综合测试卷（三）-《数学拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 章节AB卷分层训练结合综合测试整合，覆盖数列、概率、统计等核心考点，注重基础巩固与能力提升，培养数学抽象、推理及模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|10题是非选择|判断相关性、数列定义等基础概念|概念生成与辨析，强化数学抽象能力| |知识综合|6题解答题|数列与函数、概率统计综合应用|原理推导与综合拓展，提升推理意识| |情境建模|填空题24题|圭表测日影的等差数列应用|实际问题抽象为数学模型，发展模型意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．当散点落在一条折线附近，这两个量也具有相关性． ( ) 2．若，则. ( ) 3．两个变量具有相关性，但不是线性相关，就称这两个变量非线性相关或曲线相关． ( ) 4．常数列，，，…既是等差数列，又是等比数列. ( ) 5．可表示为 ( ) 6．． ( ) 7．要得到函数的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度. ( ) 8．已知，则． ( ) 9．已知数列满足，，则 ( ) 10．若随机变量服从两点分布，，则. ( ) 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．在等差数列中，已知，，则该数列的前20项之和等于（     ） A．320 B．340 C．360 D．380 13．的值为（   ）. A． B． C． D． 14．在的二项展开式中，所有项的系数之和等于（    ） A． B． C． D．1 15．已知数列为等比数列，前n项和，则a等于（   ） A．3 B．1 C． D． 16．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（   ） A．144种 B．84种 C．70种 D．35种 17．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中恰有1天下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 18．已知x与y的数据如下，且回归方程为，预测时，（   ） x 4 8 10 18 y 30 22 18 14 A．10 B．9 C．8 D．7 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．样本数据2，3，4，5，6，7的中位数为_____. 20．已知，则______． 21．已知变量之间具有线性相关关系，根据下表所示的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则_____________． x 3 4 5 6 y 3 4 22．的展开式中的常数项是____． 23．有4道选择题，每题有4个选项，其中恰有一个选项正确．某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题的概率为_____． 24．古人通过圭表测日影长度来确定节气．一年之中，日影最长、白昼最短的一天被定为冬至；日影最短、白昼最长的一天被定为夏至；日影长度适中的为春分或秋分．具体来说，从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，每个节气的日影长度依次成等差数列．已知冬至、立春的日影长之和为24.9尺，清明、谷雨的日影长之和为16.5尺，则谷雨的日影长为________尺． 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．已知函数的部分图像如图所示．    (1)求与的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 26．用1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数. (1)一共可组成多少个？ (2)其中奇数有多少个？ 27．已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 28．已知数列中，若一组点（其中）在函数的图像上． (1)求该数列的通项公式及前3项的和； (2)若数列满足，求的值． 29．已知数列是公差为3的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 30．某校医务室抽查了高一10位同学的体重（单位：）如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74. (1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．当散点落在一条折线附近，这两个量也具有相关性． ( ) 【答案】 正确 【详解】根据函数关系、相关关系的定义可知正确 2．若，则. ( ) 【答案】 正确 【分析】根据正态曲线的定义，性质判断正误，得到答案. 【详解】若，由对称性可知，正确； 故答案为：正确 3．两个变量具有相关性，但不是线性相关，就称这两个变量非线性相关或曲线相关． ( ) 【答案】 正确 【详解】根据函数关系、相关关系的定义可知正确 4．常数列，，，…既是等差数列，又是等比数列. ( ) 【答案】错误 【分析】根据等差数列与等比数列的定义进行判断即可. 【详解】已知常数列，，，…， 则满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列， 当时，满足等比数列的定义，是公比为的等比数列， 当时，该数列不是等比数列，存在反例，原命题错误， 故答案为：错误. 5．可表示为 ( ) 【答案】正确 【分析】根据排列的计算公式易得答案. 【详解】因为是连续9个数的相乘，所以. 故答案为：正确. 6．． ( ) 【答案】正确 【分析】根据两角和与差的正弦公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：正确. 7．要得到函数的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度. ( ) 【答案】错误 【分析】根据题意结合三角函数的平移变换规则即可得解. 【详解】根据“左加右减”原则，要从得到，相当于要减去， 即需要向右平移个单位， 故答案为：错误. 8．已知，则． ( ) 【答案】错误 【分析】根据组合数的性质列方程求解即可. 【详解】已知， 则或， 解得或， 故答案为：错误. 9．已知数列满足，，则 ( ) 【答案】正确 【分析】根据数列的递推公式即可求解. 【详解】由题意得，，，. 故答案为：正确. 10．若随机变量服从两点分布，，则. ( ) 【答案】错误 【分析】根据两点分布的方差求解即可. 【详解】已知随机变量服从两点分布，，则. 则. 故答案为：错误. 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式计算. 【详解】已知，可得， 故选：B. 12．在等差数列中，已知，，则该数列的前20项之和等于（     ） A．320 B．340 C．360 D．380 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式列方程，再根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得. 因此. 故选：C. 13．的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式中的1替换为，再利用两角差的正切公式、诱导公式和特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故选：B. 14．在的二项展开式中，所有项的系数之和等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将代入中求值即可. 【详解】令，则二项展开式中所有项的系数之和为. 故选：C. 15．已知数列为等比数列，前n项和，则a等于（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先由时，，得出，再由等比数列的通项公式求出，最后由求值即可. 【详解】已知的前n项和， 则， ， 所以公比，所以， 则，解得， 故选：B. 16．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（   ） A．144种 B．84种 C．70种 D．35种 【答案】C 【分析】用排除法，用总的取法减去不含有甲型电视机和不含有乙型电视机的种数即可求解. 【详解】从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任取3台，有种， 选取的机型不含有甲型电视机有种， 选取的机型不含有乙型电视机有种， 所以至少要有甲型和乙型电视机各1台，有. 故选：C. 17．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中恰有1天下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布即可得解. 【详解】某地未来连续3天每天下雨的概率均为，不下雨的概率为， 则这3天中恰有1天下雨的概率为， 故选：. 18．已知x与y的数据如下，且回归方程为，预测时，（   ） x 4 8 10 18 y 30 22 18 14 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】先根据回归方程过样本中心点求出，再将代入回归方程求出预测值. 【详解】由题意，，， 则回归方程过样本中心点， 所以，可得， 则回归方程为， 将代入回归方程得， ∴预测时，的值为9， 故选：B. 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．样本数据2，3，4，5，6，7的中位数为_____. 【答案】/ 【分析】由中位数定义计算. 【详解】数据从小到大排列，为共个数字， 所以中位数为， 故答案为：. 20．已知，则______． 【答案】/ 【分析】根据题意应用齐次式求出，结合二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】因为，则，解得， 故， 故答案为：. 21．已知变量之间具有线性相关关系，根据下表所示的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则_____________． x 3 4 5 6 y 3 4 【答案】 【分析】首先计算出样本中心点，再将其代入回归方程即可. 【详解】，， 因为y关于x的线性回归方程为， 则，解得， 故答案为：. 22．的展开式中的常数项是____． 【答案】-8 【分析】根据题意，求得展开式的通项，令，求得，代入计算，即可求解. 由二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式中常数项为. 故答案为：. 23．有4道选择题，每题有4个选项，其中恰有一个选项正确．某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题的概率为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算得解. 设“该同学恰好答对两题”，依题意，该同学答对一题的概率为， 因此，所以该同学恰好答对两题的概率为. 故答案为： 24．古人通过圭表测日影长度来确定节气．一年之中，日影最长、白昼最短的一天被定为冬至；日影最短、白昼最长的一天被定为夏至；日影长度适中的为春分或秋分．具体来说，从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，每个节气的日影长度依次成等差数列．已知冬至、立春的日影长之和为24.9尺，清明、谷雨的日影长之和为16.5尺，则谷雨的日影长为________尺． 【答案】7.9 【分析】根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设十二个节气日影长构成等差数列，公差为， 即冬至，小寒，大寒，日影长依次设为， 则，即， 解得，所以谷雨日影长为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．已知函数的部分图像如图所示．    (1)求与的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）通过分析图像中的关键点坐标，根据正弦函数的最值和最小正周期，即可求解； （2）根据正弦函数的单调性，在定区间即可求解最大值与最小值. 【详解】（1）由图可知，函数的最高点纵坐标为1， 又因为，则； 观察图像，． （2）根据（1）知， 当时，， 令，则， 函数在单调递增，在单调递减， 当时，函数 ，取得最大值， 当时，函数， 当时，函数， ， 所以函数的最小值为. 即在区间上的最大值为1，最小值为． 26．用1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数. (1)一共可组成多少个？ (2)其中奇数有多少个？ 【答案】(1)60 (2)36 【分析】（1）根据排列的定义即可求解. （2）先确定个位数，再确定十位和百位，根据分步计数原理即可求解. 【详解】（1）从5个数字中选3个排列，总共有个. （2）奇数要求个位是奇数，先选个位有3种， 再从剩余4个中选2个排列到百位和十位有种， 所以奇数有个. 27．已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和的正弦公式，结合诱导公式，三角形的性质即可求解. （2）根据余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理，可得， 则， 因为，，即，所以. （2）因为， 由余弦定理可得， 解得，所以的面积为. 28．已知数列中，若一组点（其中）在函数的图像上． (1)求该数列的通项公式及前3项的和； (2)若数列满足，求的值． 【答案】(1) ， (2)15 【分析】（1）由函数关系式得到数列递推公式，即可求得等比数列的通项公式，根据通项公式求出前3项并求和即可得到. （2）结合对数运算求得数列的通项公式，再根据通项公式求出前5项即可. 【详解】（1）点（其中）在函数的图像上， ，即． ∴数列为等比数列，其中首项，公比． ， 则，，， ； （2）， ． 29．已知数列是公差为3的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质建立关于首项的方程，进而求出的值，最后得到数列的通项公式； （2）根据等差数列、等比数列的前项和公式分别求出数列和的前项和，再相加即可得出. 【详解】（1）已知数列是公差为的等差数列， 可得，， 因为成等比数列，     可得，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 可得数列的前项和， 已知数列是首项，公比为的等比数列， 可得数列的前项和， 所以数列的前项和 . 30．某校医务室抽查了高一10位同学的体重（单位：）如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74. (1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 【答案】(1)平均数71，中位数为71.5，方差为，标准差为， (2)平均数71，中位数为71.5，方差为，标准差为， 【分析】（1）根据平均数，中位数，方差，标准差的公式计算即可； （2）由（1）中结果，利用样本估计总体的平均数，中位数，方差，标准差. 【详解】（1）这10个学生体重数据的平均数为. 这10个学生体重数据从小到大依次为65，67，68，70，71，72，73，74，74，76， 位于中间的两个数是71，72. 这10个学生体重数据的中位数为. 这10个学生体重数据的方差为 ， 这10个学生体重数据的标准差为. （2）由样本估计总体得，高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为，标准差为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $