精品解析：江苏省怀仁中学2025-2026学年高一下学期5月阶段练习数学试题

江苏省怀仁中学2026春学期阶段练习 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】，则， 则其在复平面所对应的点坐标为， 则对应的点位于第一象限. 2. 已知向量，，，若，，则（ ） A. 2 B. C. 18 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由向量，，因为，可得，解得， 又由向量，，因为，可得，解得 所以 3. 一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（ ） A. 6 B. 4 C. 11 D. 11.5 【答案】C 【解析】 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列：， ，所以这组数据的上四分位数为第个数据，即. 4. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的公式计算即可. 【详解】由已知，， 所以在方向上的投影向量为. 5. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】C 【解析】 【分析】ABD都可以举出反例；C可以利用线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理综合证明. 【详解】对于A：当直线在平面内时，即，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误； 对于B：当时，若，则，此时，不成立，故B错误； 对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知且，又，所以，而，所以，故C正确； 对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误. 故选：C. 6. 如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数， 故得. 7. 在中，则的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可. 详解：由题意，在中， 利用三角形的面积公式可得， 解得， 又由余弦定理得，解得， 由正弦定理得，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 8. 已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理计算先得，确定为直角三角形，再利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】由余弦定理可知， 所以，即为直角三角形，. 设，则， 则， 显然时，. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，下列结论错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，取，则， 而，A错误； 对于B，，则，而和不能比较大小，B错误； 对于C，取，则，而，C错误； 对于D，由题可知， 即，所以，解得，D正确. 10. 的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABC，由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误；对于D，由余弦定理可得，然后由关于c的方程有两个不同正根可判断选项正误. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理可得：，故，故A正确； 对于B，由正弦定理边角互化可得：， 则C为锐角，但不能为锐角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理边角互化可得， 或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， 因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则， 解得，故D正确. 11. 正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 二面角的大小为 C. 直线与平面所成角为 D. 平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义可判断A；由二面角的定义，找到二面角的平面角，判断B；由线面角的定义作出并求得直线与平面所成角，判断C；设正方体的棱长为a，棱的中点，连接，求得平面与平面所成的角，判断D. 【详解】对于A，连接，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以为直线与直线所成的角， 连接，则，所以是正三角形， 所以，所以A正确； 对于B，由正方体的性质知，平面， 因为平面，所以； 因为，平面， 所以是二面角的平面角， 易知， 所以二面角的大小为，所以B正确； 对于C，由正方体的性质知，平面， 所以是直线与平面所成的角， 易知， 所以直线与平面所成角为，所以C错误； 对于D，设正方体的棱长为a， 易知与均为边长为的正三角形， 如图，取棱的中点，连接， 则， 则为平面与平面所成角的平面角， 且， 又，所以， 所以，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的方差为4，则的方差为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据方差的线性变化公式，即即可求解. 【详解】由题意得，则. 13. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块，如果冰块融化了，水______溢出杯子填“会”或“不会” 【答案】不会 【解析】 【分析】分别计算半球和圆锥的体积，然后比较大小判断即可. 【详解】半球的体积， 圆锥的体积. ，所以冰块融化了，水不会溢出杯子． 14. 设复数z满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的几何意义确定复数z复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果. 【详解】设复数z在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为， 由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，取最大值，最大值为， 所以取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）求； （2）求； （3）若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可； （2）利用平面向量夹角的公式计算即可； （3）由与夹角为钝角，则且与不共线，列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 由已知得，， 则． 【小问2详解】 ，， 则． 【小问3详解】 由与夹角为钝角得，且与不共线， 即，解得且， 故． 16. “2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，求解即可； （2）应用百分位数的定义确定面试成绩前候选者的最低分所在区间，即可求； （3）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，，解得； 【小问2详解】 由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得. 【小问3详解】 设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 17. 如图，在正方体中，为棱的中点． 求证：（1）∥平面； （2）平面⊥平面 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证. 【详解】（1）连交于，连， 因为为的中点，为的中点，所以 又平面平面， 所以平面 （2）因为平面，所以于， 所以平面，所以 同理可证， 又于，所以平面， 因为，所以平面， 又平面， 所以平面平面． 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长 （3）若，，为的平分线，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解； （2）利用三角形的面积公式，，再由余弦定理，求得，即可求解； （3）根据题意，得到，利用，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 所以，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：且的面积为， 可得，可得， 因为，由余弦定理知， 可得，可得， 解得，所以的周长为. 【小问3详解】 解：因为为的平分线且，可得， 由，可得， 又因为，可得， 整理得，所以. 19. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明同时垂直于底面内两条相交直线与，利用线面垂直判定定理，完成了平面的证明，关键在于结合等腰梯形与等边三角形的性质，构建垂直关系； （2）采用几何法，先找到二面角的平面角，再通过解直角三角形计算其三角函数值，核心是利用三垂线定理确定平面角，再结合勾股定理与三角函数公式求解； （3）使用等体积法求点到平面的距离，再根据线面角的定义，将距离与线段长度结合，求出直线与平面所成角的正弦值，体现了体积法在空间距离与角度问题中的应用． 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，， 所以． 【小问2详解】 在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． 易知，则， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． 【小问3详解】 设到平面的距离为． 易知，即， 即，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省怀仁中学2026春学期阶段练习 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，，若，，则（ ） A. 2 B. C. 18 D. 3. 一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（ ） A. 6 B. 4 C. 11 D. 11.5 4. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 6. 如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，则的值等于（　　） A. B. C. D. 8. 已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，下列结论错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 11. 正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 二面角的大小为 C. 直线与平面所成角为 D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的方差为4，则的方差为_______． 13. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块，如果冰块融化了，水______溢出杯子填“会”或“不会” 14. 设复数z满足，则的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）求； （2）求； （3）若与夹角为钝角，求的取值范围． 16. “2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 17. 如图，在正方体中，为棱的中点． 求证：（1）∥平面； （2）平面⊥平面 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长 （3）若，，为的平分线，求的长． 19. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $