专题9 二次函数的图像和性质（讲义）-2027年重庆市（高职对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 二次函数的图像和性质 【复习目标】 1. 掌握一元二次函数的图象和性质； 2. 能用函数、方程、不等式等知识解决有关问题。 考点1 二次函数 1.二次函数的定义 2.一般地，如果二次函数（a、b、c为常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数.图像是抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为．当b=0时为偶函数． 3．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 定义域 R 值域 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 注：二次函数的解析式形式 （1）一般式：； （2）顶点式：，其中对称轴：，顶点：； （3）两根式：，其中为方程的两个实根。 【即时训练】 1．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】由图可知，函数图像开口向下，所以， 又对称轴在轴右侧，所以，则， 因为当时，， 又函数图像与轴交于正半轴，所以． 故选：B. 2．已知二次函数，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据推导与的关系，再结合判断二次函数开口方向，即可确定的符号. 【详解】已知， 则对称轴为，即， 因为，且， 所以当时，函数单调递减，则该函数开口向上，， 故选：A. 3．已知二次函数，，则这个函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，二次函数，所以对称轴为， 又，所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 4．已知函数，则该函数是（    ） A．奇函数，在上为减函数 B．奇函数，在上为增函数 C．偶函数，在上为减函数 D．偶函数，在上为增函数 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质分析求解即可. 【详解】因为函数为二次函数，定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以该函数是偶函数； 因为，所以函数图像开口朝上，对称轴， 所以该函数在上为减函数. 故选：C. 5．函数的增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根号下大于等于零解一元二次不等式，以及二次函数单调性即可解得. 【详解】由不等式，即，解得或， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增， 可得函数的增区间为. 故选：A. 6．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数单调性得到对称轴范围即可求参数范围. 【详解】函数的图像开口向下， 对称轴为， 因为函数在区间上单调递减，所以，即. 则实数m的取值范围是. 故选：C. 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性求解. 函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故选：D 8．若函数最小值为3，则m的值是（    ）. A．9 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的最值求解参数即可； 【详解】因为函数的图像开口向上，对称轴为， 所以，解得. 故选：D 9．用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件建立矩形面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求出面积的最大值. 【详解】设矩形的长为，宽为， 则，即，所以， 由且，得， 矩形的面积， 当时，， 所以当矩形的长、宽都为6时，面积最大，最大面积是. 故选：C. 10．二次函数的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称轴公式计算即可得. 【详解】二次函数的对称轴是. 故选：D 11．函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数的单调性即可得解. 【详解】二次函数的图像是抛物线,且二次项系数,所以抛物线开口向上. 对称轴为:. 所以函数在区间上是增函数. 故选:. 12．用12m长的铝合金制作成“日”字形的窗户框（不考虑窗户框宽度），则这个窗户的最大采光面积为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】设竖框为，代入面积公式利用二次函数的性质即可得解. 【详解】设竖框为，则横框为， 那么面积就为，化简并配方得， 所以这个窗户框的最大采光面积为. 故选：. 13．二次函数，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线开口向下，顶点为 B．抛物线开口向下，与轴交于 C．抛物线开口向上，顶点为 D．抛物线开口向下，顶点为 【答案】D 【分析】将二次函数配方，化为顶点式可知开口方向和顶点坐标，令，可求与轴交点坐标，据此可判断结果. 【详解】由二次函数可化为，则有 该抛物线开口向下，顶点为. 令，可得，所以函数与轴交于，. 故选：D 14．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简一元二次函数，结合函数图像即可求值域. 【详解】函数， 其图像开口向上，且对称轴为直线， 因为，所以最小值为，最大值为， 故函数的值域为. 故选：B. 15．函数（    ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上是增函数 【答案】A 【分析】利用二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 所以在上是减函数，在上是增函数，故A正确，BCD错误. 故选：A. 16．二次函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴，开口向上， ∴二次函数的单调递增区间是． 故选：B． 17．已知二次函数的图像如图所示，当时，下列说法正确的是 （    ）            A．有最小值、最大值0 B．有最小值、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 【答案】B 【分析】根据图像最高点和最低点得到最值即可. 【详解】由图可知，当时， 函数图像最高点为，最低点为， 所以函数在上有最小值、最大值6. 故选：B. 18．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合题意即可求解 【详解】因为球的运动路线是抛物线的一部分， 由图可知，篮底到底面的距离为，令， 得（舍去），所以篮底到篮球最高点的距离为， 所以． 故选：B. 19．某高职院校一大学生毕业后为响应“大众创业，万众创新”的号召，决定回家乡兴办一个现代化养鸡场．如图，该养鸡场场地是一个矩形，其中一面靠墙（墙足够长），其它三面由100米长的竹篱笆围成，则该养鸡场场地的最大面积是（    ）． A．m2 B．5000m2 C．2500m2 D．1250m2 【答案】D 【分析】设定矩形的宽为自变量，建立面积的函数，求解此二次函数的最大值. 【详解】设米，依题意，米， 所以该养鸡场场地的面积， 根据二次函数的性质，当时，最大，. 故选：D. 20．元宵节期间，人们会燃放起美丽的烟花以庆祝中华民族的传统节日.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在最高点爆裂的时刻是（   ） A．第2秒 B．第2.5秒 C．第3秒 D．第4秒 【答案】D 【分析】根据二次函数求最值，结合题意，利用配方法即可求解． 【详解】由题意，， 所以当时，， 即烟花在最高点爆裂的时刻是第4秒． 故选：D． 21．已知，某商品的进价为40元，当售价为50元时，每天可卖出60件，现商家决定涨价，每涨价1元，每天会少卖出2件商品，要使得每天的利润最大，则商家应当定价为（    ） A．54元 B．58元 C．60元 D．64元 【答案】C 【分析】设商品的定价为x元/件，总利润为，根据总利润=单件利润×销售量列出函数解析式，再根据二次函数的性质可得． 【详解】设商家应当定价为x元，则卖出一件的利润是元， 依题意，得利润， 当时，利润取得最大值． 故选：C． 22．如图所示，现有一批木料用于围一边靠墙的长方形养鸡场.已知这批木料可围24米，则可围成鸡场的最大面积为（    ）平方米. A．36 B．48 C．72 D．84 【答案】C 【分析】根据长方形的面积公式列式，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为，长方形的面积为y， 所以， 则当时，长方形面积最大，面积最大为72平方米. 故选：C. 1．（2025年高等职业教育分类考试数学第10题）设曲线与x轴在内有且仅有一个交点，则常数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与x轴在的交点个数分类讨论即可； 【详解】当时，此时曲线为与x轴相交于点，满足题意； 当时，曲线为二次函数，令， 因为曲线与x轴在内有且仅有一个交点， 又因为， 所以当，即时，， 此时与轴交于点，满足题意； 当，即时，，即，解得； 综上可知，常数k的取值范围为. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 二次函数的图像和性质 【复习目标】 1. 掌握一元二次函数的图象和性质； 2. 能用函数、方程、不等式等知识解决有关问题。 考点1 二次函数 1.二次函数的定义 2.一般地，如果二次函数（a、b、c为常数，a≠0）那么y叫做x的 .图像是抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为．当b=0时为偶函数． 3．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 定义域 R 值域 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 注：二次函数的解析式形式 （1）一般式：； （2）顶点式：，其中对称轴：，顶点：； （3）两根式：，其中为方程的两个实根。 【即时训练】 1．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．已知二次函数，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，，则这个函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则该函数是（    ） A．奇函数，在上为减函数 B．奇函数，在上为增函数 C．偶函数，在上为减函数 D．偶函数，在上为增函数 5．函数的增区间是（ ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若函数最小值为3，则m的值是（    ）. A．9 B． C．5 D． 9．用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的对称轴是（    ） A． B． C． D． 11．函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 12．用12m长的铝合金制作成“日”字形的窗户框（不考虑窗户框宽度），则这个窗户的最大采光面积为（   ） A．6 B． C． D． 13．二次函数，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线开口向下，顶点为 B．抛物线开口向下，与轴交于 C．抛物线开口向上，顶点为 D．抛物线开口向下，顶点为 14．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 15．函数（    ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上是增函数 16．二次函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 17．已知二次函数的图像如图所示，当时，下列说法正确的是 （    ）            A．有最小值、最大值0 B．有最小值、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 18．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 19．某高职院校一大学生毕业后为响应“大众创业，万众创新”的号召，决定回家乡兴办一个现代化养鸡场．如图，该养鸡场场地是一个矩形，其中一面靠墙（墙足够长），其它三面由100米长的竹篱笆围成，则该养鸡场场地的最大面积是（    ）． A．m2 B．5000m2 C．2500m2 D．1250m2 20．元宵节期间，人们会燃放起美丽的烟花以庆祝中华民族的传统节日.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在最高点爆裂的时刻是（   ） A．第2秒 B．第2.5秒 C．第3秒 D．第4秒 21．已知，某商品的进价为40元，当售价为50元时，每天可卖出60件，现商家决定涨价，每涨价1元，每天会少卖出2件商品，要使得每天的利润最大，则商家应当定价为（    ） A．54元 B．58元 C．60元 D．64元 22．如图所示，现有一批木料用于围一边靠墙的长方形养鸡场.已知这批木料可围24米，则可围成鸡场的最大面积为（    ）平方米. A．36 B．48 C．72 D．84 1．（2025年高等职业教育分类考试数学第10题）设曲线与x轴在内有且仅有一个交点，则常数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $