专题7 几种常见的函数及函数的应用（讲义）-2027年江西省（三校生对口升学）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 几种常见的函数及函数的应用 【复习目标】 1. 理解一次函数、二次函数、反比例函数的概念； 2. 掌握一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质； 3. 能从实际问题中抽象出函数模型； 4. 熟练运用数形结合、分类讨论等常见方法. 考点1 一次函数 1. 一次函数的概念：形如______________________的函数称为一次函数，其图像为_____________. 2. 一次函数的性质： (1). 当时，在R上是____________，当时，在R上是____________； (2). 当时， 是____________函数，过原点，是____________，图像关于____________对称. (3). 当时，图像与y轴的交点在y轴的_____半轴，时，图像与y轴的交点在y轴的____半轴. 具体性质见下表： 【即时训练】 1．函数在定义区间内是增函数. ·································································（A B） 2．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为1或3. ···························（A B） 3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（     ） A． B． C． D． 4．已知某停车场规定：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算．一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为（     ） A．16元 B．18元 C．20元 D．22元 5．若一次函数在定义域内是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点2 反比例函数 1. 反比例函数的概念：形如 的函数称为反比例函数，其图像为两条曲线. 2. 反比例函数的性质： (1). 定义域：___________________________，值域：______________________________； (2). 单调性：当时，函数图像在第__________象限，在__________________上都是______函数； 当时，函数图像在第__________象限，在__________________上都是______函数. 注意：有间断的函数的单调区间用_________或者____________连接，不可用_________符号________连接. (3). 奇偶性：反比例函数是______函数，图像关于____________中心对称. 具体性质见下表： 【即时训练】 6．函数在区间上是减函数. ······························································（A B） 考点3 二次函数 1. 二次函数的概念：形如________________________的函数称为二次函数，其图像为_______________. 2. 二次函数的性质：见下表 【即时训练】 7．函数的最大值是3. ····································································（A B） 8．若函数在上单调递减，在上单调递增，则. ···········（A B） 9．若函数在上单调递增，则. ···········································（A B） 10．若二次函数是偶函数且，则. ······························（A B） 11．在中，，周长为，将的面积表示成的函数，则（     ） A．， B．， C．， D．， 12．设二次函数满足顶点坐标为，其图像过点，则函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 13．函数与在同一坐标系中的图像可能是（      ） A． B． C． D． 14．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 15．二次函数的图像与x轴无交点，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．函数对任意均满足，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17．二次函数的图像顶点在轴上，那么的值为_________. 18．已知函数，且该函数的值域为，则的值为_______. 19．函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是_____________． 20．函数的单调增区间是_________________________. 1. (2024·江西·真题T22)若函数的值域为，则实数的取值范围是_______________. 2. (2022·江西·真题T22) 若函数在上为增函数，则的取值范围是_____________. 3. (2020·江西·真题T24) 某商品的销售价格(单位：万元/件)与销售量(单位：件)的函数关系为 ，则该商品销售额的最大值是___________（万元）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 几种常见的函数及函数的应用 【复习目标】 1. 理解一次函数、二次函数、反比例函数的概念； 2. 掌握一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质； 3. 能从实际问题中抽象出函数模型； 4. 熟练运用数形结合、分类讨论等常见方法. 考点1 一次函数 1. 一次函数的概念：形如 的函数称为一次函数，其图像为一条直线. 2. 一次函数的性质： (1). 当时，在R上是增函数，当时，在R上是减函数； (2). 当时， 是正比例函数，过原点，是奇函数，图像关于原点对称. (3). 当时，图像与y轴的交点在y轴的上半轴，当时，图像与y轴的交点在y轴的下半轴. 具体性质见下表： 【即时训练】 1．函数在定义区间内是增函数. ·································································（A B） 【答案】B 【分析】根据函数单调性的定义即可求解. 【详解】因为函数的定义域为R，设，且， 则，即时， 所以函数在定义区间内是减函数，故选B . 2．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为1或3. ···························（A B） 【答案】B 【分析】根据题意，结合一次函数的单调性，分类讨论，和三种情况，即可求解. 【详解】因为函数在区间上的最大值是4，当时，在区间上为增函数， 所以当时，取得最大值，即，解得； 当时，在区间上为减函数，所以当时，取得最大值，即，解得，舍去，当时，函数为，是常函数，不符合题意；综上所述，，故选B . 3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，依次判断即可. 【详解】选项：为奇函数，不符合题意，故选项错误； 选项：是偶函数，在上单调递增，故选项正确； 选项：是偶函数，但在上单调递减，不符合题意，故选项错误； 选项：是奇函数，不符合题意，故选项错误，故选. 4．已知某停车场规定：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算．一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为（     ） A．16元 B．18元 C．20元 D．22元 【答案】C 【分析】根据题干信息，列式求解即可. 【详解】由已知得7小时20分钟按8小时计算，所以停车费为元，故选C. 5．若一次函数在定义域内是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数为减函数，则斜率为负数列出不等式即可得解. 【详解】一次函数在定义域内是减函数， 所以，解得，所以的取值范围为，故选. 考点2 反比例函数 1. 反比例函数的概念：形如 的函数称为反比例函数，其图像为两条曲线. 2. 反比例函数的性质： (1). 定义域：，值域：； (2). 单调性：当时，函数图像在第一、三象限，在上都是减函数； 当时，函数图像在第二、四象限，在上都是增函数. 注意：有间断的函数的单调区间用“和”或者“逗号”连接，不可用并集符号“∪”连接. (3). 奇偶性：反比例函数是奇函数，图像关于原点中心对称. 具体性质见下表： 【即时训练】 6．函数在区间上是减函数. ······························································（A B） 【答案】A 【分析】根据题意结合反比例函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在区间上是减函数，则函数在区间上是减函数，故选B . 考点3 二次函数 1. 二次函数的概念：形如 的函数称为二次函数，其图像为抛物线. 2. 二次函数的性质：见下表 【即时训练】 7．函数的最大值是3. ····································································（A B） 【答案】A 【分析】根据二次函数的最大值即可判断． 【详解】∵函数的开口向下，对称轴， ∴当时，函数取得最大值，最大值为，故选A ． 8．若函数在上单调递减，在上单调递增，则. ···········（A B） 【答案】A 【分析】根据题意得出函数的对称轴为即可得解. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的对称轴为，则，解得，故选A . 9．若函数在上单调递增，则. ·········································（A B） 【答案】A 【分析】首先确定函数的对称轴，再根据二次函数的单调性确定b的取值范围. 【详解】因为函数图像为开口上的抛物线，其对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，若函数在上单调递增，则，故选A . 10．若二次函数是偶函数且，则. ······························（A B） 【答案】A 【分析】首先由二次函数为偶函数得出，再将代入求出的值，再将代入求值即可. 【详解】已知二次函数是偶函数，所以，则， 由，得，解得，，所以，故选A . 11．在中，，周长为，将的面积表示成的函数，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意表示出三角形的高，直接用面积公式求解即可. 【详解】由题知是等腰三角形，， 又解得，故选D. 12．设二次函数满足顶点坐标为，其图像过点，则函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据顶点坐标设二次函数方程，再用待定系数法求解. 【详解】∵二次函数满足顶点坐标为，∴可设二次函数， ∵其图像过点，∴，∴，∴，故选C . 13．函数与在同一坐标系中的图像可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数、一次函数的图像和性质，可分类讨论，即可判断求解. 【详解】由题意，可分类讨论： 当时，函数图像开口向上， 对称轴，且过原点，函数单调递增， 且与轴交点在轴正半轴，故函数大致图像为右图 当时，函数图像开口向上，对称轴， 且过原点，函数单调递增，且与轴交点在轴负半轴， 故函数大致图像为右图 当时，函数图像开口向下，对称轴， 且过原点，函数单调递减，且与轴交点在轴正半轴， 故函数大致图像为右图 当时，函数图像开口向下，对称轴， 且过原点，函数单调递减，且与轴交点在轴负半轴， 故函数大致图像为右图 故选项错误，选项C正确，故选C. 14．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质确定函数的单调性. 【详解】对于函数，其图像开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间是，故选B. 15．二次函数的图像与x轴无交点，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】由题意得,解得，∴k的取值范围是，故选A . 16．函数对任意均满足，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数对任意均满足， 所以函数图像开口向下，对称轴为，又，所以， 所以，故选D. 17．二次函数的图像顶点在轴上，那么的值为_________. 【答案】 【分析】根据二次函数的图像顶点的坐标公式求解. 【详解】二次函数的图像顶点为，即， ∵顶点在轴上，∴，解得，故答案是：． 18．已知函数，且该函数的值域为，则的值为_______. 【答案】3 【分析】首先通过判断二次函数的对称轴的取值和函数的最值判断的取值范围，再由函数的单调性和最值得出，代入解析式中即可求解. 【详解】因为，当时，，所以若， 的值域为，则，因为二次项系数，的图像是开口向上的抛物线， 所以在上递减，上递增，因为，所以， 可化为，解得或（舍去），故答案为：3. 19．函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质列出不等式求解即可. 【详解】由题意函数开口向上，对称轴为， 若函数在区间上是严格减函数， 则，解得，即实数的取值范围是，故答案为：. 20．函数的单调增区间是_________________________. 【答案】和 【分析】画出函数的图象即可求出函数单调增区间. 【详解】函数的对称轴方程为， 且当，即时，， 所以由函数的图象可得函数的图象，如图所示， 所以函数的单调增区间是和，故答案为：和. 1. (2024·江西·真题T22)若函数的值域为，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【分析】本题考察二次函数的值域. 【详解】因为，所以，因为在上单调递减，，且的 最小值为2，所以，又因为在上单调递增，，所以，综上. 2. (2022·江西·真题T22) 若函数在上为增函数，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】本题考察二次函数的单调性. 【详解】函数的图像开口向上，对称轴为 ，要使函数在上为增函数，则 ， 解得，所以的取值范围是. 3. (2020·江西·真题T24) 某商品的销售价格(单位：万元/件)与销售量(单位：件)的函数关系为 ，则该商品销售额的最大值是___________（万元）. 【答案】450 【分析】本题考察二次函数的应用. 【详解】商品的销售额销售量销售价格，令，该函数图像开口向下，对称轴为，所以当时销售额最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $