专题8 函数的单调性与奇偶性（讲义）-2027年重庆市（高职对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的单调性与奇偶性 【复习目标】 1. 了解单调函数、奇偶函数的概念及其图象特征； 2. 掌握简单的函数单调性、奇偶性的判定方法。 考点1 函数的单调性 1、单调性 定义：在某个区间内，函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质叫作函数的单调性。 一般地，设函数的定义域为，区间。 （1）如果对任意的，当时，都有成立，那么就称函数在区间上单调递增，如图1所示。特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。 （2）如果对任意的，当时，都有成立，那么就称函数在区间上单调递减，如图2所示。特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。 2、单调区间 如果函数在区间上是单调递增或单调递减，那么称函数在区间上具有（严格）单调性，区间叫作函数的单调区间。 3、判断函数单调性的一般方法 证明（判断）函数在指定区间上的单调性的一般步骤是： （1）设元：设任意的，且，目的是使与在区间内，并规定与的大小关系； （2）作差：求，目的是将与0比较大小； （3）变形：将变形，一般只能提取出因式，变形到可以与0比较大小为止； （4）判号：确定大于0、等于0或小于0； （5）定论：根据（1）和（4）作出结论：两个变量的不等号“同号”则“增”；两个变量的不等号“异号”则“减”。 以上五个步骤可以简记为：设元、作差、变形、判号、定论。 【即时训练】 1．函数在定义域上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不单调 【答案】A 【分析】根据单调性的定义，即可求解． 【详解】因为的定义域为， 任取，且； ； 因为，即，所以； 故函数在定义域上单调递增． 故选：A． 2．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数，指数函数，二次函数的性质以及单调性定义分析即可. 【详解】A:因为对数函数为，又因为，所以函数在定义域内为减函数，故A选项错误， B:因为指数函数为，又因为，所以函数在区间内为减函数，故B选项错误， C:，所以， 因为，所以，，所以，即，所以函数在区间内为减函数，故C选项错误， D:因为为二次函数，可知图像为开口向上，对称轴为y轴，所以函数在区间内为增函数. 故选:D. 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解出函数的定义域，根据反比例函数的性质找到单调减区间. 【详解】由函数，定义域为，得其单调减区间为. 故选：D． 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数的性质直接得解． 【详解】由一次函数的性质可知，函数在上为增函数， 故选：A. 5．设函数为减函数，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意知，是一次函数， 当时，一次函数是减函数. 故选：C. 6．已知函数在R上单调递增，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义，即可求解． 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，用区间表示为：. 则m的取值范围是. 故选：A． 7．下面4个图象分别表示小李第一周每天从家步行到学校的速度y（米/分）与时间x（分钟）的函数关系，在区间内为增函数的图象是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增函数的图象性质易得答案. 【详解】因为区间内，增函数的图象从左到右看速度都会比之前时间变快， 只有B选项符合条件. 故选：B. 8．关于轴对称的函数在上是增函数．且最小值为，则它在上（ ） A．是减函数，最小值是 B．是增函数，最大值是 C．是减函数，最大值是 D．是增函数，最小值是 【答案】A 【分析】根据图像的对称性确定为偶函数，由偶函数在对称区间的单调性和最值的特点即可得出结论. 【详解】因为函数关于轴对称，在上是增函数且最小值为， 所以函数为偶函数，在上是减函数，最小值是. 故选：A. 9．若函数在上为减函数，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据减函数的定义求解. 【详解】∵函数在上为减函数 由减函数的定义得, 解得：． 故选:A. 10．函数在区间内是单调递减，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】函数在区间内是单调递减， 因为不在单调区间内，所以无法比较大小，故选项错误； ，所以，故选项正确； ，所以，故选项错误； 故选：. 11．下列函数在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数直接判断单调性易得答案. 【详解】A：是反比例函数，因为， 函数在上分别是增函数，故错误； B：是一次函数，因为， 所以函数在其定义域上是增函数，故正确； C：是二次函数，对称轴是， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； D：是一次函数，因为， 所以函数在其定义域上是减函数，故错误. 故选：B. 考点2 函数的奇偶性 1、奇偶性 （1）偶函数 定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意，都有，且，那么函数就叫作偶函数，如图3所示。偶函数的图像关于轴对称。 （2）奇函数 定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意，都有，且，那么函数就叫作奇函数，如图4所示。奇函数的图像关于原点中心对称，即当奇函数在0处有定义时，。 （3）用定义判断函数奇偶性的步骤 ① 先求定义域，看是否关于原点对称； ② 再判断或是否恒成立； ③ 作出相应结论。 注：奇函数奇函数奇函数； 奇函数偶函数非奇非偶函数； 奇函数奇函数偶函数； 奇函数偶函数奇函数； 偶函数偶函数偶函数. 【即时训练】 12．已知为奇函数，若点在的图像上，则下列各点一定在的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性的定义即可得出结果. 【详解】已知为奇函数，且点在的图像上， 所以有，则， 所以点一定在的图像上. 故选：C. 13．函数是奇函数，的图象经过点，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的概念求解. 【详解】函数是奇函数，故，且函数关于原点对称. 而的图象经过点，故. 故，. 综上，A选项正确. 故选：A. 14．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合幂函数、指数函数、正比例函数的奇偶性和单调性，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是，不关于原点对称，故是非奇非偶函数， 且函数在定义域上单调增函数，故选项A不符合题意； 因为指数函数在定义域实数集R上是单调增函数，且是非奇非偶函数， 故选项B不符合题意； 因为幂函数在定义域实数集R上是单调增函数，且是奇函数， 故选项C符合题意； 因为正比例函数在定义域实数集R上是单调减函数，且是奇函数， 故选项D不符合题意； 故选：C. 15．若函数是奇函数，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义，即可求解． 【详解】因为函数是奇函数，所以； 又因为，所以； 故选：B． 16．下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义，即可求解． 【详解】对于A选项：定义域为，关于原点对称，，该函数是奇函数； 对于B选项：定义域为，关于原点对称，，该函数是偶函数； 对C选项：定义域为，关于原点对称，，该函数是奇函数； 对于D选项：定义域为，关于原点对称，，该函数是奇函数；． 故选：B． 17．已知定义域为的偶函数，在区间上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调性可得，再根据偶函数的概念可得结论. 【详解】因为在区间上是增函数，且， 所以， 又因为是定义域为的偶函数， 所以，， 所以. 故选：C 18．以下函数图象是奇函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】依据奇函数的性质判断. 【详解】奇函数的图象关于原点对称，对比各选项可知，ACD不符合，B符合， 故选：B. 19．已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（    ） A． B．0.5 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】由函数为偶函数，可得，再由函数周期性求解即可. 【详解】因为为区间上的偶函数，所以， 又因为以4为周期，所以， 所以. 故选：B. 20．若是定义在上的奇函数，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义求值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 则， 由，得， 故选：B. 21．设函数（为常数）为定义在上的奇函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 故选：B. 22．若函数是偶函数，若在为单调递减，则下列哪个选项是正确的（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性与单调性，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，在为单调递减， 所以. 故选：C. 23．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式. 【详解】根据图像，当时，的解为， 因为函数为奇函数， 所以当时，若，即，则 所以，解得， 综合得不等式的解集是. 故选：C. 1.（2021年高等职业教育分类考试数学第9题）设f(x)为偶函数，且在（0,+∞）上是单调增加的，下列判断一定正确的是( ) A.当时，有 B.当时，有 C.当时，有 D.当时，有 【答案】D 【解析】本题考查函数的性质. 因为f(x)为偶函数，且在（0,+∞）上是单调增加的，那么，所以f(x)为偶函数，且在（-∞，0）上是单调递减，所以当时，有。 故答案为：D. 2.（2022年高等职业教育分类考试数学第4题）下列函数在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查函数的性质. 因为函数在区间上为增函数，当时，有 只有D选项满足。。 故答案为：D. 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第10题）已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（ ） A. B.0.5 C.3.5 D.4 【答案】B 【解析】本题考查函数的性质. 因为为区间上的偶函数，所以，因为以4为周期，所以，当时，，所以 故答案为：B. 4. （2023年高等职业教育分类考试数学第10题）函数f(x)是在R上以4为周期的奇函数,在区间[0,1]上为增函数, f(2021), f (2022)，f(2023)的大小关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查函数的性质. 因为函数f(x)是在R上以4为周期的奇函数，所以，因为以4为周期，所以，，在区间[0,1]上为增函数，所以 故答案为：A. 5.（2022年高等职业教育分类考试数学第10题）设函数在区间上的最大值与最小值分别为与,且为奇函数,则 A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】本题考查函数的奇偶性。. 因为函数是在上的奇函数，所以令，就会有，即：，又因为在区间上的最大值与最小值分别为与，所以在区间上的最大值与最小值分别为与，所以 故答案为：A 6.（2024年高等职业教育分类考试数学第12题）(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分) 设函数 (I)判断的奇偶性; (II)证明为区间内的增函数. 【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性. （1）解：因为的定义域为关于原点对称，令，，所以在定义域为上为奇函数。 （2）解：令，所以 因为，所以，，又因为，所以， ，所以为区间内的增函数，即证。 7．（2025年高等职业教育分类考试数学第11题）若函数的图像过点． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递减 【分析】（1）将点代入解析式中列方程求解即可. （2）首先由对数的运算法则化简，再根据对数函数的单调性判断即可. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 则有，即，所以. （2）由（1）可得，， 则， 其中底数，所以函数在上单调递减. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的单调性与奇偶性 【复习目标】 1. 了解单调函数、奇偶函数的概念及其图象特征； 2. 掌握简单的函数单调性、奇偶性的判定方法。 考点1 函数的单调性 1、单调性 定义：在某个区间内，函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质叫作函数的 。 一般地，设函数的定义域为，区间。 （1）如果对任意的，当时，都有成立，那么就称函数在区间上单调递增，如图1所示。特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是 。 （2）如果对任意的，当时，都有成立，那么就称函数在区间上单调递减，如图2所示。特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是 。 2、单调区间 如果函数在区间上是单调递增或单调递减，那么称函数在区间上具有（严格）单调性，区间叫作函数的 。 3、判断函数单调性的一般方法 证明（判断）函数在指定区间上的单调性的一般步骤是： （1）设元：设任意的，且，目的是使与在区间内，并规定与的大小关系； （2）作差：求，目的是将与0比较大小； （3）变形：将变形，一般只能提取出因式，变形到可以与0比较大小为止； （4）判号：确定大于0、等于0或小于0； （5）定论：根据（1）和（4）作出结论：两个变量的不等号“同号”则“增”；两个变量的不等号“异号”则“减”。 以上五个步骤可以简记为：设元、作差、变形、判号、定论。 【即时训练】 1．函数在定义域上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不单调 2．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．设函数为减函数，则必有（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在R上单调递增，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．下面4个图象分别表示小李第一周每天从家步行到学校的速度y（米/分）与时间x（分钟）的函数关系，在区间内为增函数的图象是（    ）. A． B． C． D． 8．关于轴对称的函数在上是增函数．且最小值为，则它在上（ ） A．是减函数，最小值是 B．是增函数，最大值是 C．是减函数，最大值是 D．是增函数，最小值是 9．若函数在上为减函数，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．函数在区间内是单调递减，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．下列函数在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 考点2 函数的奇偶性 1、奇偶性 （1）偶函数 定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意，都有，且，那么函数就叫作 ，如图3所示。偶函数的图像关于轴对称。 （2）奇函数 定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意，都有，且，那么函数就叫作 ，如图4所示。奇函数的图像关于原点中心对称，即当奇函数在0处有定义时，。 （3）用定义判断函数奇偶性的步骤 ① 先求定义域，看是否关于原点对称； ② 再判断或是否恒成立； ③ 作出相应结论。 注：奇函数奇函数奇函数； 奇函数偶函数非奇非偶函数； 奇函数奇函数偶函数； 奇函数偶函数奇函数； 偶函数偶函数偶函数. 【即时训练】 12．已知为奇函数，若点在的图像上，则下列各点一定在的图像上的是（    ） A． B． C． D． 13．函数是奇函数，的图象经过点，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 14．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 15．若函数是奇函数，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 16．下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 17．已知定义域为的偶函数，在区间上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 18．以下函数图象是奇函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   19．已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（    ） A． B．0.5 C．3.5 D．4 20．若是定义在上的奇函数，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 21．设函数（为常数）为定义在上的奇函数，则（    ） A．2 B． C． D． 22．若函数是偶函数，若在为单调递减，则下列哪个选项是正确的（　　）. A． B． C． D． 23．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 1.（2021年高等职业教育分类考试数学第9题）设f(x)为偶函数，且在（0,+∞）上是单调增加的，下列判断一定正确的是( ) A.当时，有 B.当时，有 C.当时，有 D.当时，有 2.（2022年高等职业教育分类考试数学第4题）下列函数在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第10题）已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（ ） A. B.0.5 C.3.5 D.4 4. （2023年高等职业教育分类考试数学第10题）函数f(x)是在R上以4为周期的奇函数,在区间[0,1]上为增函数, f(2021), f (2022)，f(2023)的大小关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 5.（2022年高等职业教育分类考试数学第10题）设函数在区间上的最大值与最小值分别为与,且为奇函数,则（ ） A．-2 B．0 C．1 D．2 6.（2024年高等职业教育分类考试数学第12题）(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分) 设函数 (I)判断的奇偶性; (II)证明为区间内的增函数. 7．（2025年高等职业教育分类考试数学第11题）若函数的图像过点． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $