精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高三下学期5月高考模拟考试数学试卷

数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题，，则可得为，. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位幂运算，求出复数，结合模长公式即可求解. 【详解】虚数单位的幂次周期为，即（）， 因为，所以，因此分母为： ， 所以 ， 因此： . 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】已知向量，， 则， ， ，解得． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，即， 化简得，即. . 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 6. 已知抛物线上两点A、B满足，其中O为坐标原点，则线段中点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出两点的坐标，代入，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去，利用韦达定理求得直线过定点.再设出点的坐标，利用点差法结合中点坐标公式求得三个坐标之间的关系，利用（1）的结论化简得中点的轨迹方程. 【详解】设，，其中，则， ， ，， 解得（舍）或 设：，联立，消得，（*） 是（*）的两相异实根，则 ，， 即直线恒过定点 设，则 由，得 当时， 又直线恒过定点， ∴且 ∴，即 当，亦满足上式 所以所求点M的轨迹方程为. 7. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 8. 已知为不超过实数的最大整数，如，，．若函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式得到，再结合函数新定义即可求解. 【详解】由，得， 则恒有， 由题意，对任意实数，有 ，其中是不超过的最大整数，是小数部分，满足， 设 ，则， 又，整理得 ， 由 ，得 ， 是整数，分两种情况： 若 ，则 ，得 ， 若 ，则 ，得 ， 因此的值域为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为18 B. 在一组样本数据…，，，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为； C. 若关于的线性回归直线方程为，则样本点的残差是0.1； D. 随机事件，相互独立的充要条件是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可判断A；利用线性相关系数的定义可判断B；根据线性回归方程的残差的定义求解可判断C；根据随机事件的独立性的定义可判断D. 【详解】对于A，因为已知数据是按从小到大顺序排列的10个数据，由． 所以上四分位数即第75百分位数为第8个数18．故A正确； 对于B，所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ， 直线斜率为负，故相关系数为 ，故B错误； 对于C，关于的线性回归方程为，将代入回归方程中得， 则残差为，故C正确； 对于D，先证必要性：若相互独立，则， 所以， 再证充分性：若，则， 所以，即，说明与相互独立， 所以随机事件A,B相互独立的充要条件是，故D正确. 10. 若，则方程表示的图形可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线 【答案】CD 【解析】 【分析】根据的范围分类讨论，注意结合抛物线的定义判断． 【详解】表示动点到定点的距离，记为. 根据点到直线的距离公式，表示动点到定直线，记为. 因此​. 当定点不在定直线上，即，也就是，根据抛物线的定义，轨迹是抛物线. 当定点在定直线上，即​，此时满足条件的点的轨迹是过且垂直于的直线. 11. 三棱锥中，，，，，以下选项中正确的是（ ） A. 面积的取值范围是 B. 可能和垂直； C. 与所成的角可能为； D. 三棱锥的外接球的体积的最小值为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理求出，结合勾股定理得出，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设二面角的大小为，求出相关向量坐标，结合二面角的范围求出，进而求出的范围，再利用三角形面积公式计算判断选项A；假设垂直关系成立，利用余弦定理求出相应的，进而判断选项B；利用向量夹角余弦公式计算判断选项C；利用外接球球心的性质得出球心坐标，求出球半径的最小值，再利用球的体积公式计算求解，判断选项D． 【详解】， 则， ， ， 以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设二面角的大小为， 则， 则， ， ，因为为二面角，且为三棱锥，则， ， ， 余弦函数在上单调递减， ，故， ，故A错误； 假设，则，解得， 由余弦定理，， 令，解得，存在这样的二面角， 故假设成立，故B正确； 设异面直线所成角为，则， 令，解得，存在这样的二面角，故C正确； 直角三角形的外接圆圆心为斜边中点，半径， 外接球球心在过且垂直于平面的直线上，设， 则外接球半径， ， 化简整理得， 方程有解的条件需满足，即， ，最小体积，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 【答案】8 【解析】 【详解】 对于，由余弦定理得， 代入，，，且​，得： ， 整理得，解得或， 由于三角形边长为正数，舍去负根，因此. 13. 已知函数，若有且只有一个整数解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式整数解问题转化为函数单调性与值域分析问题，再根据函数图象即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，因此，求导可得, 则在上单调递减，值域为，但区间内不存在正整数，不会有整数解； 当时，，此时，则， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 此时在处取得极大值，也是最大值，为，则函数在上的图象如下图所示： 若有且只有一个整数解，即不等式只有一个整数解， 又易知，即，可得， 结合图象可知不等式的整数解一定为3，又因为 因此可得. 14. 已知数列共有10项，其中，，，，则满足条件的不同数列有________个． 【答案】414 【解析】 【分析】设这 9 个 中，有个0，个1，个2，列出约束条件，求解出三种不同情况对应的排列数，再将三种情况的排列数相加. 【详解】数列共有 10 项，，，且 ，， 对递推式累加可得：，所以 设这 9 个 中，有个0，个1，个2，则满足： 由第二个方程得，代入第一个方程： 由 为非负整数，得 ， 因此 的可能取值为 ，对应三组解： 当，，排列数是, 当，，排列数是, 当，，排列数是, 将三种情况的排列数相加： 因此，满足条件的不同数列有414个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）， （2）因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，由于数列的前项和为，所以，因为 对于恒成立，所以． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式及通项公式，联立方程求首项和公差得的通项公式；由知是等比数列，得的通项公式； （2）代入，整理得等比数列，求前项和证得. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，是其前项和，且，． 设数列的首项为，公差为，则， 解得，，所以数列的通项公式为． 因为数列满足：，， 所以数列是首项为1公比为的等比数列，所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 略. 16. 在中，内角所对的边分别为，其中，，且. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及余弦定理求解. （2）由（1）的信息，利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由，，得， 在中，由余弦定理得，整理得， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由的面积为，得，则， 得到，由（1）得，解得， 所以的周长为. 17. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； （2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件为第次投中，则前次投篮中就通过测试可表示，再由概率的加法公式及相互独立事件概率可得； （2）先确定的可能的值，再分别计算相应的概率及期望可得； （3）先计算通过测试概率，再计算前三次通过测试的概率，进而由条件概率公式可得. 【小问1详解】 设事件为第次投中， 则小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率为：． 【小问2详解】 的所有可能取值为：． ，， ，． 则的分布列为： ． 【小问3详解】 设事件：小溪同学通过测试，事件：小溪同学恰好投篮了三次， 因为投篮五次通过概率为， 则，， 则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：． 18. 如图，在正四棱锥中，与交于点，，点是边上一点． （1）若平面平面，求证：； （2）若二面角的余弦值为； ①求的长； ②点为空间内一动点，满足，求异面直线与距离的取值范围． 【答案】（1）过作于，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，又平面，则， 在正四棱锥中，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 又平面，则，又，所以. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求出；②求出点的轨迹，再求出过点与轨迹相切的直线与平面交点的轨迹，求出异面直线公垂线的方向向量，并求出在此方向向量上的投影的绝对值范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在正四棱锥中，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，，则， ， 则，设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 则，又，解得，所以. ②由，得点的轨迹是以为球心，为半径的球面， 设与平面的交点为，当与球相切时，， 则，解得，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，则，，令， 由，得，取，得， 异面直线与距离为，则， 由，得，令， 则，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 19. 已知坐标平面上一点以及方程组，我们称点是由点经过变换得到的．为记号方便，我们定义新的符号：，来表示这样的变换．称为一个二阶方阵，通常用大写字母表示（例：）．若我们对曲线上所有的点做一个相同的变换，则会得到一条新的曲线．例：对圆作变换后我们得到椭圆． （1）已知把坐标平面上一点绕坐标原点逆时针旋转角度得到新的点是一种点的变换，直接写出其变换矩阵． （2）若，在经过变换后分别得到点，，为坐标原点，求证：（注：规定，，共线时，则） （3）已知椭圆的焦点坐标为、，短轴长为，位于第一象限的长轴顶点为，直线与交于点，且．若（其中），以记三角形面积，求（注：是连乘符号，即） 【答案】（1） （2）证明：不妨设位于第二象限，位于第二象限，分别过、作轴的垂线，交于点，， 则， 又，，， 所以， 即. 同理可得，对于任意，，. 由题意知，，. 则 ， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正余弦公式及变换规则求解即可. （2）先求出，结合变换规则得到，，求出面积，即可得证. （3）由题可得曲线焦距为，，考虑将不标准的椭圆通过变换变成圆，对应的变为过原点的直线，再利用（2）小问结果，用圆上的扇形面积转换所求的复杂面积即可． 【小问1详解】 记，且轴逆时针旋转角度后与射线重合， 则，，， 设，则，， 又， ， 所以变换矩阵为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可得曲线焦距为，. 将顺时针旋转后得到标准椭圆：，对应变换为， 由，此时值不变． 再对作变换得到圆， 设，在经过，的变换后得到， 在经过，的变换后得到 由，知， 故 于是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线上两点A、B满足，其中O为坐标原点，则线段中点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为不超过实数的最大整数，如，，．若函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为18 B. 在一组样本数据…，，，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为； C. 若关于的线性回归直线方程为，则样本点的残差是0.1； D. 随机事件，相互独立的充要条件是 10. 若，则方程表示的图形可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线 11. 三棱锥中，，，，，以下选项中正确的是（ ） A. 面积的取值范围是 B. 可能和垂直； C. 与所成的角可能为； D. 三棱锥的外接球的体积的最小值为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 13. 已知函数，若有且只有一个整数解，则实数的取值范围为________． 14. 已知数列共有10项，其中，，，，则满足条件的不同数列有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 16. 在中，内角所对的边分别为，其中，，且. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； （2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 18. 如图，在正四棱锥中，与交于点，，点是边上一点． （1）若平面平面，求证：； （2）若二面角的余弦值为； ①求的长； ②点为空间内一动点，满足，求异面直线与距离的取值范围． 19. 已知坐标平面上一点以及方程组，我们称点是由点经过变换得到的．为记号方便，我们定义新的符号：，来表示这样的变换．称为一个二阶方阵，通常用大写字母表示（例：）．若我们对曲线上所有的点做一个相同的变换，则会得到一条新的曲线．例：对圆作变换后我们得到椭圆． （1）已知把坐标平面上一点绕坐标原点逆时针旋转角度得到新的点是一种点的变换，直接写出其变换矩阵． （2）若，在经过变换后分别得到点，，为坐标原点，求证：（注：规定，，共线时，则） （3）已知椭圆的焦点坐标为、，短轴长为，位于第一象限的长轴顶点为，直线与交于点，且．若（其中），以记三角形面积，求（注：是连乘符号，即） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $