第1章 第5讲 第1课时 一元二次函数及其性质(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

第5讲　 一元二次函数与一元二次不等式

第1课时　一元二次函数及其性质

【课程标准】　1.理解二次函数的图象和性质．　2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

1.二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

2.二次函数的图象和性质

函数	y＝ax2＋bx＋c(a＞0)	y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域	R
值域
对称轴	x＝－
顶点坐标
奇偶性	当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性	在上是减函数； 在上是增函数	在上是增函数； 在上是减函数

［常用结论］

1.二次函数在闭区间上的最值

(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n].

当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n).

(2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n).

(3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m).

(4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m).

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)＜0.

【自测诊断】

1.(多选)下列说法不正确的是(　　)

A．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0

B．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定

C．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈［m，n］)的最值一定是

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D．二次函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，－］上单调递减，在［－，＋∞)上单调递增

答案：BCD

2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)

答案：D

解析：由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数f(x)是二次函数，图象开口向上，排除A、C；又f(0)＝c＜0，所以排除B；只有D符合．故选D．

3.(链接北师必修一P34T1)函数y＝x2－2x＋4的最小值为　　　　．

答案：3

解析：y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故当x＝1时，ymin＝3.

4.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为　　　　　　．

答案：f(x)＝x2－4x

解析：依题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)．又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x．

考点一　二次函数的解析式                                                                                        自主练透

1.(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝　　　　　　　　．

答案：－4x2＋4x＋7

解析：法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

依题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝，所以m＝．又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a2＋8.因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三(利用“零点式”)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)．故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.