专题10 幂函数定义与图像（讲义）-2027年重庆市（高职对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 幂函数定义与图像 【复习目标】 1. 了解幂函数的概念、图像和性质； 2. 能用函数、方程、不等式等知识解决有关问题。 考点1 幂函数 1、定义：形如（为常数，且为自变量）的函数称为 ，其中的系数必须为 2、常见幂函数：、、、、 3、定义域： ：若为正整数，定义域为；若为分数（如），定义域为 ：定义域为方法技巧 定义判断：先将函数整理为标准形式，检查系数是否为，再根据指数判断定义域 特殊点记忆：所有幂函数均过点；时，过；时，不过 4、单调性： ：在上单调递增 ：在上单调递减 5、奇偶性（定义域关于原点对称时）： 若为奇数（或奇分数）：奇函数，图像关于原点对称 若为偶数（或偶分数）：偶函数，图像关于轴对称 若：非奇非偶，定义域为 比较大小 方法技巧 单调性判断：优先看指数正负，再结合定义域区间分析 奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再根据指数的分子分母奇偶性判断 图像辅助：利用“在第一象限的图像特征”快速判断性质，再推广到对称区间 1、同底不同指数：利用幂函数的单调性比较 若底数，指数大的函数值大 若，指数大的函数值小 2、同指数不同底：利用幂函数在上的单调性，底数大的函数值大（）或小（） 3、不同底不同指数：引入中间量（如或）比较，或利用幂函数的单调性结合图像分析 方法技巧 统一指数法：将底数化为同指数幂，再利用单调性比较 中间量法：先判断各数与、的大小关系，再排序 图像法：在同一坐标系中画出幂函数图像，直观比较函数值大小 【即时训练】 1．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数经过点，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在上是增函数 3．下列函数中，在定义域上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 4．下列函数既是偶函数又在区间上是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 5．设，则（   ） A． B． C． D． 6．函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 7．幂函数在时为减函数，则（    ） A． B．2 C．0或1 D．或2 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．已知，若，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．函数 在区间上 的最大值是（    ） A． B． C． D． 11．在区间上是（    ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 12．已知幂函数 为偶函数，则 （    ） A．1 B． C．3 D． 13．函数在上是（ ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 14．已知点在幂函数的图象上，则函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 15．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（ ） A． B． C． D． 16．函数为幂函数，则该函数为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 17．已知幂函数在上是减函数，则的解集为（ ） A． B． C． D． 18．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 19．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 20．下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 1.（2024年高等职业教育分类考试数学第12题）(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分) 设函数 (I)判断的奇偶性; (II)证明为区间内的增函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 幂函数定义与图像 【复习目标】 1. 了解幂函数的概念、图像和性质； 2. 能用函数、方程、不等式等知识解决有关问题。 考点1 幂函数 1、定义：形如（为常数，且为自变量）的函数称为幂函数，其中的系数必须为 2、常见幂函数：、、、、 3、定义域： ：若为正整数，定义域为；若为分数（如），定义域为 ：定义域为方法技巧 定义判断：先将函数整理为标准形式，检查系数是否为，再根据指数判断定义域 特殊点记忆：所有幂函数均过点；时，过；时，不过 4、单调性： ：在上单调递增 ：在上单调递减 5、奇偶性（定义域关于原点对称时）： 若为奇数（或奇分数）：奇函数，图像关于原点对称 若为偶数（或偶分数）：偶函数，图像关于轴对称 若：非奇非偶，定义域为 比较大小 方法技巧 单调性判断：优先看指数正负，再结合定义域区间分析 奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再根据指数的分子分母奇偶性判断 图像辅助：利用“在第一象限的图像特征”快速判断性质，再推广到对称区间 1、同底不同指数：利用幂函数的单调性比较 若底数，指数大的函数值大 若，指数大的函数值小 2、同指数不同底：利用幂函数在上的单调性，底数大的函数值大（）或小（） 3、不同底不同指数：引入中间量（如或）比较，或利用幂函数的单调性结合图像分析 方法技巧 统一指数法：将底数化为同指数幂，再利用单调性比较 中间量法：先判断各数与、的大小关系，再排序 图像法：在同一坐标系中画出幂函数图像，直观比较函数值大小 【即时训练】 1．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合幂函数、指数函数、正比例函数的奇偶性和单调性，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是，不关于原点对称，故是非奇非偶函数， 且函数在定义域上单调增函数，故选项A不符合题意； 因为指数函数在定义域实数集R上是单调增函数，且是非奇非偶函数， 故选项B不符合题意； 因为幂函数在定义域实数集R上是单调增函数，且是奇函数， 故选项C符合题意； 因为正比例函数在定义域实数集R上是单调减函数，且是奇函数， 故选项D不符合题意； 故选：C. 2．已知幂函数经过点，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在上是增函数 【答案】D 【分析】由点求出解析式，利用幂函数的图像与性质即可得出. 【详解】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得， ∴，函数的定义域为，是非奇非偶函数，且在上是增函数， 故选：D. 3．下列函数中，在定义域上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数，对数函数，一次函数，指数函数的单调性判断即可. 【详解】是幂函数且，故其在定义域上是增函数，故A错误； 是对数函数且，故其在定义域上是减函数，故B正确； 是一次函数且，故其在定义域上是增函数，故C错误； 是指数函数且，故其在定义域上是增函数，故D错误. 故选：B. 4．下列函数既是偶函数又在区间上是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可解得. 【详解】选项A：定义域为关于原点对称， 又，则为偶函数， 又在上单调递减，正确； 选项B：在上单调递增，错误； 选项C：定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，错误； 选项D：定义域为，关于原点对称，，则不是偶函数，错误. 故选：A. 5．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数和幂函数的单调性，即可求解. 【详解】因为指数函数在定义域R上单调递减， 所以，即， 因为幂函数在上单调递增， 所以，即， 即. 故选：C. 6．函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数，幂函数的单调性即可求解. 【详解】对于B，D，由函数得，当时，函数为减函数，故BD错误. 对于A，C，由函数得，当时，函数为增函数，故A错误，C正确. 故选：C. 7．幂函数在时为减函数，则（    ） A． B．2 C．0或1 D．或2 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义与性质可解. 【详解】依题意，函数在时为减函数， 由幂函数的定义和定义性质可知， ，，解得； 故选：B. 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用具体函数的定义域求法即可得解. 【详解】函数有意义，则： ，解得且， 所以函数的定义域为， 故选：D. 9．已知，若，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性确定函数值的大小即可. 【详解】函数单调递增，且， ， 故选：C. 10．函数 在区间上 的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的单调性即可求解. 【详解】由函数为幂函数且， 故函数 在区间上 上单调递减， 故的最大值为. 故选：C. 11．在区间上是（    ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【答案】A 【分析】根据幂函数的图像与性质进行分析，即可得出结果 【详解】在幂函数中，因为, 根据幂函数的图像与性质，可得该函数在上是单调增函数且是奇函数, 故选:A. 12．已知幂函数 为偶函数，则 （    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念和偶函数的性质求参数的值. 【详解】因为为幂函数， 所以得 或 ， 又因为 是偶函数，所以 . 故选：D 13．函数在上是（ ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质与奇偶性的定义可解. 【详解】因为，令， 因为关于原点对称， 所以， 所以是奇函数，又因为， 所以在是增函数 故选：A. 14．已知点在幂函数的图象上，则函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 【答案】A 【分析】将点代入函数解析式求出的值，由幂函数的性质分析奇偶性和单调性即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上， 则，解得， 所以， 由幂函数的性质可知，幂函数定义域为， 关于原点对称，，函数是奇函数，A选项正确；B选项错误； 函数在和上单调递减，但在定义域内不单调，CD选项错误. 故选：A. 15．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设得幂函数的解析式，代入点即可求解. 【详解】设幂函数为，由题可知：，解得. 所以幂函数解析式为： 故选：B. 16．函数为幂函数，则该函数为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解参数，再结合二次函数的性质判断即可. 【详解】由题意知，即，则该函数为，此时函数定义域为全体实数集， 该函数在定义域内有增有减，不是单调函数；函数满足，为偶函数. 故选：D 17．已知幂函数在上是减函数，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和单调性求出参数，解绝对值不等式即可解得. 【详解】是幂函数， ，可化为， 解得或， 当时，不满足在上是减函数， 当时，满足在上是减函数， ， 不等式，可化为， 即，解得， 的解集为. 故选：A. 18．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式求解定义域即可. 【详解】因为， 则有，解得且， 因此的定义域是． 故选：B. 19．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象和性质即可求解. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数，但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 20．下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性可判断A，根据指数函数的单调性可判断B，C，D. 【详解】选项A：因为幂函数在上单调递增，且， 所以. 故选项A错误； 选项B：因为函数在R上单调递减，且； 所以， 故选项B错误； 选项C：因为函数在R上单调递增，且， 所以， 故选项C正确； 选项D：因为函数在R上单调递增，且， 所以， 故选项D错误. 故选：C. 1.（2024年高等职业教育分类考试数学第12题）(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分) 设函数 (I)判断的奇偶性; (II)证明为区间内的增函数. 【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性. （1）解：因为的定义域为关于原点对称，令，，所以在定义域为上为奇函数。 （2）解：令，所以 因为，所以，，又因为，所以， ，所以为区间内的增函数，即证。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $