专题6 基本不等式（均值）及最值（讲义）-2027年重庆市（高职对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 基本不等式（均值）及最值 【复习目标】 1. 了解基本不等式的结构； 2. 会应用基本不等式解决简单问题； 3. 会运用基本不等式求解最值。 考点1 基本不等式 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2、如果，,则或（当且仅当时取等号“=”）. （1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 注：（1）在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件． 其中，“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的 必须为定值，“三相等”是说各项的值相等时，等号成立． （2）多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次 的一致性和不等号方向的一致性． 3、几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 4、最值定理 （1）如果积x y是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记： ) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，x y有最大值是.(简记： ) 5、常用方法 （1）拼凑法：拼凑法即将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式 （2）常数替代法：①根据已知条件或其变形确定定值；②把确定的定值变形为 ; ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； ④利用基本不等式求解最值. （3）消元法：通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数” 【即时训练】 1．不等式成立的前提条件为（     ） A． B． C． D． 2．已知，其中，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知，则取得最大值时，x的值为（    ） A． B． C． D． 4．不等式中，等号成立的条件是（   ） A． B． C． D． 5．当时，下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 6．函数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若，则的最小值为（ ） A．1 B．3 C．6 D．10 9．若，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．7 10．已知，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 11．已知，则的最小值为（ ） A．0 B．2 C．6 D．8 12．若，则的最小值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．6 13．一个矩形的面积为64，长和宽不定，则最短周长是多少？（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 14．将一根铁丝围成一个面积为9的矩形，当所用的铁丝最短时，该矩形的周长为（    ） A．12 B．6 C．3 D．2 15．已知实数a，b满足，则的最大值是（   ） A． B． C．3 D．6 16．已知，且，则的最小值为（    ）. A．2 B．4 C． D． 17．已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 18．已知，且，则的最大值为 （    ）. A．1 B．2 C．4 D．16 19．已知且，则的最小值为（   ）. A．2 B．4 C．8 D．16 20．若，是正数，且，则有（   ） A．最大值16 B．最小值 C．最小值16 D．最大值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 基本不等式（均值）及最值 【复习目标】 1. 了解基本不等式的结构； 2. 会应用基本不等式解决简单问题； 3. 会运用基本不等式求解最值。 考点1 基本不等式 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2、如果，,则或（当且仅当时取等号“=”）. （1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 注：（1）在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件． 其中，“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值，“三相等”是说各项的值相等时，等号成立． （2）多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性． 3、几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 4、最值定理 （1）如果积x y是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，x y有最大值是.(简记：和定积最大) 5、常用方法 （1）拼凑法：拼凑法即将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式 （2）常数替代法：①根据已知条件或其变形确定定值；②把确定的定值变形为1; ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； ④利用基本不等式求解最值. （3）消元法：通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数” 【即时训练】 1．不等式成立的前提条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式的条件求解即可. 【详解】不等式成立的前提条件为. 故选：B. 2．已知，其中，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由已知，将看作为，再利用基本不等式可求解. 【详解】因为， ，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 即的最小值为4. 故选：B 3．已知，则取得最大值时，x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由题意得， . 当且仅当时，即时等号成立. 故选：B. 4．不等式中，等号成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式的性质即可得解. 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 5．当时，下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可解得. 【详解】由题，当时， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 故选：B 6．函数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可. 由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 7．已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 8．若，则的最小值为（ ） A．1 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】直接根据基本不等式求解. 由于，根据基本不等式， 当且仅当，即时取得等号，故最小值是. 故选：C 9．若，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 10．已知，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可得到答案. ，当且仅当时等号成立， 故选：C. 11．已知，则的最小值为（ ） A．0 B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式可得答案. 因为， 所以， 当且仅当  即时取等号. 故的最小值为8. 故选：D 12．若，则的最小值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．6 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解即可. ，则，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为6. 故选：D. 13．一个矩形的面积为64，长和宽不定，则最短周长是多少？（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】设长为，宽为，则，那么周长为， 因为，所以， 所以，当且仅当时，周长有最小值，最短周长是32． 故选：B. 14．将一根铁丝围成一个面积为9的矩形，当所用的铁丝最短时，该矩形的周长为（    ） A．12 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据矩形面积公式得出长与宽的关系，再利用基本不等式求周长的最小值即可. 【详解】设矩形的长为，宽为，已知矩形面积为，根据矩形面积公式，可得. 又矩形周长为， 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 那么此时周长， 即当时，所用铁丝最短，此时矩形周长为. 故选：A. 15．已知实数a，b满足，则的最大值是（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】利用基本不等式来求解. 【详解】对于任意实数和，有， 已知，可得：，即， 当且仅当或，等号成立， 所以的最大值是3， 故选：C. 16．已知，且，则的最小值为（    ）. A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】∵知，且， ∴， 当且仅当时等号成立， ∴则的最小值为. 故选：D. 17．已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】使用均值不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以和都是正实数， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，取得最小值. 故选：C. 18．已知，且，则的最大值为 （    ）. A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】A 【分析】根据均值定理求解即可； 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时取得等号， 所以的最大值为1. 故选：A 19．已知且，则的最小值为（   ）. A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为且， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时取得最小值4. 故选：B． 20．若，是正数，且，则有（   ） A．最大值16 B．最小值 C．最小值16 D．最大值 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式即可得解. 【详解】，是正数，且， 所以，即， 当且仅当结合，得出，时，取等号， 所以有最小值为， 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $