第2章 第16讲 实际问题中的函数模型(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“实际问题中的函数模型”专题，依据课程标准覆盖函数模型选择、增长速度比较、实际应用三大核心考点，通过教材梳理夯实指数、对数、幂函数等模型基础，考点探究归纳函数刻画、已知模型求解、构建模型（二次、指数、对数等）常考题型，对接高考评价体系，突出应用能力考查。 课件亮点在于“真题引领+规律总结+素养提升”，融入2021全国甲卷（视力记录）、2023新课标Ⅰ卷（声压级）等高考真题，通过碳14半衰期（指数模型）、利润最大化（二次函数）等典型题型，指导学生用数学眼光抽象问题、数学思维推理计算，掌握模型构建四步法。特设易错点分析和分层测评，助力学生高效得分，教师可据此精准复习，提升备考针对性。

第16讲　实际问题中的函数模型 高三总复习讲义 北师大版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语 言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问 题的变化规律． 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、 一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增 长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 3.了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　 y＝ax (a＞1) y＝logax (a＞1) y＝xn (n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调______ 单调______ 单调______ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与_____平行 随x的增大逐渐表现为与_____平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 递增 递增 递增 y轴 x轴 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 常用结论 　　“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． √ √ √ 自测诊断 1.(多选)下列说法中错误的是 A．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大 B．某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利 C．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞0)和y＝logax(a＞1)的增长速度 D．在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型 2.(链接北师必修一P136例2)有一组实验数据如下： 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 A．V＝log2t B．V＝lot C．V＝ D．V＝2t－2 √ t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示.结合选 项，函数V＝log2t的增长速度越来越缓慢，不符合题意； 函数V＝lot随着t的增大，V不断减小，不符合题意； 函数V＝的增长速度越来越快，符合题意；函数V＝ 2t－2增长速度不变，不符合题意；所以最接近的一个 函数是V＝.故选C. t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 3.(链接北师必修一P141练习T1)某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是 A．{x|10≤x＜16} B．{x|12≤x＜18} C．{x|15≤x＜20} D．{x|10≤x＜20} √ 依题意，得［30－2(x－15)］·x＞400，即x2－30x＋200＜0，解得10＜x＜20.又因为x≥15，所以15≤x＜20，这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|15≤x＜20}．故选C． 4.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 √ 由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，则V＝10－0.1＝＝≈ ≈0.8.故选C. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　实际问题的函数刻画 自主练透 1.(2026·山东济南模拟)如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是 √ 当点P在OA段运动时，s随t的增大而增大，点P在弧AB上运动时，s＝OP＝AB(定值)，点P在BO上运动时，s随着t的增大而减小．故选C． √ 2.(2026·北京石景山模拟)经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝ A． B． C．ln 2 D．ln 3 依题意，当t＝0时，S＝a＝7，当t＝5时，S＝7e－5k＝3.5，则e－5k＝．故选A． √ 3.某班研究小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置．现污水中该种污染物含量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的含量W如 下表： 研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型．则与表格中数据吻合的函数模型是 A．W＝W0＋0.5l B．W＝W0·log0.5 C．W＝0.5W0l D．W＝W0·(0.5)l l 0 1 2 3 W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0 由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域是；第二，在定义域内单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过.函数W＝0.5W0l和W＝W0·log0.5图象不过(0，W0)，不符合条件，故B、C错误；函数W＝W0＋0.5l单调递增，故A错误；对于D，W＝W0·(0.5)l满足上述条件，故D正确.故选D. l 0 1 2 3 W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 1.构建函数模型法：依题意构建函数模型，对照模型匹配 图象． 2.验证法：结合实际中变量的变化特征(如变化快慢)，依据图象趋势验证，排除不符、筛选吻合选项． 规律方法 考点二　已知函数模型解决实际问题 师生共研 √ (1)(2026·山东青岛模拟)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693，精确到1年) A．265年 B．266年 C．276年 D．277年 令Q＝Q0＝Q0可得＝，可得－＝ln＝－ln 2，所以t＝400ln 2≈277，故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.故选D. √ (2)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 √ √ 依题意，知∈[60，90]，∈[50，60]，＝40，对于A，可得－＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为，则－＝20×lg≥0，即lg≥0，所以≥1且p1，p2＞0，可得p1≥p2，故A 正确； 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 对于B，可得－＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为－＝－40≥10，则20×lg≥10，即lg，所以且p2，p3＞0，可得p2≥p3，当且仅当＝50时，等号成立，故B错误； 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 对于C，因为＝20×lg＝40，即lg＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由A可知：－＝20×lg，且－≤90－50＝40，则20×lg≤40，即lg≤2，可得≤100，且p1，p2＞0，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD. 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知函数模型解决实际问题的步骤 规律方法 √ 对点练1.(2026·四川成都模拟)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝ －lg，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为 A．1 B．1 C．1 D．1 令北极星与牛郎星的亮度分别为I1，I2，根据题意，两式相减得－lg＝，解得＝1.故选D. √ 对点练2.(2026·北京平谷模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数，如果前10 h消除了50%的污染物，那么从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历 A．10 h B．4 h C．40 h D．8 h 依题意，知0.5P0＝P0e－10k，即0.5＝e－10k，即k＝．设消除60%的污染物对应时间为t1，即0.4P0＝P0e－kt1．设消除80%的污染物对应时间为t2，即0.2P0＝P0e－kt2，两式相除可得2＝e－k，即ln 2＝－k，所以t2－t1＝10，即从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历10 h．故选A． 考点三　构建函数模型解决实际问题 多维探究 典例2 角度1　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 (2025·江苏南通模拟)某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1 000万元，每生产x台，需另投入生产成本R(x)万元．当年产量不足25台时，R(x)＝3x2＋kx；当年产量不小于25台时，R(x)＝202x＋－ 1 330，且当年产量为10台时需另投入成本1 100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完． (1)求k的值； 解：当x＝10，R(x)＝1 100代入R(x)＝3x2＋kx，得3×100＋10k＝1 100⇒k＝80. (2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数关系式(利润＝销售额－成本)； 解：依题意得，当0≤x＜25时，W(x)＝200x－3x2－80x－1 000， 当x≥25时，W(x)＝200x－202x－＋1 330－1 000， 所以年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数关系式为 W(x)＝ (3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大 利润． 解：由(2)得0≤x＜25时，W(x)＝－3x2＋120x－1 000＝－32＋200， 所以x＝20(台)时，W(x)max＝200(万元)， 当x≥25时，W(x)＝－2x－＋330 ＝－2＋350 ≤－2×2＋350＝190， 当且仅当x＋10＝，即x＝30时等号成立，W(x)max＝190(万元)， 而200＞190，故x＝20(台)时，利润最大，最大利润是200万元， 综上所述：年产量为20台时，该企业所获利润最大，最大利润是200 万元． √ 角度2　构建指数函数、对数函数模型 (1)(2026·安徽合肥模拟)放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期．考古学中常利用生物标本中的碳14元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5 730年．现在实验室测定某遗址内动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的80%．则该遗址大约距今(lg 2≈0.3) A．1 146年 B．1 375年 C．1 910年 D．2 292年 典例3 不妨设动物标本中碳14含量初始值是1个单位，则经过t年动物标本中碳14含量为f＝.令f＝＝，则t＝5 730×lo＝5 730× ≈5 730×＝1 910年.故选C. √ (2)(多选)声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I．但在实际生活中，常用声音的声强级D来度量，声强级D与声强I的关系近似满足D＝alg I＋b，经过多次测定，得到如下数据： 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为I1；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为I2；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为I3，则 A．b－a＝110 B．m＝10－8 C．＜I2＜ D．I1I3＞ 声强I(W/cm2) 10－11 10－10 m 声强级D(dB) 10 20 30 √ √ 依题意，得解得所以b－a＝110，故A正确；因为D＝10lg I＋120，所以30＝10lg m＋120，解得m＝10－9，故B错误；由100＜10lg I2＋120＜110，得＜I2＜，故C正确； 声强I(W/cm2) 10－11 10－10 m 声强级D(dB) 10 20 30 设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1，D2，D3，由题意知90＜D1＜100，100＜D2＜110，135＜D3＜145，所以D1＋D3＞2D2，所以10lg I1＋120＋10lg I3＋120＞2，所以lg I1＋lg I3＞2lg I2，即lg＞lg ，所以I1I3＞，故D正确.故选ACD. 声强I(W/cm2) 10－11 10－10 m 声强级D(dB) 10 20 30 构建函数模型解决实际问题的步骤 第一步(审题)：理清题意与数量关系，初选函数模型； 第二步(建模)：将自然(文字)语言转化为数学符号，建立函数模型； 第三步(解模)：求解函数模型，得出数学结论； 第四步(还原)：将数学结论还原为实际问题答案． 规律方法 √ 对点练3.某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)．水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732) A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米 如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，BE⊥CD于E， ∠BAD＝∠ABC＝120°，要使过水横断面面积最大， 则此时资金3万元都用完，则100×(AB＋BC＋AD)× 100＝30 000，解得AB＋BC＋AD＝3米.设BC＝x，则AB＝3－2x，BE＝x，CE＝x，故CD＝3－x，且0＜x＜，梯形ABCD的面积S＝＝(－x2＋2x)，当x＝1时，Smax＝，此时BE＝≈ 0.87，即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米.故选B. √ 对点练4.(多选)(2025·湖南娄底模拟)我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰、碳中和，我国将继续坚持贯彻落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是常数．已知在前 5 h消除了10%的污染物．则下列结论正确的是 (参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105) A．k＝ln 0.9 B．过滤10 h后还剩余81%的污染物 C．污染物减少50%需要的时间为31 h D．污染物减少50%所需要的时间为33 h √ 依题意，当t＝0时，P＝P0，当t＝5时，P＝P0＝0.9P0，于是有0.9P0＝P0e－5k，解得k＝－ln 0.9，故A错误；当t＝10时，P＝P0e－10k＝P0e2ln 0.9＝P00.92＝81%P0，故B正确；当P＝50%P0＝0.5P0时，有0.5P0＝P0e－kt，解得t＝＝33，故C错误，D正确．故选BD． 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2026·安徽芜湖模拟)荷花定律是一个非常著名的定律．据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放．到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘．下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x(1－30天)之间的变化规律的是 A．y＝2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝log2x √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 依题意“到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘”得，当x＝30时的y值是x＝29时的y值的二倍，所以只有指数函数y＝2x符合．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 2.(2026·广西北海模拟)Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分S随时间t(单位：月)的变化满足对数型函数模型：S＝aln＋50，其中a是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分S为 A．60 B．61 C．62 D．63 √ 依题意，得70＝a·ln＋50，a＝，则S＝a·ln＋50＝60.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 √ 3.如图，梯形OABC是上底为，下底为3，高为的等腰梯形，记梯形OABC位于直线x＝t(t＞0)左侧的阴影部分的面积为f，则y＝f的大致图象是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 依题意，知在梯形OABC中，∠AOC＝∠OCB＝45°；当0＜t≤时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为f＝t2；当＜t＜2时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，其面积为f＝×＋＝t－1； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 当2≤t≤3，阴影部分面积为整个梯形面积减去 右侧空白部分面积，即f＝×－ ＝－t2＋3t－5，所以可得f＝ 根据函数类型对比图象可得A正确.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 √ 4.(多选)(2026·辽宁沈阳模拟)震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量E(单位：焦耳)与里氏震级M的对应关系为lg E＝4.8＋1.5M，则 A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于108焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于1010焦耳 C.5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D.3级地震的能量是7级地震的能量的 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 记Ei表示震级为i级地震的能量，对于A，若M≤2，则lg E＝4.8＋1.5M≤ 7.8，所以E≤107.8＜108，故A正确；对于B，若M＞4，则lg E＝4.8＋1.5M＞10.8，所以E＞1010.8＞1010，故B正确；对于C，lg E5－lg E4＝4.8＋1.5×5－4.8－1.5×4＝1.5，则＝101.5≠100，故C错误；对于D，lg E3－lg E7＝4.8＋1.5×3－4.8－1.5×7＝－6，则，故D正确．故选ABD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 5.(2026·湖北武汉模拟)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y＝，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1 020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约______万块． (结果四舍五入保留到整数，参考数据：e－0.5≈0.61，e－0.6≈0.55，e－0.7≈ 0.49) 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 依题意，所给模型中y0＝20，N＝1 020，p＝10％＝0.1，x＝6，则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为y＝＝.因为e－0.6≈0.55，所以y＝≈≈36，所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 6.(10分)随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－ 成本)； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解：当0＜x≤40时，W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300； 当40＜x≤100时，W(x)＝200x－(201x＋－2100)－300＝－(x＋)＋ 1 800， W(x)＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 解：若0＜x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1 500，当x＝30时，W(x)max＝1 500万元； 若40＜x≤100， W(x)＝－＋1 800≤－2＋1 800＝－120＋1 800＝1 680， 当且仅当x＝时，即x＝60时，W(x)max＝1 680万元， 由于1 680＞1 500，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1 680万元． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 7.(2026·广东广州模拟)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．轻柔音乐的声强一般在10－8～10－6W/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是 A．0～20 dB B．20～40 dB C．40～60 dB D．60～80 dB √ 依题意，得10－8≤I≤10－6，所以104≤≤106，所以4≤lg≤6，所以40≤10lg≤60，即轻柔音乐的声强级范围是40～60 dB.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 8.(多选)中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑0.08 mg/m3，二类建筑0.1 mg/m3，二类建筑室内甲醛浓度小于等于0.1 mg/m3为安全范围．已知某学校教学楼(二类建筑)施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为2.25 mg/m3，4周后室内甲醛浓度为0.36 mg/m3，且室内甲醛浓度ρ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(单位：周)近似满足函数关系式ρ(t)＝eat＋b，则(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3 ≈1.1，ln 5≈1.6) A．a＝ln B．eb＞15 C.3周后室内甲醛浓度为0.9 mg/m3 D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 依题意，得解得ea＝⇒a＝ln，eb＝＜＝15，故A正确，B错误；所以ρ(t)＝eat＋b＝·eb＝×，ρ(3)＝×＝0.9，故C正确；令×≤，得≤×，两边取对数得t(ln 2－ln 5)≤3ln 2－(2ln 3＋3ln 5)，即t≥≈ ≈5.4，所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 9.(2026·山东临沂期末)某市准备举行大型公益活动，筹备组将提前对其使用场所进行消毒，在药物喷洒过程中，该场所空气中的含药量y(毫克/每立方米)与时间x(小时)成正比，药物喷洒完毕后(此时含药量y＝)，y与x满足关系y＝3b－x(b为常数，x≥)．据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，该场所才能进入使用，则筹备组进行消毒工作至少应该提前____分钟． 75 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 设y＝kx(0＜x＜)，依题意，x＝，y＝，可得k＝， 即有y＝x(0＜x＜).当x≥时，y＝3b－x的图象经过 ，如图所示.可得＝＝3－1，解得b＝－， 则y＝，由0＜x＜，y随着x的增大而增大，当x≥，y随着x的增大而减小，则≤＝3－2，即－－x≤－2，解得x≥，小时即为75分钟，所以筹备组至少应提前75分钟进行消毒工作. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 10.(2026·陕西咸阳模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝40x，现知A同学用喇叭大喊一声激起的涌泉最高高度为2米，若A同学用喇叭大喊一声的声强大约为不用喇叭大喊一声的声强的10倍，则A同学大喊一声激起的涌泉最高高度约为 A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 设A同学不用喇叭时的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学用喇叭时的声强为10m，喷出泉水高度为2米.依题意，知10×lg＝40x，即lg m－lg m0＝4x①.又10×lg＝40×2＝80，即lg＝lg 10＋lg m－lg m0＝1＋lg m－lg m0＝8，即lg m－lg m0＝7②.由①②可得4x＝7，解得x＝＝1.75.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 11.现有两个函数模型如下，模型一：如果C0是碳14的初始质量，那么经过t年后，碳14的质量为C＝C0；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r是常数(e是自然对数的底数).则下列说法错误的是 A．经过5 730年，碳14的质量变为初始质量的一半 B．碳14的年衰减率与初始质量有关 C．设n∈N*，碳14的第n年，第n＋1年，第n＋2年的衰减量分别为Δ1，Δ2，Δ3，则＝ D．以上两个模型都可以归结为模型“y＝ekx＋b”(其中x为自变量，k，b为常数，e是自然对数的底数) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 对于A，模型一中，当t＝5 730时，C(5 730)＝C0＝C0，即碳14的质量变为初始质量的一半，故A正确；对于B，年衰减率由模型决定，与初始质量无关.模型一可改写为C＝C0，1年后，C＝C0，年衰减率为＝1－，是常数，故B错误； 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 对于C，第n年衰减量Δ1＝C(n)－C＝C0［1－］，同理Δ2＝C－C＝C0，Δ3＝C－C＝C0，所以＝＝，故C正确；对于D，模型一可转化为C＝，模型二为y＝，均符合y＝ekx＋b形式，故D正确.故选B. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 谢 谢 观 看 第16讲　实际问题中的函数模型 $