专题07 函数的概念及表示法（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题07 函数的概念及表示法 【复习目标】 1．理解函数的概念，了解函数的三种表示方法； 2．掌握分段函数的含义． 【考点1 . 求函数的定义域】 求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0． (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 【即时训练】 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，定义域为的函数是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是______.（用区间表示） 5．函数的定义域是__________. 6．函数的定义域为________．（用区间表示） 7．已知函数则函数的定义域为_____.（用区间表示） 【考点2 相等函数】 相等函数（或称为同一函数）是指两个函数完全相同，必须同时满足以下两个条件： 1.定义域相同 2.对应法则相同（即对于定义域内的每一个自变量 x，两个函数的函数值都相等） 【即时训练】 1．下列选项中，两个函数是相同函数的是（   ）. A．， B．, C．， D．， 2．下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．下列函数中与函数为同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．下列各组函数中，表示同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．与 【考点3 求函数的解析式】 1、已知函数类型（如一次函数、二次函数等）——待定系数法 2、已知 f(g(x)) 的表达式，求 f(x) ——换元法或配凑法 【即时训练】 1．已知是反比例函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则此函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，其中 是正比例函数， 是反比例函数，且 ，，则 （    ） A． B． C． D． 4．已知是一次函数，，则（    ） A． B． C． D．或 5．已知一元二次函数的顶点坐标为，且其图像过点，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．若函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D．或 7．已知函数,则函数（    ）. A． B． C． D． 8．已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【考点4 分段函数】 分段函数是指对于自变量的不同取值范围，对应法则（解析式）不同的函数。它并不是多个函数，而是一个函数，只是用多个式子“分段”表达。 1. 求函数值 先判断自变量属于哪一段，再代入对应表达式 2. 求定义域和值域 定义域：各段定义域的并集。 值域：分别求各段值域，再取并集 3. 已知函数值求自变量 要分情况讨论，解出的结果必须在对应区间内才有效 【即时训练】 1．已知函数，则（   ） A． B．3 C． D． 2．设函数则（   ） A． B． C．3 D．7 3．已知函数，若，则实数__________. 4．已知函数，若，则x的值为______. 1.（2025·河北对口升学·真题T12）已知是一次函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.（2025·河北对口升学·真题T21）已知函数，则______. 3.（2024·河北对口升学·真题T16）设函数，则________． 4.（2023·河北对口升学·真题T04）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5.（2023·河北对口升学·真题T16）已知函数，则 _______. 6.（2022·河北对口升学·真题T16）设，则_______________. 7.（2021·河北对口升学·真题T07）若函数（且）的图像经过第二、三、四象限则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题07 函数的概念及表示法 【复习目标】 1．理解函数的概念，了解函数的三种表示方法； 2．掌握分段函数的含义． 【考点1 . 求函数的定义域】 求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0． (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 【即时训练】 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母不等于0，偶次根式被开方数大于等于0，列出不等式，即可得到结果. 【详解】要使函数有意义， 必须有，，解得且， 即函数的定义域为. 故选：C. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用具体函数定义域的求法，结合二次不等式的解法即可得解. 【详解】对于，有， 即，解得或， 所以的定义域为. 故选：B. 3．下列函数中，定义域为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】对于A，对于，有，则其定义域为，故A正确； 对于B，对于，有，即， 则其定义域为，故B错误； 对于C，对于，其定义域为，故C错误； 对于D，对于，有，则其定义域为，故D错误. 故选：A. 4．函数的定义域是______.（用区间表示） 【答案】 【分析】利用函数定义域的求法，结合绝对值不等式的解法即可得解. 【详解】对于， 有，解得，即且， 所以的定义域为. 故答案为：. 5．函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据对数函数以及分数函数以及根式函数的定义域求解即可. 【详解】由于解得且， 故函数的定义域是. 故答案为：. 6．函数的定义域为________．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据已知列出不等式，根据指数函数的单调性求解，即可得出答案. 【详解】要使函数有意义，则应有，所以. 故答案为：. 7．已知函数则函数的定义域为_____.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域是各段函数自变量取值范围的并集即可解答. 【详解】已知函数 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【考点2 相等函数】 相等函数（或称为同一函数）是指两个函数完全相同，必须同时满足以下两个条件： 1.定义域相同 2.对应法则相同（即对于定义域内的每一个自变量 x，两个函数的函数值都相等） 【即时训练】 1．下列选项中，两个函数是相同函数的是（   ）. A．， B．, C．， D．， 【答案】C 【分析】根据相同函数的概念判断. 【详解】选项A，对于函数，其定义域为， 对于函数，则，解得，即其定义域为， 两个函数定义域不同，所以不是相同函数； 选项B，函数，，它们的对应法则不同，所以不是相同函数； 选项C，函数，其定义域为， 函数，其定义域为， 两个函数定义域及对应法则均相同，所以是相同函数， 选项D，函数，其定义域为， 函数，其定义域为， 两个函数定义域不同，所以不是相同函数， 故选：C. 2．下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数的概念及函数的三要素，即可判断求解. 【详解】A，因为函数的定义域是实数集R，而函数的定义域是， 所以二者的定义域不同，不是同一函数，故选项A不符合题意； B，因为函数与的对应法则不同， 所以二者不是同一函数，故选项B不符合题意； C，因为函数的定义域是，而函数的定义域是， 所以二者的定义域不同，不是同一函数，故选项C不符合题意； D，因为函数与的定义域都是实数集R， 且，即对应法则也相同， 故二者表示的是同一函数，故选项D符合题意； 故选：D. 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】如果要表示同一函数，需要同时满足定义域和对应法则相同，据此即可求解. 【详解】A选项，函数和的定义域都为R， 根据诱导公式，，，对应法则也相同， 故A选项表示同一函数； B选项，函数的定义域为， ，则函数定义域为， 定义域不同，不表示同一函数； C选项，函数的定义域都为R，函数的定义域为， 定义域不同，不表示同一函数； D选项，函数，与对应法则不同，不表示同一函数. 故选：A. 4．下列函数中与函数为同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义即可求解. 【详解】函数定义域为. 对A，定义域为. 所以与不是同一函数. 故A错误. 对B，， 所以与不是同一函数. 故B错误. 对C，定义域为， 所以与不是同一函数. 故C错误. 对D，， 且定义域为. 所以与是同一函数. 故D正确. 故选：D. 5．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据定义域、值域、函数解析式依次判断各选项. 【详解】A选项，，故不是同一函数； B选项，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数； C选项，是常函数定义域为，的定义域为，故不是同一函数； D选项，的定义域为且，是同一函数. 故选：D. 6．下列各组函数中，表示同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．与 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义判断各选项. 【详解】对于选项A，因为，， 对应法则不一样，所以与不是同一函数； 对于选项B，因为与的定义域均为， 且对应法则相同，所以与表示同一函数； 对于选项C，由得，所以的定义域为， 由，得或，所以的定义域为， 定义域不同，所以与不是同一函数； 对于选项D，因为的定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以与不是同一函数. 故选：B. 【考点3 求函数的解析式】 1、已知函数类型（如一次函数、二次函数等）——待定系数法 2、已知 f(g(x)) 的表达式，求 f(x) ——换元法或配凑法 【即时训练】 1．已知是反比例函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出反比例函数解析式，代入已知即可解得. 【详解】设，∵， ，∴. 故选：B. 2．已知函数，若，则此函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数值和对应自变量的值代入即可解得. 【详解】由题，，且， 则，解得， 故. 故选：B 3．已知函数 ，其中 是正比例函数， 是反比例函数，且 ，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数类型求解函数解析式，进而得到函数值； 【详解】设 ，，则： 根据题意： 解方程组：相减得 代入 因此， 故选：A. 4．已知是一次函数，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设出一次函数解析式，由待定系数法解方程组即可解得. 【详解】由题意设，则， ∴， 解得或， ∴或， 故选：D. 5．已知一元二次函数的顶点坐标为，且其图像过点，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可设出函数的解析式，将已知点代入，即可求解. 【详解】因为一元二次函数的顶点坐标为，可设函数解析式为， 又函数图像过点， 所以，解得， 所以函数解析式为. 故选：A. 6．若函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】令，得到，求出的解析式即可. 【详解】解：令，则， 所以， 即． 故选：B. 7．已知函数,则函数（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入函数中即可得解. 【详解】函数,令，则， 所以，则函数， 故选：. 8．已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法可求的解析式，结合选项可得答案. 【详解】令，由于，则，， 所以，得， 所以函数的解析式为． 故选：B 【考点4 分段函数】 分段函数是指对于自变量的不同取值范围，对应法则（解析式）不同的函数。它并不是多个函数，而是一个函数，只是用多个式子“分段”表达。 1. 求函数值 先判断自变量属于哪一段，再代入对应表达式 2. 求定义域和值域 定义域：各段定义域的并集。 值域：分别求各段值域，再取并集 3. 已知函数值求自变量 要分情况讨论，解出的结果必须在对应区间内才有效 【即时训练】 1．已知函数，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式，先求出，进而可求出的结果. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 2．设函数则（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】D 【分析】首先将代入合适的解析式，得出的值，再将的值代入合适的解析式求值即可. 【详解】已知函数， 因为，所以， 所以. 故选：D. 3．已知函数，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据分段函数的解析式进行讨论即可. 【详解】因为函数 所以当时，，此时； 当时，， 解得或（舍去）， 综上所述或. 故答案为：或. 4．已知函数，若，则x的值为______. 【答案】或2 【分析】分别将，代入和时的解析式中求解即可. 【详解】已知函数， 则当时，即得， 当时，即得， 所以的值为或2. 故答案为：或2. 1.（2025·河北对口升学·真题T12）已知是一次函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出，进而可得的值． 【详解】由题意，设， ∵， ∴，即， ∴且，解得， ∴，∴． 故选：A． 2.（2025·河北对口升学·真题T21）已知函数，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由内向外代入求值即可． 【详解】函数，则 故． 故答案为：2． 3.（2024·河北对口升学·真题T16）设函数，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，由内到外代入求值即可. 【详解】函数，则， 所以， 故答案为：1． 4.（2023·河北对口升学·真题T04）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】换元法得到函数解析式即可. 【详解】设，则，代入原函数得． 即． 故选：B. 5.（2023·河北对口升学·真题T16）已知函数，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数和复合函数的概念求函数值即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 6.（2022·河北对口升学·真题T16）设，则_______________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围代入即可求解. 【详解】，， 故答案为：1 7.（2021·河北对口升学·真题T07）若函数（且）的图像经过第二、三、四象限则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图像性质判断函数（且）的图像经过第二、三、四象限满足的条件. 【详解】因为函数（且）的图像经过第二、三、四象限， 所以函数单调递减，定点在原点下方，则，即且. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $