第1章 第5讲 第1课时 一元二次函数及其性质(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦一元二次函数及其性质高考核心考点，涵盖概念、解析式、对称性、单调性、最值及综合应用，按基础巩固、综合运用、创新拓展分层架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建函数性质分析框架，突破值域求解、参数讨论等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料亮点在于分层测评设计与创新题型融入，如开放题、新定义题培养学生创新意识，通过待定系数法求解析式、配方法分析最值等策略实例，发展数学思维与问题解决能力。基础到拓展的梯度练习保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第5讲　 一元二次函数与一元二次不等式 第1课时　一元二次函数及其性质 【课程标准】　1.理解二次函数的图象和性质．　2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 ［常用结论］ 1.二次函数在闭区间上的最值 (1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. 当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)＜0. 【自测诊断】 1.(多选)下列说法不正确的是(　　) A．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0 B．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定 C．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈［m，n］)的最值一定是 学生用书⬇第14页 D．二次函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，－］上单调递减，在［－，＋∞)上单调递增 答案：BCD 2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 答案：D 解析：由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数f(x)是二次函数，图象开口向上，排除A、C；又f(0)＝c＜0，所以排除B；只有D符合．故选D． 3.(链接北师必修一P34T1)函数y＝x2－2x＋4的最小值为　　　　． 答案：3 解析：y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故当x＝1时，ymin＝3. 4.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为　　　　　　． 答案：f(x)＝x2－4x 解析：依题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)．又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x． 考点一　二次函数的解析式 自主练透 1.(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝　　　　　　　　． 答案：－4x2＋4x＋7 解析：法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 依题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝，所以m＝．又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a2＋8.因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)．故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 2.已知函数f(x)是二次函数，且f＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则f(x)＝　　　　　　． 答案：x2－x＋1 解析：因为f＝1，y＝f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，又因为f－f(x)＝2x，所以a＋b＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1. 3.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为　　　　　　　　　　　　． 答案：y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 解析：因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为＝－4a．由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以|－4a|＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋． 求二次函数解析式的方法 考点二　二次函数的图象 师生共研 (1)(2025·广东惠州模拟)已知一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　　) (2)(多选)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，则(　　) A．bc＜0 B．3a＋2c＜0 C．若实数m≠1，则am2＋bm＞a＋b D．若－2＜c＜－1，则－＜a＋b＋c＜－ 答案：(1)D　(2)BCD 解析：(1)由一次函数的图象可知a＜0，b＞0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为x＝－＞0.故选D． (2)由图可知a＞0，－＝1，b＝－2a＜0，x＝0时，c＜0，所以bc＞0，故A错误；因为与x轴交于点A(3，0)，对称轴为x＝1，所以与x轴交于另一点，则a－b＋c＝3a＋c＝0.又c＜0，所以3a＋2c＜0，故B正确；因为a＞0，b＝－2a，所以am2＋bm＝am2－2am＝a－a＞－a＝a＋b，故C正确；因为x＝－1，x＝3是函数的零点，所以－1×3＝⇒a＝－c，则b＝－2a＝c，即a＋b＋c＝－c＋c＋c＝c，又－2＜c＜－1，所以－＜a＋b＋c＜－，故D正确.故选BCD. 　　研究二次函数图象，聚焦“三点一线一开口”：三点(顶点及对称点，常取x轴交点)，一线(对称轴)，一开口(开口方向)． 对点练1.(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＋c＞0 B．ac＞0 C．a－b＋c＝0 D．b2－4ac＞0 答案：ACD 解析：对于B，图象开口向下．a＜0，又对称轴x＝－＞0，故b＞0，图象与y轴交点在x轴上方，故c＞0，所以ac＜0，故B错误；对于C、D，二次函数图象与x轴交于两点，故Δ＝b2－4ac＞0，故D正确；将代入解析式得a－b＋c＝0，故C正确；对于A，由图可知，当x＝1时，y＞0，即a＋b＋c＞0，故A正确．故选ACD． 学生用书⬇第15页 考点三　二次函数的性质 师生共研 (一题多变)已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈［－1，2］，求f(x)的最小值g(t)． 解：f(x)＝x2－tx－1＝2－1－． (1)依题意，－1＜＜2，解得－2＜t＜4， 所以实数t的取值范围是(－2，4)． (2)①当≥2，即t≥4时， f(x)在［－1，2］上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝3－2t； ②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f(x)min＝f()＝－1－； ③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在［－1，2］上单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝t． 综上，g(t)＝ ［变式探究］数智赋能辅助 1.(变结论)本例条件不变，求当x∈［－1，2］时，f(x)的最大值G(t)． 解：f(－1)＝t，f(2)＝3－2t， 所以f(2)－f(－1)＝3－3t． 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，所以f(2)≤f(－1)，所以f(x)max＝f(－1)＝t； 当t＜1时，f(2)－f(－1)＞0，所以f(2)＞f(－1)，所以f(x)max＝f(2)＝3－2t． 综上，G(t)＝ 2.(变条件)本例条件“f(x)＝x2－tx－1”变为“f(x)＝tx2－x－1”，(2)问条件不变，求f(x)的最小值g(t)． 解：当t＝0时，f(x)＝－x－1在［－1，2］上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝－3. 当t＞0时，f(x)＝tx2－x－1的图象开口向上，且对称轴为x＝＞0. ①当0＜上单调递增， 所以f(x)min＝f＝－－1＝－－1. ②当≥2，即0＜t≤时，f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝4t－3. 当t＜0时，f(x)＝tx2－x－1的图象开口向下，且对称轴x＝＜0， 所以f(x)min＝f(2)＝4t－3. 综上所述，g(t)＝ 　　二次函数最值分三类：轴与区间均固定、轴变区间定、轴定区间变．求解抓“三点一轴”数形结合(三点：区间端点及中点；一轴：对称轴)，结合配方法、单调性与分类讨论． 对点练2.已知函数f(x)＝－x2＋2mx＋1－m2，其中m∈R． (1)若f(x)在区间上具有单调性，求实数m的取值范围； (2)当x∈时，函数f(x)的最大值为－8，求实数m的值． 解：(1)因为二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝m，且f(x)在上具有单调性， 所以当f(x)在上单调递减时，m≤4；当f(x)在上单调递增时，m≥6. 所以实数m的取值范围是． (2)二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝m． ①当m≤1时，f(x)在单调递减，此时f(x)max＝f(1)＝－m2＋2m， 因为当x∈时，函数f(x)的最大值为－8，即－m2＋2m＝－8， 解得m＝4或m＝－2，所以m＝－2. ②当1＜m＜3时，f(x)在单调递增，在单调递减， 此时f(x)max＝f(m)＝－m2＋2m2＋1－m2＝1＝－8，无解，所以m不存在． ③当m≥3时，f(x)在单调递增，此时f(x)max＝f(3)＝－9＋6m＋1－m2＝－m2＋6m－8. 因为当x∈时，函数f(x)的最大值为－8， 所以－m2＋6m－8＝－8，解得m＝6或m＝0， 所以m＝6. 综上所述，m＝－2或m＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $