专题9 二次函数的图像和性质（练习）-2027年重庆市（高职对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过体系化专题构建二次函数从概念辨析到实际应用的完整进阶路径，分层训练实现基础巩固与能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数图像和性质|21题+1真题|选择为主，含概念辨析（对称轴、开口方向）、性质应用（单调性、最值）、实际应用题（利润、面积、抛物线模型）|从二次函数定义出发，通过对称轴、开口方向等概念生成，推导单调性、最值性质，拓展至实际问题中的模型构建与求解|

编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》练习 专题9 二次函数的图像和性质 【考点1 二次函数】 1．二次函数的对称轴方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据二次函数的对称轴表达式求出答案. 【详解】二次函数的对称轴为. 故选：B. 2．若二次函数满足，则其图像可能是（   ） A．开口向上，与轴交于正半轴，对称轴在左侧 B．开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在右侧 C．开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在左侧 D．开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在左侧 【答案】B 【分析】根据题意结合二次函数的图像即可得解. 【详解】二次函数， 因为，所以图像为开口向上的抛物线， 又因为，所以对称轴，在轴右侧， 因为，所以图像交于轴负半轴， 故选：. 3．二次函数  在区间 单调递增， 则 的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过二次函数的开口方向和对称轴判断函数的单调区间即可求出 的取值范围 【详解】因为函数 的对称轴为, 所以函数的增区间为 又因为函数图像开口向上,在区间 单调递增, 所以,解得. 故选：. 4．函数的增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】函数，图像为开口向下的抛物线， 对称轴方程为，则增区间为， 故选：B. 5．函数的单调递增区间是（    ） A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1] 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解 【详解】由，得，解得， 令，则， 因为在上递增，在上递减，而在上递增， 所以在上递增，在上递减， 所以的单调递增区间是， 故选：D 6．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求定义域，再利用复合函数的同增异减可得函数单调递减区间. 【详解】 ，解得 即函数的定义域为， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 要求函数的单调递减区间， 即求函数在上的单调减区间 由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为 故选：A. 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数的单调区间，结合条件列不等式即可求出的取值范围. 函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D 8．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数的对称轴为， 由于在上是减函数，所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 9．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解二次函数的对称轴与最小值结合题意即可求解. 【详解】函数图像的对称轴方程为， 当时，可得， ∴区间右端点a的最小值为2，即， 即实数a的取值范围是． 故选：C. 10．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 【答案】B 【分析】利用配方法，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以当时，y取最大值. 故选：B. 【考点1 二次函数】 11．某工厂生产一种产品，成本（单位：元）满足其中为日产量（单位：件）．如果市场销售价（单位：元/件）满足，那么要使每日获得最大利润，则日产量为（    ） A．56 B．58 C．57 D．5 【答案】C 【分析】先表示出总收入表达式，再表示出利润表达式，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】总收入， 总成本， ∴利润 ． 当（件）时，可获得最大利润， 而，故比较和时的利润，（元），元， 因此，即要使每日获得最大利润，则日产量为57件. 故选：C． 12．对于二次函数的描述正确的是（   ）． A．对称轴是2 B．顶点坐标是 C．最大值是 D．对称轴是 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像和性质，结合题意，即可判断求解. 【详解】因为二次函数， 所以函数的对称轴是，故选项A和D错误； 函数的顶点坐标为，故选项B正确； 抛物线开口向上，当时，函数取得最小值，无最大值，故选项C错误； 故选：B. 13．函数的图像经过点，且关于直线对称，则（    ） A．，最大值为1 B．，最小值为 C．，最小值为 D．，最大值为1 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数的图像经过点，所以； 又函数图像关于直线对称，所以，所以； 所以， 所以当时，函数有最小值. 故选：C. 14．求二次函数的最大值，同时求出的减区间为（    ） A．， B．， C．， D．. 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴公式求得对称轴，再代入求解得到最值；根据二次项系数判断函数图像开口方向，进而得到单调减区间. 【详解】二次函数开口向下，有最大值， 对称轴为，最大值为， 在对称轴右侧函数单调递减，所以的减区间为. 故选：C. 15．已知二次函数＝，图像开口向上，对称轴为直线x＝1，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数开口向上，对称轴为，因此离对称轴越远的点，函数值越大，只需比较各点到对称轴的距离即可. 【详解】二次函数＝，图像开口向上，对称轴为直线x＝1， 到对称轴的距离：， 到对称轴的距离：， 到对称轴的距离：， 因为，且函数开口向上，所以. 故选：B 16．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间. 【详解】由题意，令，即或， 根据二次函数性质知：在上递减，在上递增 又在定义域上递增，故的单调递增区间为. 故选：C 17．二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为二次函数在区间上单调递增 二次函数的图像开口向上 所以 解得. 故选：A. 18．已知函数在上单调递减，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，确定开口方向和对称轴，即可求解. 【详解】因为函数为二次函数，对称轴为，图象开口向上， 所以要使函数在上单调递减，则有，即， 故选：C. 19．二次函数的最小值为3，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】二次函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 当时，函数值最小即，解得， 故选：. 20．某学校平面设计专业班开展剪纸展示活动，现有许多形状为直角三角形彩纸片的边角料，直角边的长分别为40和20，如图所示，为了开源节流，现在从这些边角料上截取阴影部分所示的矩形备用.    (1)求矩形的面积与其边长的函数关系式； (2)当矩形的边长，各为多少时，所截取的矩形面积最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2)当矩形的边长x为10，y为20时，所截取的矩形面积的最大值为200 【分析】（1）在和中，求出矩形边长的关系，进而得到面积的函数关系式； （2）利用二次函数的性质求出面积的最大值. 【详解】（1）如图所示，，则，    在和中，， ， 矩形面积， 矩形的面积S与其边长的函数关系式为：． （2）由（1）得 ， ， 当时所截取的矩形面积最大，. 当矩形的边长x为10，y为20时，所截取的矩形面积的最大值为200. 21．美丽乡村建设不仅是美丽中国建设的核心内容，也是实现乡村振兴战略的基础．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委决定把一块长为、宽为的矩形空地改建成健身广场．设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为四个全等的等腰直角三角形），空白区域为健身活动区，出口宽度不小于36m且不大于．设绿化区的直角边长为（单位：），健身活动区面积为（单位：）．求：    (1)的取值范围； (2)关于的函数解析式； (3)健身活动区面积的最大值，以及取最大值时绿化区的直角边长． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为． 【分析】（1）根据出口宽度的范围建立不等式，即可求解的范围. （2）根据健身活动区的面积等于矩形面积减去绿化区面积即可. （3）根据第二问的函数解析式求出最大值及相应的边长. 【详解】（1）依题意，绿化区的直角边长为，则出口宽度的表达式为， 根据出口宽度不小于且不大于， ，得到， 故的取值范围为（单位：） （2）矩形面积为， 等腰直角三角形面积为， 故健身活动区面积关于的函数解析式为 ,（）． （3）由（2）可知， 又，开口向下，函数在上单调递减， 故当即绿化区直角边为时， 健身活动区面积取最大值，最大值为． 22．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是，身高的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手时，绳子刚好经过她的头顶．求：    (1)绳子所对应的抛物线的解析式； (2)身高的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ (3)身高的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手，为确保绳子通过他的头顶，请写出的取值范围. 【答案】(1) (2)不能 (3) 【分析】（1）抛物线的解析式为：，利用待定系数法求解即可； （2）求出绳子甩的最大高度，与小兵的身高比较即可； （3）由题意列出不等式求解. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以设抛物线的解析式为：， 又抛物线过点， ，解得：，， . （2）， 绳子甩的最大高度为， ， 小兵不能站在绳子正下方让绳子通过他的头顶. （3）由题意，当时，需满足， 即，得， . 1．（2025年高等职业教育分类考试数学第10题）设曲线与x轴在内有且仅有一个交点，则常数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与x轴在的交点个数分类讨论即可； 【详解】当时，此时曲线为与x轴相交于点，满足题意； 当时，曲线为二次函数，令， 因为曲线与x轴在内有且仅有一个交点， 又因为， 所以当，即时，， 此时与轴交于点，满足题意； 当，即时，，即，解得； 综上可知，常数k的取值范围为. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》练习 专题9 二次函数的图像和性质 【考点1 二次函数】 1．二次函数的对称轴方程是（   ）． A． B． C． D． 2．若二次函数满足，则其图像可能是（   ） A．开口向上，与轴交于正半轴，对称轴在左侧 B．开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在右侧 C．开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在左侧 D．开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在左侧 3．二次函数  在区间 单调递增， 则 的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．函数的增区间是（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是（    ） A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1] 6．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 10．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 【考点1 二次函数】 11．某工厂生产一种产品，成本（单位：元）满足其中为日产量（单位：件）．如果市场销售价（单位：元/件）满足，那么要使每日获得最大利润，则日产量为（    ） A．56 B．58 C．57 D．5 12．对于二次函数的描述正确的是（   ）． A．对称轴是2 B．顶点坐标是 C．最大值是 D．对称轴是 13．函数的图像经过点，且关于直线对称，则（    ） A．，最大值为1 B．，最小值为 C．，最小值为 D．，最大值为1 14．求二次函数的最大值，同时求出的减区间为（    ） A．， B．， C．， D．. 15．已知二次函数＝，图像开口向上，对称轴为直线x＝1，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 16．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 17．二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．已知函数在上单调递减，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 19．二次函数的最小值为3，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．某学校平面设计专业班开展剪纸展示活动，现有许多形状为直角三角形彩纸片的边角料，直角边的长分别为40和20，如图所示，为了开源节流，现在从这些边角料上截取阴影部分所示的矩形备用.    (1)求矩形的面积与其边长的函数关系式； (2)当矩形的边长，各为多少时，所截取的矩形面积最大？并求出最大值. 21．美丽乡村建设不仅是美丽中国建设的核心内容，也是实现乡村振兴战略的基础．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委决定把一块长为、宽为的矩形空地改建成健身广场．设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为四个全等的等腰直角三角形），空白区域为健身活动区，出口宽度不小于36m且不大于．设绿化区的直角边长为（单位：），健身活动区面积为（单位：）．求：    (1)的取值范围； (2)关于的函数解析式； (3)健身活动区面积的最大值，以及取最大值时绿化区的直角边长． 22．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是，身高的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手时，绳子刚好经过她的头顶．求：    (1)绳子所对应的抛物线的解析式； (2)身高的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ (3)身高的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手，为确保绳子通过他的头顶，请写出的取值范围. 1．（2025年高等职业教育分类考试数学第10题）设曲线与x轴在内有且仅有一个交点，则常数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $