＋1). (1)求g(1)－g(－2)的值； 解：根据题意，g(x)＝(x＋1)ln(＋1)－ln(＋2)， 所以g(x)＝(x＋1)ln －ln ， 所以g(1)＝2ln 2－ln 3＝ln ，g(－2)＝－ln －ln ＝－ln ＝ln ， 所以g(1)－g(－2)＝ln －ln ＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)证明：存在实数m，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝m对称. 解：证明：g(x)的定义域是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，若存在实数m，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝m对称，则定义域(－∞，－1)∪(0，＋∞)关于直线x＝m对称， 所以m＝－. 所以g(－1－x)－g(x)＝［(－x)ln －ln ］－［(x＋1)ln －ln ］ ＝［(－x)ln －ln ］－［(x＋1)ln －ln ］ ＝(xln －ln )－［(x＋1)ln －ln ］ ＝ln －ln －ln ＝ln(··)＝ln 1＝0， 所以g(－1－x)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(交汇题)已知函数f(x)＝＋＋的图象的对称中心在直线y＝ax＋b上，则a2＋b2的最小值为 A. B. C. D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为f(x)＝＋＋，所以f(x)＝3＋＋＋.函数f(x)的定义域是，所以由题意知函数f(x)满足f(x)＋f(6－x)＝6a＋2b，则3＋＋＋＋(3＋＋＋)＝6a＋2b，整理得6a＋2b＝6，所以3＝3a＋b， 所以a2＋b2＝a2＋(3－3a)2＝10a2－18a＋9＝10＋，当且仅当a＝时有最小值，所以a2＋b2的最小值为.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.已知函数y＝f(x)－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f(x)共有2 026个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 026，y2 026)，则(xi＋yi)＝_______. 2 026 因为y＝f(x)－1为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称.又y＝1＋的图象关于点(0，1)对称，所以x1＋x2＋…＋x2 026＝0，y1＋y2＋…＋y2 026＝1 013×2＝2 026，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x2 026)＋(y1＋y2＋…＋y2 026)＝2 026. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 函数的对称性及其应用 $