第1章 第5讲 第2课时 一元二次不等式及其应用(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次不等式及其应用核心考点，依据课程标准构建“概念-三个‘二次’关系-解法-应用”的知识体系，通过教材梳理夯实基础，自测诊断查漏补缺，考点探究（含三个“二次”关系、不等式解法、恒成立问题）分层突破，配合规律方法总结与真题训练，形成系统性复习路径。 讲义创新采用一题多变与分类讨论教学法，如含参不等式通过二次项系数、判别式、根的大小分类培养数学思维，恒成立问题结合分离参数与主参变换发展数学眼光，设置基础巩固与能力提升分层练习，对接2025年上海卷等真题，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第2课时　一元二次不等式及其应用 【课程标准】　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1.一元二次不等式 (1)一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． (2)使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 2.三个“二次”之间的关系 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 函数y＝ax2＋bx＋c的图象 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x≠－} R 不等式ax2＋bx＋c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. ［常用结论］ 1.简单的绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)⋃(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 2.不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 【自测诊断】 1.(多选)(链接北师必修一P40A组T2)下列结论正确的是(　　) A．若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0 B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0 D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集 答案：AD 2.(链接北师必修一P37例3)不等式(x－3)(x＋2)＞0的解集为(　　) A．{x|－2＜x＜3} B． C．{x|x＞3，或x＜－2} D． 答案：C 解析：直接根据一元二次不等式解得x＞3，或x＜－2，则解集为{x|x＞3，或x＜－2}．故选C． 3.(2025·上海卷)不等式＜0的解集为　　． 答案： 解析：原不等式转化为＜0，解得1＜x＜3，则其解集为． 4.(链接人教A必修一P58T6)已知∀x∈R，使得ax2－ax＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是　　． 答案： 解析：当a＝0时，1≥0恒成立，所以a＝0符合题意，当a≠0时，因为∀x∈R，使得ax2－ax＋1≥0恒成立，所以解得0＜a≤4，综上，0≤a≤4，即实数a的取值范围是． 学生用书⬇第17页 考点一　三个“二次”间的关系 自主练透 1.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x＜x＜}，则a－b的值是(　　) A．－10 B．－14 C．10 D．14 答案：A 解析：因为x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以所以a－b＝－10.故选A． 2.(多选)(2026·江苏南通模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为⋃，则(　　) A．a＞0且c＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集为 C．a－b＋c＞0 D．不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为 答案：ACD 解析：因为关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∪，所以a＞0且1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以x1＋x2＝－＝3，x1x2＝＝2，所以b＝－3a，c＝2a.对于A，因为a＞0，所以c＝2a＞0，故A正确；对于B，因为b＝－3a，c＝2a，所以bx＋c＞0可化为－3ax＋2a＞0.因为a＞0，所以－3x＋2＞0，解得x＜，所以不等式bx＋c＞0的解集为，故B错误；对于C，因为a＞0，1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向上，所以当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C正确；对于D，不等式cx2＋bx＋a＜0可化为2ax2－3ax＋a＜0，因为a＞0，所以2x2－3x＋1＜0，即(2x－1)(x－1)＜0，解得＜x＜1，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x｜＜x＜1}，故D正确.故选ACD. 3.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为　　　　． 答案： 解析：根据题意知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2.又a＞0，解得a＝． 1.一元二次方程的根，即对应二次函数的零点、二次不等式解集的端点． 2.已知二次不等式解集，可推知对应函数的开口方向及与x轴的交点，进而用代入根或韦达定理求系数． 考点二　一元二次不等式的解法 高考超重点，多维探究 角度1　不含参数的一元二次不等式 1.不等式－x2－3x＜－4的解集为(　　) A． B． C． D．或 答案：C 解析：由－x2－3x＜－4得x2＋3x－4＞0，即(x＋4)(x－1)＞0，解得x＜－4或x＞1，所以不等式－x2－3x＜－4的解集为．故选C． 2.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集为(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x＜1} D．{x|x＞1} 答案：C 解析：由≥2，得≥0，得得－2≤x＜1.故选C． 3.求下列不等式的解集： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)|x|(1－2x)＞0； (3)0＜x2－x－2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为． (2)原不等式等价于且x≠0， 所以原不等式的解集为{x}． (3)原不等式等价于 ⇔ 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1，或2＜x≤3}． 角度2　含参数的一元二次不等式 (一题多变)(北师必修一P38例4)求关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0的解集，其中a是常数． 解：原不等式可化为(x－a)(x＋1)＜0. 当a＞－1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a＜－1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}． ［变式探究］数智赋能辅助 1.解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0. 当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a＜1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1}． 2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以a(x－)(x－1)＜0. 当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜． 综上，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a＞1时，原不等式的解集为． 学生用书⬇第18页 3.解关于x的不等式ax2＋x＋6＞0(a∈R)． 解：原不等式为ax2＋x＋6＞0，即＞0， ①当a＝0时，原不等式化为3x＋6＞0，解得x＞－2； ②当a＞0时，原不等式化为＞0， 当＝2即a＝时原不等式解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)， 当＞2即a＜时原不等式解集为(－∞，－)∪(－2，＋∞)， 当＜2，即a＞时原不等式解集为(－∞，－2)∪(－，＋∞)； ③当a＜0时，原不等式化为＜0.原不等式解集为. 综上，当a＝0时，不等式解集为； 当a＜0时，不等式解集为； 当0＜a＜时，不等式解集为(－∞，－)∪(－2，＋∞)； 当a＝时，不等式解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)； 当a＞时，不等式解集为(－∞，－2)∪(－，＋∞). 【教师备选】　解关于x的不等式ax2＋x－a＞1. 解：原不等式可化为ax2＋x－＞0⇒(x－1)＞0. 若a＝0，则不等式的解为x＞1. 若a＞0，则＞0， 所以x＜－或x＞1. 若a＜0，则＜0. 当1＞－1－，即a＜－时，所以－1－＜x＜1； 当1＝－1－，即a＝－时，不等式无解； 当1＜－1－，即－＜a＜0时，所以1＜x＜－1－. 综上可知： 当a＜－时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当－＜a＜0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为； 当a＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1－)∪(1，＋∞). 1.分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． 2.含参不等式分类讨论，常见依据：①二次项系数的正、负、零；②判别式Δ与0的大小；③有两实根时，比较两根大小． 考点三　一元二次不等式恒(能)成立问题 多维探究 角度1　在R上的恒成立问题 (2026·山东临沂期末)若关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A． B．(－∞，－) C． D． 答案：A 解析：当m＝0时，不等式－5x≤0，解得x≥0，显然解集不是R，不符合题意；当m≠0，由不等式的解集为R，则m＜0，Δ＝－4m2≤0，解得m≤－，即实数m的取值范围是.故选A. 角度2　在给定区间上的恒成立问题 (1)对任意x∈［1，2］，不等式ax2－2x＋3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，) B．(－∞，) C．(，＋∞) D．(－∞，) (2)(一题多解)已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈［1，3］，f(x)＜5－m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)分离参数得a＜，要使对任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋3a＜0恒成立，只需a＜.又因为＝，令f(x)＝x＋，由对勾函数性质可知，f(x)在[1，)上单调递减，在[，2]上单调递增，又f(1)＝4，f(2)＝，所以f(x)max＝4，所以＝，所以a＜.故选D. (2)要使f(x)＜5－m在x∈［1，3］上恒成立，即mm－6＜0在x∈［1，3］上恒成立． 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈［1，3］．当m＞0时，g(x)在［1，3］上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0，所以m＜；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)在［1，3］上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，实数m的取值范围是． 法二：因为x2－x＋1＝＋＞0，m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立，所以m＜在x∈[1，3]上恒成立.令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.所以实数m的取值范围是. 角度3　在给定参数范围的恒成立问题 (2025·江西九江期末)若命题“∃a∈［1，3］，ax2＋(a－2)x－2＞0”是假命题，则x不能等于(　　) A．－1 B．0 C．0.5 D．1 答案：D 解析：根据题意，知原命题的否定“∀a∈，ax2＋x－2≤0”为真命题．令f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，故解得－1≤x≤．故选D． 一元二次不等式恒成立问题的解题策略 前提：(1)弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数；(2)弄清楚是在R上恒成立，还是在给定区间上恒成立 判别式法 适用于“在R上恒成立”问题(典例2) 数形结合法、分离参数法、分类讨论法 适用于“在给定区间上恒成立”问题(典例3)，此时不能用判别式Δ 主参变换法 适用于“已知参数范围求函数自变量范围”问题(典例4)，此时的解题思路是“更换主元”，把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解 对点练．已知关于x的不等式2x－1＞m． (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于x∈恒成立，求实数m的取值范围； (3)若不等式对于m∈恒成立，求实数x的取值范围； (4)若不等式在［2，3］上有解，求实数m的取值范围． 解：(1)原不等式等价于mx2－2x＋＜0， 当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立， 当m≠0时，不等式对于x∈R恒成立， 则需m＜0且4－4m＜0，无解， 所以不存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立． (2)因为x＞1，所以m＜，设2x－1＝t，则x2－1＝， 所以m＜＝. 设g＝t－＋2，t∈， 显然g上单调递增，且g＝0， 所以m≤0，所以实数m的取值范围是. (3)设f＝m－，当m∈[－2，2]时，f＜0恒成立， 当且仅当 解得 所以实数x的取值范围是. (4)因为x∈[2，3]，不等式可整理为m＜，即m＜. 设2x－1＝t∈[3，5]，则x2－1＝， 所以m＜()max＝()max＝()max. 因为函数y＝t和函数y＝－在[3，5]上均为增函数，所以函数y＝t－＋2在[3，5]上为增函数，则函数y＝在[3，5]上为减函数，所以m＜()max＝1. 所以实数m的取值范围是(－∞，1). 学科网（北京）股份有限公司 $