专题01 一次函数全章核心知识与题型（暑假复习讲义）新九年级数学新教材湘教版

专题01 一次函数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 函数相关概念辨析 题型2 自变量取值范围与函数值计算 题型3 一次函数与正比例函数定义 题型4 一次函数的增减性 题型5 一次函数图像的平移 题型6 一次函数与象限 题型7 一次函数的图像与坐标轴的交点问题 题型8 求一次函数的解析式 题型9 利用图像法解方程（组） 题型10 一次函数与不等式的解集 题型11 一次函数的实际应用 题型12 一次函数与几何综合 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 函数基础概念 2. 一次函数与正比例函数定义 3. 一次函数图象与性质 4. 图象平移与坐标轴交点 5. 待定系数法求函数解析式 6. 一次函数与方程、不等式 7. 函数图象信息分析 8. 一次函数实际应用 9. 函数最值与方案选择 10. 一次函数与几何综合 1. 函数基础辨析：判断变量关系、确定自变量取值范围、求解函数值，常结合分式、二次根式及实际场景考查。 2. 函数定义判定：区分一次函数与正比例函数，重点考查参数取值限制条件。 3. 图象与性质应用：根据系数符号判断图象经过象限、分析函数增减性，结合参数范围反向推理。 4. 图象变换与交点：考查直线平移规律，求解直线与坐标轴、两直线之间的交点坐标。 5. 解析式求解：运用待定系数法，结合点坐标、平行关系、图形面积等条件求函数表达式。 6. 函数与方程不等式综合：利用函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组。 7. 图象信息解读：结合行程、工程等实际图象，提取数据、分析变化规律并解答问题。 8. 一次函数实际应用：构建函数模型解决行程、收费等问题，考查数学建模能力。 9. 最值与方案决策：依托函数增减性，结合自变量取值范围求解最值，进行最优方案选择。 10. 函数与几何综合：结合几何图形求面积，设置动点、特殊图形存在性等压轴题型。 考情解码： 一次函数是初中函数体系的入门核心，承接小学变量关系、七年级代数式与方程知识，也是后续学习反比例函数、二次函数的基础，同时搭建起代数与几何的联系，在整个初中数学中起到承上启下的关键作用。本章知识点覆盖面广，题型梯度分明，概念辨析、图象性质、解析式求解是期中、期末统考必考基础题；函数与方程、不等式结合题型为中档高频考点；实际应用、函数与几何综合、动点问题是试卷重难点及压轴题主要考查方向，分值占比高，侧重考查数形结合、建模、分类讨论等核心数学思想。 知识点一 函数的相关概念 函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 函数的表示方法：解析法：用一个含有自变量的代数式表示函数的方法。列表法：把自变量(x)的一系列取值和对应的函数值(y)列成表格来表示函数的方法。图象法：在平面直角坐标系中，用图象来表示函数关系的方法 【易错提醒】 （1）判断两个变量是否为函数关系，关键是看给定一个自变量的值，是否只有唯一的因变量值与之对应，如果有两个或多个对应值，就不是函数 （2）确定自变量取值范围时，要考虑所有限制条件，不能遗漏条件。 即时即练 1．下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙、丙、丁四人在学校举行的运动会中参加100m短跑比赛，在某一时刻，将四人已跑路程（y）与所用时间（x）的对应点在平面直角坐标系中表示出来，如图所示，则四人中平均速度最慢的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．某厂今年前5个月某种产品的月产量（件）是时间（月）的函数，它的图象如图所示，则对这种产品来说，下列说法中正确的是（     ）． A．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少 B．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平 C．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产 D．1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产 4．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 5．在函数中，自变量的取值范围是________． 知识点二 一次函数与正比例函数的定义 一次函数的定义：一般地，如果两个变量x与y之间的对应关系可以表示成(k、b是常数，）的形式，那么称y是x的一次函数。 正比例函数的定义：特别地，当时，一次函数就变成（k是常数，），这时称y是x的正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 【易错提醒】 （1）一次函数定义中，一定要强调，如果，那么解析式变为，此时是常数函数，不属于一次函数 （2）判定一次函数时，要注意对解析式进行整理化简 （3）正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当常数项b=0且k≠0时才是正比例函数。 即时即练 1．若关于变量x，y的函数是正比例函数，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 2．已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． 3．下列四个函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D． 4．下列函数中，不是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 知识点三 一次函数的图像与性质 函数图像的绘制步骤：列表、描点、连线 一次函数图象的平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量 一次函数的增减性：k>0时，y随x的增大而增大，k<0，y随x的增大而减小 【易错提醒】 （1）平移规律中“左加右减”是对自变量x本身进行加减，不是对kx加减； （2）截距b不是距离，可正可负可为零，截距是直线与y轴交点的纵坐标 （3）判断直线经过的象限时，不能只看k不看b，k决定倾斜方向，b决定与y轴交点位置，两者共同决定直线经过的象限 即时即练 1．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 2．若正比例函数的图象经过点和点，则点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 4．已知直线经过点和，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 知识点四 确定一次函数的解析式 待定系数法：先设出函数解析式的一般形式，再根据已知条件列出方程（组）求出未知的系数(k)和(b)，从而得到函数解析式的方法叫做待定系数法。 求一次函数解析式的步骤：设一次函数解析式；把已知的两组点坐标代入解析式；解方程组；把求出的k、b代入所设的解析式，得到最终的一次函数解析式 【易错提醒】 （1）求解析式时，要看清楚是求一次函数还是正比例函数，如果是一次函数必须保留b，不要漏求b； （2）代入点坐标的时候，要把横坐标代入x，纵坐标代入y，不要弄颠倒 即时即练 1．某拖拉机耕地时，油箱中剩余的油量与耕地时间之间的几组对应值如下表，已知Q是t的一次函数，则Q与t之间的函数关系式是（    ） 2 4 5 84 68 60 A． B． C． D． 2．若一次函数的图象经过，则m的值为（    ） A．2 B．-2 C．3 D．0 3．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（   ） x 0 2 3 y m 9 A．4 B．5 C． D． 4．在中，当时，；当时，；则当时，y的值为（　　） A．2 B． C． D．5 5．若一次函数的图象向下平移个单位长度后经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 知识点五 一次函数与方程（组） 一次函数与一元一次方程的关系：一元一次方程 （）的解，就是一次函数 （）当函数值 时自变量 x的值。 一次函数与二元一次方程（组）的关系：任意一个二元一次方程 （(a,b) 不同时为0）都可以整理为一次函数解析式的形式，二元一次方程组的解，就是两个一次函数函数值相等时自变量 x的值和对应的函数值 y。 【易错提醒】 （1）.混淆“解”与“交点坐标”：一元一次方程 kx+b=0 的解是一个数值（横坐标），不是点的坐标，答题时不要写成坐标形式。 （2）混淆方程组解的个数与一次函数位置的关系：误将都判定为无解，忽略了时两直线重合，有无数组解的情况 即时即练 1．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 5．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 知识点六 一次函数与不等式 从数的角度看：一元一次不等式 kx + b > 0或 kx + b < 0，）的解集，就是一次函数 （）中函数值 y大于0（或小于0）时自变量 x 的取值范围。 从形的角度看：一元一次不等式 kx + b > 0的解集，对应一次函数图象在 x轴上方部分所有点的横坐标集合；kx + b < 0的解集对应图象在 x)轴下方部分所有点的横坐标集合。 【易错提醒】 （1）.解集方向判断错误：当 k<0)时，一次函数 y=kx+b 随 x 增大而减小，此时不等式 kx+b>0的解集在交点左侧，不要习惯性写成右侧。 （2）.混淆“大于0”和“大于等于0”：不等式带等号时，解集也要包含交点横坐标，不要遗漏等号。 （3）.比较两个一次函数大小时，误看图象位置：分不清哪个函数图象在上方，建议在两个函数交点处标注坐标，再根据题目要求判断上下区域对应横坐标范围。 即时即练 1．如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．如图，若关于的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 4．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 5．如图，已知直线和直线交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型9 利用图像法解方程（组） 例1．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 把方程转化为一次/函数解析式，画出对应函数图像。 图像交点的横、纵坐标，就是方程（组）的解。 【变式训练1】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练2】如图，直线、的交点坐标可以看做下列方程组（  ）的解． A． B． C． D． 题型10 一次函数与不等式的解集 例1．一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 例2．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 将不等式转化为两个一次函数的大小关系，结合图像判断上下位置；图像上方对应函数值更大，对应x的取值范围即为不等式解集。 【变式训练1】如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型11 一次函数的实际应用 例1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 例2．乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【技巧总结】 先梳理题干中的数量关系，设出变量并列出一次函数解析式，同时结合实际限制确定自变量取值范围；再根据问题要求，代入计算、对比函数值或结合图像分析，最终回归实际场景作答。 【变式训练1】某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【变式训练2】为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 题型12 一次函数与几何综合 例1．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【技巧总结】 先求出一次函数解析式，确定直线与坐标轴、几何图形的交点坐标；结合几何性质（边长、面积、角度等），利用坐标运算求解线段、面积、动点等问题。 【变式训练1】如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点分别为线段的中点，点为上一动点，值最小是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】如图，已知一次函数与坐标轴交于M，N两点．P是x正半轴上一点，横坐标为t，若的面积为S，则S与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 题型1 函数相关概念辨析 例1．新情境 素有“天下第一关”之称的山海关是国家级景区，门票售价为每人50元．某旅游团有游客x名，共支付门票费用为y元，则下列说法错误的是（    ） A．50为常量 B．x是常量 C．y是变量 D．y与x的关系式为 例2．对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（    ） A．长方形的长一定，其面积y与宽x B．乘坐垂直电梯上升的人离地面的高度y与时间x C．购买每支3元的水性笔的总金额y与购买数量x D．某款机器人的销售量y与进货数量x 【技巧总结】 判断函数紧抓任意一个自变量 x，有且只有一个 y 与之对应；区分常量和变量，看数值在变化过程中是否发生改变；列表、解析式、图象三类表示形式可相互转化，做题时按需转换形式简化分析。 【变式训练1】常温常压下，固态铜的密度，且固态铜的质量与体积之间的关系可以用表示，下列说法正确的是（    ） A．是变量 B．m是常量 C．V、都是常量 D．m、V都是变量 【变式训练2】下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2 自变量取值范围与函数值计算 例1．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例2．下列各点在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 分式要求分母≠0，组合式需同时满足所有限制条件；实际问题额外结合场景限制取值；求函数值直接代数运算，已知函数值求自变量，转化为方程求解即可。 【变式训练1】在物理学中，功的计算公式为（W为功，F为力，s为距离），若已知，则F的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】水箱中原有水，漏水速度为，水箱中剩余的水量（单位：）随时间（单位：）的变化而变化．写出表示与的函数解析式是（1）_______________，其中自变量的取值范围是（2）_______________． 题型3 一次函数与正比例函数定义 例1．下列四个函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D． 例2．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 【技巧总结】 牢记核心形式y=kx+b(k≠0)，自变量次数必须为 1；正比例函数需同时满足(k≠0)、(b=0)；求出参数后务必回代检验，杜绝出现(k=0)的错误情况。 【变式训练1】下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 【变式训练2】若关于变量x，y的函数是正比例函数，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 题型4 一次函数的增减性 例1．下列四个函数中，当增大时，值减小的函数是（    ） A． B． C． D． 例2．点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【技巧总结】 判断一次函数增减性只看k：k>0递增，k<0递减，b不影响增减。比较函数值、求参数范围可直接套用增减规律。求区间最值时，最值只出现在自变量取值的两个端点。 【变式训练1】已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【变式训练2】一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型5 一次函数图像的平移 例1．把直线沿轴向右平移2个单位，所得直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 例2将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 一次函数图象平移k值始终不变，遵循左加右减自变量，上加下减常数项。左右平移改动x，上下平移改动b，分清平移方向即可快速列式。 【变式训练1】将直线平移后，得到直线，则原直线（     ） A．向上平移了个单位长度 B．向下平移了个单位长度 C．向左平移了个单位长度 D．向右平移了个单位长度 【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（   ） A．向上平移4个单位长度得到 B．向上平移2个单位长度得到 C．向下平移4个单位长度得到 D．向下平移2个单位长度得到 题型6 一次函数与象限 例1．已知一次函数，y随x的增大而增大且，则在直角坐标系中，一次函数的图象经过的象限有（   ） A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四 例2．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A．第三、二、一象限 B．第二、三、四象限 C．第二、一、四象限 D．第三、四、一象限 【技巧总结】 根据k、b的正负可判断直线经过的象限，k决定升降趋势，b决定直线与y轴交点位置。熟记组合规律，也可由图象所在象限反向推导k、b的取值范围。 【变式训练1】直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练2】一次函数的图象不经过第四象限，则（   ） A． ， B． ， C． ， D．， 题型7 一次函数的图像与坐标轴的交点问题 例1．直线与轴的交点坐标是(      ) A． B． C． D． 例2．一次函数的图象与x轴的交点坐标为（） A． B． C． D． 【技巧总结】 求与y轴交点令x=0，求与x轴交点令y=0，代入解析式计算即可。结合交点坐标还可快速求出直线与坐标轴围成三角形的边长与面积。 【变式训练1】已知一次函数（k为常数）的图象与x轴的交点在x轴负半轴上，则k的值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练2】一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（     ） A． B． C． D． 题型8 求一次函数的解析式 例1．已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 例2．已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【技巧总结】 用待定系数法，按设、代、解、写四步求解。两直线平行则k值相等，结合面积、交点等条件时，先转化为点坐标再计算。 【变式训练1】一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 【变式训练2】已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 1．一次函数的图像经过点A，则点A的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位后的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 3．某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个元，日购买人数为人，则与可能满足的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 4．下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．若点，在一次函数（n是常数）的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．下列关于直线的说法正确的是（    ） A．与y轴交于点 B．一定经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象过一、二、三象限 9．如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 10．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 11．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 12．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 13．若一次函数的图像在轴上的截距是5，则___________． 14．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则k的值为_______． 15．画出直线，并借助图象找出： (1)直线上横坐标是2的点； (2)直线上纵坐标是的点； (3)直线上到y轴的距离等于2的点． 16．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 17．已知关于的一次函数． (1)如果函数图象经过原点，求的值； (2)如果直线与轴交于负半轴，求的取值范围． 18．已知关于的函数． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若，求该函数图象与轴的交点坐标． 19．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 20．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 21．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 函数相关概念辨析 题型2 自变量取值范围与函数值计算 题型3 一次函数与正比例函数定义 题型4 一次函数的增减性 题型5 一次函数图像的平移 题型6 一次函数与象限 题型7 一次函数的图像与坐标轴的交点问题 题型8 求一次函数的解析式 题型9 利用图像法解方程（组） 题型10 一次函数与不等式的解集 题型11 一次函数的实际应用 题型12 一次函数与几何综合 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 函数基础概念 2. 一次函数与正比例函数定义 3. 一次函数图象与性质 4. 图象平移与坐标轴交点 5. 待定系数法求函数解析式 6. 一次函数与方程、不等式 7. 函数图象信息分析 8. 一次函数实际应用 9. 函数最值与方案选择 10. 一次函数与几何综合 1. 函数基础辨析：判断变量关系、确定自变量取值范围、求解函数值，常结合分式、二次根式及实际场景考查。 2. 函数定义判定：区分一次函数与正比例函数，重点考查参数取值限制条件。 3. 图象与性质应用：根据系数符号判断图象经过象限、分析函数增减性，结合参数范围反向推理。 4. 图象变换与交点：考查直线平移规律，求解直线与坐标轴、两直线之间的交点坐标。 5. 解析式求解：运用待定系数法，结合点坐标、平行关系、图形面积等条件求函数表达式。 6. 函数与方程不等式综合：利用函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组。 7. 图象信息解读：结合行程、工程等实际图象，提取数据、分析变化规律并解答问题。 8. 一次函数实际应用：构建函数模型解决行程、收费等问题，考查数学建模能力。 9. 最值与方案决策：依托函数增减性，结合自变量取值范围求解最值，进行最优方案选择。 10. 函数与几何综合：结合几何图形求面积，设置动点、特殊图形存在性等压轴题型。 考情解码： 一次函数是初中函数体系的入门核心，承接小学变量关系、七年级代数式与方程知识，也是后续学习反比例函数、二次函数的基础，同时搭建起代数与几何的联系，在整个初中数学中起到承上启下的关键作用。本章知识点覆盖面广，题型梯度分明，概念辨析、图象性质、解析式求解是期中、期末统考必考基础题；函数与方程、不等式结合题型为中档高频考点；实际应用、函数与几何综合、动点问题是试卷重难点及压轴题主要考查方向，分值占比高，侧重考查数形结合、建模、分类讨论等核心数学思想。 知识点一 函数的相关概念 函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 函数的表示方法：解析法：用一个含有自变量的代数式表示函数的方法。列表法：把自变量(x)的一系列取值和对应的函数值(y)列成表格来表示函数的方法。图象法：在平面直角坐标系中，用图象来表示函数关系的方法 【易错提醒】 （1）判断两个变量是否为函数关系，关键是看给定一个自变量的值，是否只有唯一的因变量值与之对应，如果有两个或多个对应值，就不是函数 （2）确定自变量取值范围时，要考虑所有限制条件，不能遗漏条件。 即时即练 1．下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应判断即可． 【详解】解：A．对于的每一个取值，可能有2个值与之对应，故不是的函数； B．对于的每一个取值，可能有多个值与之对应，故不是的函数； C．对于的每一个取值，可能有2个值与之对应，故不是的函数； D．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数． 2．甲、乙、丙、丁四人在学校举行的运动会中参加100m短跑比赛，在某一时刻，将四人已跑路程（y）与所用时间（x）的对应点在平面直角坐标系中表示出来，如图所示，则四人中平均速度最慢的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】如图，先分别连接原点与甲、乙、丙、丁四个点，再找一条垂直轴的网格线，与丁点所在直线交点在最下方，即相同时间内丁已跑路程最小， 所以平均速度最慢的是丁． 3．某厂今年前5个月某种产品的月产量（件）是时间（月）的函数，它的图象如图所示，则对这种产品来说，下列说法中正确的是（     ）． A．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少 B．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平 C．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产 D．1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产 【答案】B 【分析】仔细分析函数图象的特征，根据随的变化规律即可求出答案． 【详解】解：在1月至3月，图象由低到高，说明随着月份的增加，产量不断提高， 从3月份开始，函数图象的高度不再变化，说明4、5两月每月产量与3月持平． 4．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 【答案】D 【详解】解：由表格得，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分， ∴当时，的值为． 5．在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件、函数自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键，根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得：． 知识点二 一次函数与正比例函数的定义 一次函数的定义：一般地，如果两个变量x与y之间的对应关系可以表示成(k、b是常数，）的形式，那么称y是x的一次函数。 正比例函数的定义：特别地，当时，一次函数就变成（k是常数，），这时称y是x的正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 【易错提醒】 （1）一次函数定义中，一定要强调，如果，那么解析式变为，此时是常数函数，不属于一次函数 （2）判定一次函数时，要注意对解析式进行整理化简 （3）正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当常数项b=0且k≠0时才是正比例函数。 即时即练 1．若关于变量x，y的函数是正比例函数，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义得到常数项为0，列方程求解即可得到a的值 【详解】解：∵函数是正比例函数 ∴函数的常数项满足 解得 2．已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】先根据正比例函数定义设出函数解析式，再利用已知条件求出比例系数，最后代入x的值计算y即可． 【详解】解：∵y是x的正比例函数， ∴设函数解析式为， 将代入解析式得：， 解得， ∴函数解析式为， 当时，． 3．下列四个函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项，一次函数的定义为：形如（为常数，）的函数是一次函数，正比例函数是特殊的一次函数． 【详解】解：A． 是常数函数，不符合一次函数定义，错误； B．中，，属于特殊的一次函数，符合定义，正确； C．是反比例函数，不符合一次函数定义，错误； D．中未说明，当时该函数是常数函数，不符合定义，错误． 4．下列函数中，不是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项即可得到答案，一次函数要求自变量为整式，且最高次数为1． 【详解】解：A、是正比例函数，属于一次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、，是一次函数，不符合题意； D、中，是分式，不符合一次函数的定义，不是一次函数，符合题意． 5．下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，逐一判断各函数是否符合要求，即可得到答案，一次函数定义为形如（，为常数，）的整式函数． 【详解】解：① 中，自变量的次数为，不符合一次函数定义，不是一次函数； ② 可整理为 ，其中 ，，符合一次函数定义，是一次函数； ③ ，分母含自变量，不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 中，，，符合一次函数定义，是一次函数． 综上，一次函数为②④． 知识点三 一次函数的图像与性质 函数图像的绘制步骤：列表、描点、连线 一次函数图象的平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量 一次函数的增减性：k>0时，y随x的增大而增大，k<0，y随x的增大而减小 【易错提醒】 （1）平移规律中“左加右减”是对自变量x本身进行加减，不是对kx加减； （2）截距b不是距离，可正可负可为零，截距是直线与y轴交点的纵坐标 （3）判断直线经过的象限时，不能只看k不看b，k决定倾斜方向，b决定与y轴交点位置，两者共同决定直线经过的象限 即时即练 1．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知一次函数为，可得，． A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意； C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意； D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意． 2．若正比例函数的图象经过点和点，则点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】将已知点代入函数解析式，推导得到的值，再根据横纵坐标符号判断点所在象限． 【详解】∵ 正比例函数的图象经过点和点 ∴ 将两点代入解析式可得， 由得，代入得， 两边同乘得， ∴ 点即为， ∵ 横坐标小于，纵坐标大于，符合第二象限点的特征， ∴该点在第二象限． 3．将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的直线解析式，再结合一次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵将直线向左平移2个单位长度后得到直线， ∴平移后直线解析式为，即，， ∴直线经过第一、二、三象限，故A错误． 对于，令，得， 解得， ∴ 直线与轴交于，B错误． 对于，令，得， ∴ 直线与轴交于，C正确． 选项D：∵ ， ∴ 随的增大而增大，D错误． 4．已知直线经过点和，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将A、B两点坐标分别代入直线解析式，得到和关于的表达式，再对比各选项得到正确结论． 【详解】解：∵ 点和在直线上， ∴ 将坐标代入解析式可得： ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，， 因此选项A、C、D错误，选项B正确． 5．已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一次函数的解析式判断其经过的象限，根据本题中，，图象经过一、三象限， ，则，图象与轴的交点大于，即可解答． 【详解】， 图象经过一、三象限， ，， ， 图象与轴的交点大于， 综上，图象经过一、二、三象限， 故选． 知识点四 确定一次函数的解析式 待定系数法：先设出函数解析式的一般形式，再根据已知条件列出方程（组）求出未知的系数(k)和(b)，从而得到函数解析式的方法叫做待定系数法。 求一次函数解析式的步骤：设一次函数解析式；把已知的两组点坐标代入解析式；解方程组；把求出的k、b代入所设的解析式，得到最终的一次函数解析式 【易错提醒】 （1）求解析式时，要看清楚是求一次函数还是正比例函数，如果是一次函数必须保留b，不要漏求b； （2）代入点坐标的时候，要把横坐标代入x，纵坐标代入y，不要弄颠倒 即时即练 1．某拖拉机耕地时，油箱中剩余的油量与耕地时间之间的几组对应值如下表，已知Q是t的一次函数，则Q与t之间的函数关系式是（    ） 2 4 5 84 68 60 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用待定系数法求解函数表达式即可． 【详解】解：设， 将分别代入，得 解得 故Q与t之间的函数关系式是． 2．若一次函数的图象经过，则m的值为（    ） A．2 B．-2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入一次函数解析式，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴将，代入，得 解得． 3．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（   ） x 0 2 3 y m 9 A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】利用已知的x与y的对应值求出一次函数解析式，再将代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：设该一次函数解析式为， 由表可知，当时，，可得， 将代入解析式得， 解得， 因此该一次函数解析式为， 将代入解析式得， 即． 4．在中，当时，；当时，；则当时，y的值为（　　） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【分析】先求出函数解析式，再将代入解析式计算即可． 【详解】解：∵在中，当时，，当时，， ∴代入得方程组， 解得， ∴函数解析式为， 将代入解析式，得． 5．若一次函数的图象向下平移个单位长度后经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一次函数图象的平移规律得到平移后的解析式，再将已知点的坐标代入即可求出的值． 【详解】解：∵一次函数向下平移个单位长度， ∴平移后所得函数的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得． 知识点五 一次函数与方程（组） 一次函数与一元一次方程的关系：一元一次方程 （）的解，就是一次函数 （）当函数值 时自变量 x的值。 一次函数与二元一次方程（组）的关系：任意一个二元一次方程 （(a,b) 不同时为0）都可以整理为一次函数解析式的形式，二元一次方程组的解，就是两个一次函数函数值相等时自变量 x的值和对应的函数值 y。 【易错提醒】 （1）.混淆“解”与“交点坐标”：一元一次方程 kx+b=0 的解是一个数值（横坐标），不是点的坐标，答题时不要写成坐标形式。 （2）混淆方程组解的个数与一次函数位置的关系：误将都判定为无解，忽略了时两直线重合，有无数组解的情况 即时即练 1．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 2．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 3．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，运用数形结合的思想即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 5．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 知识点六 一次函数与不等式 从数的角度看：一元一次不等式 kx + b > 0或 kx + b < 0，）的解集，就是一次函数 （）中函数值 y大于0（或小于0）时自变量 x 的取值范围。 从形的角度看：一元一次不等式 kx + b > 0的解集，对应一次函数图象在 x轴上方部分所有点的横坐标集合；kx + b < 0的解集对应图象在 x)轴下方部分所有点的横坐标集合。 【易错提醒】 （1）.解集方向判断错误：当 k<0)时，一次函数 y=kx+b 随 x 增大而减小，此时不等式 kx+b>0的解集在交点左侧，不要习惯性写成右侧。 （2）.混淆“大于0”和“大于等于0”：不等式带等号时，解集也要包含交点横坐标，不要遗漏等号。 （3）.比较两个一次函数大小时，误看图象位置：分不清哪个函数图象在上方，建议在两个函数交点处标注坐标，再根据题目要求判断上下区域对应横坐标范围。 即时即练 1．如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】掌握由函数图象求不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：求不等式的解集就是找直线在轴及其下方部分对应的自变量的取值范围， ， 当时，直线在轴及其下方， 即不等式的解集是． 2．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象找到一次函数的函数值大于或等于1时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 3．如图，若关于的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两一次函数图像的交点得到在该点时，两一次函数的函数值相等，再根据题目所求是在该点的左侧还是右侧，在左侧小于该点的横坐标，在右侧大于该点的横坐标． 【详解】解：∵点是一次函数与的交点， ∴当时，， 由图像可知，当时，一次函数在下方， ∴ 即时，． 4．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 【答案】C 【分析】根据图象进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，，故A错误； ，，故B错误； 方程的解是，故C正确； 当时，，故D错误. 5．如图，已知直线和直线交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴不等式的解集是． 题型1 函数相关概念辨析 例1．新情境 素有“天下第一关”之称的山海关是国家级景区，门票售价为每人50元．某旅游团有游客x名，共支付门票费用为y元，则下列说法错误的是（    ） A．50为常量 B．x是常量 C．y是变量 D．y与x的关系式为 【答案】B 【分析】根据常量变量的定义判断各选项，再结合总费用的计算方法判断关系式，找出错误说法． 【详解】解：∵门票单价50元固定不变， ∴50是常量，A说法正确； ∵旅游团的游客人数可以变化，总费用随的变化而变化， ∴和都是变量，因此B说法错误，C说法正确； ∵总费用=单价×游客人数， ∴与的关系式为，D说法正确． 例2．对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（    ） A．长方形的长一定，其面积y与宽x B．乘坐垂直电梯上升的人离地面的高度y与时间x C．购买每支3元的水性笔的总金额y与购买数量x D．某款机器人的销售量y与进货数量x 【答案】D 【分析】在一个变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此分析各选项即可． 【详解】解：A、长方形的长等于长方形的面积除以其宽，当长一定时，对于宽x的每一个确定的值，面积y都有唯一值与之对应，则y是x的函数，故此选项不符合题意； B、对任意一个确定的时间x，人离地面的高度y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，故此选项不符合题意； C、总金额，对任意一个确定的购买数量x，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，故此选项不符合题意； D、给定一个确定的进货数量x，销售量y可以取多个不同的值，不满足y有唯一确定的值和x对应，则y不是x的函数，故此选项符合题意． 【技巧总结】 判断函数紧抓任意一个自变量 x，有且只有一个 y 与之对应；区分常量和变量，看数值在变化过程中是否发生改变；列表、解析式、图象三类表示形式可相互转化，做题时按需转换形式简化分析。 【变式训练1】常温常压下，固态铜的密度，且固态铜的质量与体积之间的关系可以用表示，下列说法正确的是（    ） A．是变量 B．m是常量 C．V、都是常量 D．m、V都是变量 【答案】D 【分析】根据在变化过程中，固定不变的量是常量，发生变化的量是变量，即可得到结果． 【详解】解：∵常温常压下，固态铜的密度，数值固定不变， ∴是常量，故A选项错误，不符合题意； ∵铜的体积可以取不同的数值，质量随的变化而变化， ∴和都是变量，故B，C选项错误，不符合题意；D选项正确，符合题意； 【变式训练2】下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念，两个变量x、y，对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，此时我们称y是x的函数，逐个判断即可． 【详解】解：A．对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项不符合题意； B．对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项不符合题意； C． 对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项不符合题意； D．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项符合题意． 题型2 自变量取值范围与函数值计算 例1．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 解得． 例2．下列各点在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将各选项横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】解：函数解析式为， 选项A、当时，，与点的纵坐标一致，则在函数图象上； 选项B、当时，分母，解析式无意义，则不在函数图象上； 选项C、当时，，则不在函数图象上； 选项D、当时，分母，解析式无意义，则不在函数图象上． 【技巧总结】 分式要求分母≠0，组合式需同时满足所有限制条件；实际问题额外结合场景限制取值；求函数值直接代数运算，已知函数值求自变量，转化为方程求解即可。 【变式训练1】在物理学中，功的计算公式为（W为功，F为力，s为距离），若已知，则F的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ， ∴． 【变式训练2】水箱中原有水，漏水速度为，水箱中剩余的水量（单位：）随时间（单位：）的变化而变化．写出表示与的函数解析式是（1）_______________，其中自变量的取值范围是（2）_______________． 【答案】 【分析】根据剩余水量等于原有水量减去漏出的水量，列出与的函数解析式，再根据时间非负，剩余水量非负，确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意得，， ，解得， 即自变量的取值范围是． 题型3 一次函数与正比例函数定义 例1．下列四个函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项，一次函数的定义为：形如（为常数，）的函数是一次函数，正比例函数是特殊的一次函数． 【详解】解：A． 是常数函数，不符合一次函数定义，错误； B．中，，属于特殊的一次函数，符合定义，正确； C．是反比例函数，不符合一次函数定义，错误； D．中未说明，当时该函数是常数函数，不符合定义，错误． 例2．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 【答案】D 【分析】正比例函数的形式为（为不等于的常数），写出各选项变量的函数关系式，再根据定义判断即可． 【详解】解：对于选项A：正方形面积与边长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项B：等腰三角形周长为，底边长与腰长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项C：短跑中时间与速度的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项D：总价与购买数量的关系式为，是正比例函数，符合题意． 【技巧总结】 牢记核心形式y=kx+b(k≠0)，自变量次数必须为 1；正比例函数需同时满足(k≠0)、(b=0)；求出参数后务必回代检验，杜绝出现(k=0)的错误情况。 【变式训练1】下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，逐一判断各函数是否符合要求，即可得到答案，一次函数定义为形如（，为常数，）的整式函数． 【详解】解：① 中，自变量的次数为，不符合一次函数定义，不是一次函数； ② 可整理为 ，其中 ，，符合一次函数定义，是一次函数； ③ ，分母含自变量，不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 中，，，符合一次函数定义，是一次函数． 综上，一次函数为②④． 【变式训练2】若关于变量x，y的函数是正比例函数，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义得到常数项为0，列方程求解即可得到a的值 【详解】解：∵函数是正比例函数 ∴函数的常数项满足 解得 题型4 一次函数的增减性 例1．下列四个函数中，当增大时，值减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数（）的性质，当时，随的增大而减小，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵一次函数的一般形式为（）． ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 对各选项分析： A选项中，随增大而增大． B选项中，随增大而增大． C选项中，随增大而增大． D选项中，随增大而减小． ∴符合题意的是D选项． 故选：D． 例2．点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数的增减性，再通过两点纵坐标的大小关系得到横坐标的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而增大， ∵点，都在该直线上，且，即， ∴． 【技巧总结】 判断一次函数增减性只看k：k>0递增，k<0递减，b不影响增减。比较函数值、求参数范围可直接套用增减规律。求区间最值时，最值只出现在自变量取值的两个端点。 【变式训练1】已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】先判断一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴该一次函数y随x的增大而减小， ∵， ∴． 【变式训练2】一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可推出纵坐标的大小关系． 【详解】∵一次函数中，一次项系数， ∴y随x的增大而减小， ∵两点横坐标满足， ∴ 题型5 一次函数图像的平移 例1．把直线沿轴向右平移2个单位，所得直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移规则“左加右减，上加下减”，进行求解即可. 【详解】解：，向右平移2个单位，得到. 例2将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移口诀“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：直线解析式为，向下平移个单位， 平移后所得直线的表达式为，A选项符合题意． 【技巧总结】 一次函数图象平移k值始终不变，遵循左加右减自变量，上加下减常数项。左右平移改动x，上下平移改动b，分清平移方向即可快速列式。 【变式训练1】将直线平移后，得到直线，则原直线（     ） A．向上平移了个单位长度 B．向下平移了个单位长度 C．向左平移了个单位长度 D．向右平移了个单位长度 【答案】A 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：∵将直线平移后，得到直线， 设向上平移了a个单位， ∴， 解得：， 所以沿y轴向上平移了个单位，即向上平移8个单位. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（   ） A．向上平移4个单位长度得到 B．向上平移2个单位长度得到 C．向下平移4个单位长度得到 D．向下平移2个单位长度得到 【答案】A 【分析】根据一次函数图象的平移规律，利用上下平移“上加下减”的规则，即可判断平移方向和平移距离. 【详解】解：原直线解析式为 ，平移后的直线为 ，相当于在原解析式整体加了， ∴是向上平移个单位长度得到的 题型6 一次函数与象限 例1．已知一次函数，y随x的增大而增大且，则在直角坐标系中，一次函数的图象经过的象限有（   ） A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四 【答案】B 【分析】本题利用一次函数的性质，先根据y随x的变化趋势判断k的符号，再结合b的符号确定图象经过的象限． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∵时，直线一定经过第一，三象限， 又∵， ∴直线与轴交于负半轴，因此直线经过第四象限， ∴该一次函数的图象经过一，三，四象限． 例2．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A．第三、二、一象限 B．第二、三、四象限 C．第二、一、四象限 D．第三、四、一象限 【答案】B 【分析】由一次函数图象的平移规律和一次函数图象与系数的关系解题即可． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到， 根据平移规律“上加下减”可得平移后的解析式为， ∴， 又∵， ∴一次函数中，斜率为负，且与轴交于负半轴，因此图象经过第二、三、四象限． 【技巧总结】 根据k、b的正负可判断直线经过的象限，k决定升降趋势，b决定直线与y轴交点位置。熟记组合规律，也可由图象所在象限反向推导k、b的取值范围。 【变式训练1】直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先求出平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：由平移规则可知，直线向上平移个单位长度后，解析式为． ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数， ∴， 解得， 结合选项可知，只有D选项的7满足条件 【变式训练2】一次函数的图象不经过第四象限，则（   ） A． ， B． ， C． ， D．， 【答案】B 【分析】当一次函数图象不经过第四象限时，可能经过第一、二、三象限，或仅经过第一、三象限，由此可解． 【详解】解：的图象不经过第四象限， 该图象经过第一、二、三象限，或仅经过第一、三象限， ，或，， 综上可得，，． 题型7 一次函数的图像与坐标轴的交点问题 例1．直线与轴的交点坐标是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线与轴的交点在轴上，轴上所有点的横坐标为， 令，将代入， 得， 直线与轴的交点坐标是． 例2．一次函数的图象与x轴的交点坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与x轴交点坐标的求解，x轴上所有点的纵坐标都为0，只需令代入解析式求出x，即可得到交点坐标． 【详解】∵x轴上点的纵坐标为0， ∴令，代入得， 解得， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 【技巧总结】 求与y轴交点令x=0，求与x轴交点令y=0，代入解析式计算即可。结合交点坐标还可快速求出直线与坐标轴围成三角形的边长与面积。 【变式训练1】已知一次函数（k为常数）的图象与x轴的交点在x轴负半轴上，则k的值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，根据交点位置得到横坐标的范围，推导得到k的取值范围，再匹配符合条件的选项即可． 【详解】解：∵ 一次函数与x轴交点的纵坐标为， ∴令，代入得， ∵， 解得， ∵ 交点在x轴负半轴上， ∴ ，即， ∴ ， 选项中只有A选项的满足， 故选：A． 【变式训练2】一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一次函数与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：对于一次函数， 令，得， 令，即，解得， 一次函数与轴、轴交点分别为，， 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和， 面积为． 题型8 求一次函数的解析式 例1．已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设这个一次函数的表达式为（）， 由图象可得，一次函数的图象经过点和点， 将两个点的坐标代入函数表达式，得， 解得：， 因此这个一次函数的表达式为． 例2．已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】；直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【分析】先将已知点的坐标代入直线解析式求出的值，再分别令、，求出直线与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：把点代入中， 得，解得， 所以直线的函数解析式为， 当时，， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【技巧总结】 用待定系数法，按设、代、解、写四步求解。两直线平行则k值相等，结合面积、交点等条件时，先转化为点坐标再计算。 【变式训练1】一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式求，看是否等于纵坐标即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将，代入表达式， 可得：， 解得， 即； （2）解：在函数的图象上， 理由如下：当时，， 即点在函数图象上． 【变式训练2】已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)作图见解析，点不在函数图象上 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可得出答案； （2）根据列表，描点，连线得出函数图象，再将代入关系式验证即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：列表： x 0 1 y 1 4 描点，连线如下图： 当时，， ∴点不在一次函数的图象上． 题型9 利用图像法解方程（组） 例1．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 例2．如图，一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解”即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y＝x＋1与y＝2x−1图象的交点是（2，3）， ∴方程组的解为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了图象法解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解与相应的两个函数图象的交点坐标之间的关系是解题的关键． 【技巧总结】 把方程转化为一次/函数解析式，画出对应函数图像。 图像交点的横、纵坐标，就是方程（组）的解。 【变式训练1】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据交点坐标为，分别代入两个解析式，构造等式，变形计算即可． 本题考查了直线的交点坐标，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， 故， 故， ， 故选：D． 【变式训练2】如图，直线、的交点坐标可以看做下列方程组（  ）的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据图象判定交点坐标，然后代入方程组即可. 【详解】由图象，得直线、的交点坐标是（2,3），将其代入，得 A选项，满足方程组，符合题意； B选项，不满足方程组，不符合题意； C选项，不满足方程组，不符合题意； D选项，不满足方程组，不符合题意； 故选：A. 【点睛】此题主要考查一次函数图象和二元一次方程组的综合应用，熟练掌握，即可解题. 题型10 一次函数与不等式的解集 例1．一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于的不等式的解集即为直线在轴下方时对应的取值范围． 【详解】解：由函数图象可得，关于的不等式的解集是． 例2．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式的解集，对应直线的图象在直线下方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标判断即可． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点，由图可得时，直线的图象在直线下方， ∴的解集为． 【技巧总结】 将不等式转化为两个一次函数的大小关系，结合图像判断上下位置；图像上方对应函数值更大，对应x的取值范围即为不等式解集。 【变式训练1】如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大， 当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集， 将看作整体，可得， 解得 【变式训练2】如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点横坐标得出不等式的解集为，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：∵直线与相交于点，点的横坐标为， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集在数轴上表示为： ∴A选项符合题意． 题型11 一次函数的实际应用 例1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 例2．乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【答案】B 【分析】根据题意，利用待定系数法求出与的一次函数关系式，然后将代入即可求出销售量，最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润． 【详解】解：设与的一次函数关系式为， 由图可得， 解得， 所以与的一次函数关系式为， 把代入可得， 所以销售利润为（元）． 故选B． 【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 【技巧总结】 先梳理题干中的数量关系，设出变量并列出一次函数解析式，同时结合实际限制确定自变量取值范围；再根据问题要求，代入计算、对比函数值或结合图像分析，最终回归实际场景作答。 【变式训练1】某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）根据利润公式得出表达式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：每月销售甲特产吨，乙特产吨， ∴总利润 ． （2）解：若甲特产的销售量不超过20吨，即， ∵总利润为， 其中，故随的增大而增大， 若总利润最大，则应最大， 最大为， ∴总利润最大为万元 【变式训练2】为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 题型12 一次函数与几何综合 例1．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先确定，，，根据，求解即可． 【详解】解：直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点， 当时，，当时，， 故； 根据题意，得， 解得， 故． 当时，， 解得， 故， ， ． 【技巧总结】 先求出一次函数解析式，确定直线与坐标轴、几何图形的交点坐标；结合几何性质（边长、面积、角度等），利用坐标运算求解线段、面积、动点等问题。 【变式训练1】如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点分别为线段的中点，点为上一动点，值最小是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称中最短路径问题，解题关键是找出点的坐标并求出点的坐标． 作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，利用勾股定理即可求出的最小值． 【详解】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，如图． 令中，则， ∴点B的坐标为； 令中， 则，解得：， ∴点A的坐标为． ∵点C、D分别为线段、的中点， ∴点，点． ∵点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∴的最小值为， 故选：C． 【变式训练2】如图，已知一次函数与坐标轴交于M，N两点．P是x正半轴上一点，横坐标为t，若的面积为S，则S与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出点M，点N的坐标，进而得到的长，再根据题意可得，据此根据可得答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵P是x正半轴上一点，横坐标为t， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 1．一次函数的图像经过点A，则点A的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到对应值后，和点的纵坐标对比即可判断． 【详解】∵若点在一次函数的图象上，则点的坐标满足该解析式， 对选项A，当时，，∴A错误； 对选项B，当时，，与点的纵坐标相等，符合要求，∴B正确； 对选项C，当时，，∴C错误； 对选项D，当时，，∴D错误． 2．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位后的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数图象“上加下减，左加右减”的平移规则即可直接求解，上下平移改变解析式的常数项，向上平移需在原解析式整体加平移的单位长度． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移后的函数解析式为：． 3．某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个元，日购买人数为人，则与可能满足的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知与为一次函数关系，且时，只需将代入各选项验证，即可得到正确的函数关系式． 【详解】解：选项A：，不符合条件； 选项B：，不符合条件； 选项C：，不符合条件； 选项D：，符合条件． 4．下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应判断即可． 【详解】解：A．对于的每一个取值，可能有2个值与之对应，故不是的函数； B．对于的每一个取值，可能有多个值与之对应，故不是的函数； C．对于的每一个取值，可能有2个值与之对应，故不是的函数； D．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数． 5．若点，在一次函数（n是常数）的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象从左到右呈下降趋势，即y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数（n是常数）的图象上，且， ∴． 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 7．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程和不等式，求解并排除使一次项系数为的情况，得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴常数项，且一次项系数． 由，得 ∴， 由，得 ∴． 8．下列关于直线的说法正确的是（    ） A．与y轴交于点 B．一定经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象过一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键，根据性质逐项判断即可． 【详解】解：对于直线， A选项，∵求与轴交点时，令，得， ∴与轴交于点，A错误； B选项，∵当时， ， ∴直线一定经过点，B正确； C选项，∵， ∴随的增大而增大，C错误； D选项，∵，， ∴直线图象经过一、三、四象限，D错误． 9．如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案． 【详解】由条件可知当时，， 方程的解是． 10．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集，即求的解集， 将看作整体，可得， 解得． 11．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图像可知，交点右侧，即时，直线在直线上方，符合不等式的条件，所以不等式的解集就是． 12．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】先观察直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，得，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解即可判断选项，然后根据直线与轴交点的坐标可判断；最后根据当时，直线在直线的下方，可判断． 【详解】解：、因为直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方， 所以，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程组的解为，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与轴交点的坐标是， 所以方程的解为，该选项正确，不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项错误，符合题意． 13．若一次函数的图像在轴上的截距是5，则___________． 【答案】 1 【分析】根据一次函数（）的图像在轴上的截距为常数项，结合已知截距为，列出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像在轴上的截距是 ∴， 解得． 14．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则k的值为_______． 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式求出图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积为3列出含绝对值的方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：在中，当时，；当时，， 的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 由题意可得：， 整理得， 解得， 经检验，均是原分式方程的解， ∴k的值为． 15．画出直线，并借助图象找出： (1)直线上横坐标是2的点； (2)直线上纵坐标是的点； (3)直线上到y轴的距离等于2的点． 【答案】(1)图象如图：；直线上横坐标是2的点为； (2)直线上纵坐标是的点为； (3)直线上到y轴的距离等于2的点为或． 【详解】（1）解：列表： 0 2 3 描点、连线，函数图象，略； 由图象得，直线上横坐标是2的点为； （2）解：由图象得，直线上纵坐标是的点为； （3）解：由图象得，直线上到y轴的距离等于2的点为或． 16．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入解析式即可求解； （2）根据题意，此函数为一次函数，则，又随着的增大而减小，则，综上可得，解不等式即可求解； （3）根据题意得出，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得； （2）解：∵ 这个函数是一次函数， ∴ ， 又∵随的增大而减小， ∴一次项系数， 解得：； （3）解：函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限， ∴ ， 解得：． 17．已知关于的一次函数． (1)如果函数图象经过原点，求的值； (2)如果直线与轴交于负半轴，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，且 【分析】（1）根据一次函数经过原点可得，且，求出答案即可； （2）根据直线经过y轴交于负半轴，可得，且，求出解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过原点， ∴，且， 解得； （2）解：∵该图象与y轴交于负半轴， ∴，且， 解得，且． 18．已知关于的函数． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若，求该函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得出，解方程求出的值即可； （2）把代入得出，令，求出的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵是的正比例函数， ∴， 解得：． （2）解：∵，， ∴该函数为， 当时，， 解得：， ∴该函数图象与轴的交点坐标为． 19．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)6 (3)点C的坐标为或． 【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：设点C的坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴或． ∴点C的坐标为或． 20．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)(4，0)或(-4，0) (3)或 【分析】本题考查了一次函数交点问题，三角形面积问题，坐标与图形； （1）将代入，，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，设点的坐标为，根据，列出方程，解方程，即可求解． （3）设点的坐标为，则点的坐标为．根据列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，解得． 将代入，得，解得． （2）解：由题意，得点的坐标为，则． 设点的坐标为，则． 解得． 所以，点的坐标为或 （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 则． 解得或． 所以，点的坐标为或． 21．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $