摘要:
**基本信息**
以支架式教学为核心,通过体系化专题清单构建从单调性/奇偶性概念辨析到综合应用的完整进阶路径,融合挖空讲解与分层训练,培养推理能力与应用意识。
**专项设计**
|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|函数的单调性和最值|12题|以选择为主,覆盖一次、二次、分式函数单调区间及最值求解|从定义理解到具体函数性质应用,构建"概念-判断-计算"逻辑链|
|由单调性确定参数范围|10题|含选择与填空,涉及一次、二次、反比例函数参数问题|深化单调性本质,建立"性质-条件-参数"推导关系|
|判断函数的奇偶性|10题|聚焦奇偶性定义判断及图像对称特征|从对称概念到函数奇偶性判定,形成"定义-图像-性质"认知路径|
|单调性与奇偶性综合|10题+7道真题|结合奇偶性分析单调性及解不等式,含近年真题|实现性质融合应用,培养综合推理与问题解决能力|
内容正文:
编写说明:2027年河北省(对口升学考试)《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练,在编写中融入支架式教学理念,紧扣教材,将知识拆解整合为体系化专题清单,以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础,再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强,实操性好,为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径,高效赋能备考提分。
2027年河北省对口升学考试
《数学一轮讲练测》练习
专题08 函数的单调性与奇偶性
【考点1 函数的单调性和最值】
1.下列选项为函数单调递减区间的是( )
A.R B. C. D.
【答案】B
【分析】先求解反比例函数的定义域,再求解函数的单调减区间即可.
【详解】因为反比例函数的定义域为,
且,所以是反比例函数的单调减区间.
故选:B.
2.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】由二次函数的单调区间即可得解.
【详解】由知,函数为开口向上,对称轴为的二次函数,
则单调递增区间是.
故选:.
3.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】将函数化为分段函数,作图即可求解.
,
作出函数图象,如图:
所以函数的单调递减区间为.
故选:C.
4.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据题意,结合根式有意义的条件,先求得函数的定义域,结合二次函数和复合函数的单调性,即可求解.
【详解】因为,所以,
即,解得或,
即函数的定义域为,
令,则原函数由和复合而成,
又函数是单调增函数,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以原函数的单调递减区间为.
故选:A.
5.若函数在上单调递减,则下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据函数单调性定义求解即可.
【详解】因为函数在上单调递减,且,
所以.
故选:C.
6.二次函数的最大值是3,则( )
A. B.1 C. D.
【答案】A
【分析】首先根据二次函数有最大值,确定,再由二次函数的最值公式列方程求解即可.
【详解】已知二次函数的最大值是3,
因为二次函数有最大值,所以,
又二次函数的最大值为,
由题意得,整理为,
解得或,
因为,所以.
故选:A.
7.函数的最小值、最大值分别为( )
A.3,5 B.,5 C.1,5 D.5,
【答案】B
【分析】根据函数的单调性,即可求解最值问题.
【详解】函数,可知一次函数的系数为负,
故是单调递减函数,
故在定义域的左端取得最大值,右端取得最小值,
则,
.
故选:B.
8.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性列出不等式组即可求解.
【详解】由题意,令,
解得,即函数的单调递增区间是.
故选:D.
【考点2 由函数单调性确定参数取值范围】
9.如果函数是上的减函数,则( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质求解.
【详解】函数是上的减函数,则.
故选:B.
10.设函数在上是减函数,则有( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质即可求解.
【详解】当一次函数在上为减函数时,
,
故选:D.
11.若反比例函数在上是增函数,则的取值范围是____________.
【答案】
【分析】根据反比例的单调性求解即可.
【详解】反比例函数在上是增函数.
所以,即的取值范围是.
故答案为:.
12.二次函数 在区间 单调递增, 则 的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】通过二次函数的开口方向和对称轴判断函数的单调区间即可求出 的取值范围
【详解】因为函数 的对称轴为,
所以函数的增区间为
又因为函数图像开口向上,在区间 单调递增,
所以,解得.
故选:.
13.已知函数,则“”是“函数在区间上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据二次函数的单调性,结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可.
【详解】函数的对称轴为,
当函数在区间上单调递增时,有,
因此“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件,
故选:A
【考点3 判断函数的奇偶性】
14.点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据关于轴对称的点的特点即可得解.
【详解】点关于轴对称的点的坐标是,
故选:.
15.点关于y轴的对称点N到原点的距离为( )
A.2 B.1 C. D.5
【答案】C
【分析】根据对称点的特征和两点间的距离公式即可求解.
【详解】因为点关于y轴的对称点,
所以点N到原点的距离为.
故选:C.
16.下列函数既不是奇函数又不是偶函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由函数奇偶性的定义逐项判断即可.
【详解】A选项,函数的定义域为,,
故函数为奇函数,不符合题意;
B选项,函数定义域为,且,
故函数为偶函数,不符合题意;
C选项,的定义域为,定义域不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,符合题意;
D选项,的定义域为,故是偶函数,不符合题意;
故选:C.
17.函数的图象关于 ( )
A.轴对称 B.直线对称 C.原点对称 D.直线对称
【答案】C
【分析】先证明函数是奇函数,再由奇函数的图象特征可判断关于原点对称,再由特殊点举例判断A、B、D选项即可.
【详解】因为函数定义域为,关于原点对称,
且,
所以函数是奇函数,故函数的图象关于原点对称,故C正确;
对于A,因为在函数图象上,而不在函数图象上,故函数不关于轴对称,故A错误;
对于B,因为在函数图象上,而不在函数图象上,故函数不关于直线对称,故B错误;
对于D,因为在函数图象上,而不在函数图象上,故函数不关于直线对称,故D错误.
故选:C.
18.函数的图像关于( )对称
A.轴 B.轴 C.原点 D.直线
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性即可判断.
【详解】函数的定义域为R,定义域关于原点对称,
所以,
所以函数为奇函数,图像关于原点对称.
故选:C.
19.给出下列函数:①,②,③,④,⑤,其中属于偶函数的是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.②⑤
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性求解即可.
【详解】①:函数定义域为关于原点对称,,所以为奇函数;
②:函数定义域为关于原点对称,,所以为偶函数;
③:函数定义域为关于原点对称,且,所以为非奇非偶函数;
④:函数定义域为关于原点对称,,所以为奇函数;
⑤:函数定义域为关于原点对称,,所以为偶函数,
所以为偶函数的为②⑤.
故选:D.
20.函数在区间上的奇偶性为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
【答案】D
【分析】利用奇偶函数的前提定义域关于原点对称可判断.
【详解】由函数奇偶性的判断定义可知,无论是奇函数还是偶函数,其定义域均为对称区间,
因为区间不关于原点对称,所以此函数既不是奇函数也不是偶函数.
故选:D.
【考点4 函数奇偶性与单调性综合问题】
21.已知偶函数在上为减函数,则( )
A.< B.= C.> D.无法确定
【答案】A
【分析】利用偶函数的定义及单调性可得.
【详解】 是偶函数.
,.
在上为减函数.
,即.
故选:A.
22.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为,那么在区间上是( )
A.增函数且最大值是 B.增函数且最小值是
C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质,结合函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数是奇函数,且在区间上是增函数,
所以在也是增函数;
又因为在区间上最大值为,
所以,
因为,
所以在上的最小值是,
因此在是增函数,且最小值为.
故选:.
23.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则下列结论正确的是号( )
A. B.
C.在上单调递增 D.在上单调递减
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义,结合函数解析式代入求值可判断AB;结合偶函数及二次函数的性质可判断CD.
【详解】∵函数是定义在上的偶函数,∴,
∵当时,,
∴,,
,,
∴,,故A正确,B错误;
当时,,其对称轴,开口向下,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∵函数是定义在上的偶函数,其图象关于轴对称,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴在上不是单调函数,在上单调递增,故CD错误,
故选:A.
24.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据一次函数,反比例函数,二次函数的性质即可得解.
【详解】定义域为,,符合奇函数的定义,
因为,所以函数为减函数,故不符合题意;
定义域为,,符合奇函数的定义,
但函数在定义域内不具备单调性,故不符合题意;
定义域为,,符合奇函数的定义,
因为,所以函数为增函数,故符合题意;
,不符合奇函数的定义,故不符合题意,
故选:.
25.已知奇函数在上是增函数,且,则的解集为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】∵奇函数在上是增函数,且,
∴函数在上也是增函数,且,
∴当时,,
当时,;
当时,,
当时,;
∴的解集为.
故选:D.
【考点1 函数的单调性和最值】
26.如果函数在区间上是减函数,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据二次函数图象开口方向和对称轴求出函数单调区间,据此列式求出参数取值范围即可.
【详解】易知二次函数对称轴为,
且函数图象开口向上,则函数在上单调递减,在单调递增,
若函数在区间上是减函数,则有,解得,
则实数k的取值范围是.
故选:B.
27.若函数 在上是增函数,则与 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】由一次函数的单调性可得,再根据单调性的性质可得结果.
【详解】因为 在上是增函数,
所以 ,即.
根据增函数的性质,可得.
故选:B
28.函数在上的最小值为( )
A.2 B. C. D.
【答案】B
【分析】根据函数的单调性求解即可.
【详解】反比例函数,当时,随的增大而减小,
函数可看作是由向右平移个单位得到的,
所以函数在上单调递减,
则时,当时,函数取得最小值,且最小值为.
故选:B.
【考点2 由函数单调性确定参数取值范围】
29.f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间是________.
【答案】
【解析】略
30.函数的严格减区间为______.
【答案】/
【分析】根据给定条件,利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.
【详解】函数的定义域为R,令,
函数在上单调递减,在上单调递增,
而函数在R上是增函数,因此函数在上单调递减,在上单调递增,
所以函数的严格减区间为.
故答案为:
31.若函数在区间上是减函数,则______(填“”“”“”)
【答案】
【分析】根据减函数的性质即可比较大小.
【详解】已知函数在区间上是减函数,
因为,所以,
故答案为:.
32.若在R上是减函数,则________ (填“>”或“<”或“≥”或“≤”).
【答案】>
【分析】根据减函数的性质求解即可.
【详解】∵在R上是减函数,
∴对任意,若,都有,
又∵,
∴.
故答案为:>.
33.二次函数,的值域为_________.
【答案】
【分析】将一般式转化为顶点式后得到二次函数在定义域内的单调性,从而得到最大值和最小值,即可求解.
【详解】因为二次函数,,
所以,
所以该函数在上单调递减,在上单调递增,
所以该函数在上的最小值为.
因为,
,
所以该函数在上的最大值为5,
所以该函数的值域为.
故答案为:.
34.函数在的最大值为_________.
【答案】
【分析】根据一次函数的单调性确定最值即可.
【详解】已知函数为,
其中,所以在上为减函数,
所以时,当时,函数有最大值,
最大值为.
故答案为:.
【考点3 判断函数的奇偶性】
35.函数是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数
【答案】A
【分析】根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】若有意义,则有,
解得,定义域为,定义域关于原点对称,
函数,
所以,
所以函数是奇函数.
故选:A.
36.下列函数是奇函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意,结合正弦函数、二次函数、幂函数、对数函数的奇偶性,即可判断求解.
【详解】因为函数的定义域为R,关于原点对称,
又,
所以,
所以函数是偶函数,不是奇函数,故选项A不符合题意;
因为定义域为R,关于原点对称,
又,
所以,
所以函数是偶函数,不是奇函数,故选项B不符合题意;
因为函数定义域为R,关于原点对称,
又,
所以,
所以函数是奇函数,故选项C符合题意;
因为是对数函数,定义域是,不关于原点对称,
所以函数是非奇非偶函数,故选项D不符合题意;
故选:C.
37.函数的奇偶性为___________
【答案】偶函数.
【分析】根据偶函数的性质分析判断.
【详解】∵函数的定义域为,
而,
∴该函数为偶函数.
故答案为:偶函数.
38.函数为奇函数,则的值是_________.
【答案】
【分析】根据奇函数的定义即可判断.
【详解】解:因为是奇函数,
所以.
即.
整理得,解得.
故答案为:
39.若二次函数,且,则______.
【答案】17
【分析】根据函数的奇偶性求解即可.
【详解】二次函数定义域为R,
且满足,
函数为偶函数,且,
∴.
故答案为:17.
【考点4 函数奇偶性与单调性综合问题】
40.已知函数是奇函数,且在上单调递增,,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据奇函数以及单调性的定义,即可求解.
【详解】因为函数是奇函数,且,所以,
又因为在上单调递增,故当时,,
在上单调递增,故当时,,
综上所述,的解集为.
故选:B.
41.已知是R上的偶函数,且在上单调递减,则满足不等式的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据题意,结合函数奇偶性和单调性的定义,即可求解不等式.
【详解】因为是R上的偶函数,且在上单调递减,
所以在上单调递增,且,
又,
所以,即或,
解得或,
即实数x的取值范围是.
故选:A.
42.已知偶函数的定义域为R,且当时,是减函数,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可求解.
【详解】因为函数是定义域为R的偶函数,所以,
又函数在上为减函数,,
所以,即.
故选:C.
1.(2025·河北对口升学·真题T20)已知奇函数在上单调递减,,若实数满足,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求出,根据题意结合奇函数的性质列出不等式即可得解.
【详解】函数为奇函数,,则,
因为函数在上单调递减,
则,
所以,解得,
所以的取值范围是,
故选:.
2.(2024·河北对口升学·真题T05) 函数在其定义域内的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论的取值范围,结合二次函数的单调性即可得解.
【详解】对于,
当时,,
对于,其图象开口向上,对称轴为,
所以在上单调递增,故AC错误;
当时,,
对于,其图象开口向下,对称轴为,
所以在上单调递增,故D错误;
而选项B满足上述函数的性质描述,故B正确.
故选:B.
3.(2024·河北对口升学·真题T06) 关于函数,下列结论错误的是( )
A. 的图像过点 B. 的图像过点
C. 在其定义域上为增函数 D. 为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意,利用凑配法,先求得函数解析式,结合幂函数的图像和性质,即可判断求解.
【详解】因为函数,
所以,
所以,所以函数的图像过点,故选项A正确,不符合题意;
所以,所以函数图像过点,故选项B正确,不符合题意;
所以幂函数在其定义域上为增函数,故选项C正确,不符合题意;
因为函数的定义域为,不关于原点对称,
故函数不是偶函数,故选项D错误,符合题意;
故选:D.
4.(2023·河北对口升学·真题T03)下列函数在定义域内是偶函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的性质分析即可.
【详解】A项中的函数的定义域为R,定义域关于原点对称,
,所以不是偶函数,
B项中的函数的定义域为R,定义域关于原点对称,
,所以不是偶函数,
C项中的函数的定义域为R,定义域关于原点对称,
,所以不是偶函数,
D项中的函数的定义域为R,定义域关于原点对称,
,所以是偶函数.
故选:D.
5.(2024·河北对口升学·真题T14)已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则下列结论正确的是号( )
A. B.
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的定义,结合函数解析式代入求值可判断AB;结合偶函数及二次函数的性质可判断CD.
【详解】∵函数是定义在上的偶函数,∴,
∵当时,,
∴,,
,,
∴,,故A正确,B错误;
当时,,其对称轴,开口向下,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∵函数是定义在上的偶函数,其图象关于轴对称,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴在上不是单调函数,在上单调递增,故CD错误,
故选:A.
6.(2022·河北对口升学·真题T04)下列函数为偶函数且在内是增函数的是( )
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由单调性及奇偶性的图像特点定义即可得解.
【详解】如图所示为的图像,由图可知为偶函数且在内为增函数,选项正确.
如图所示为图像,由图像可知为偶函数,在内不是增函数,故选项错误.
如图所示为的图像,由图可知为既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误.
如图所示为的图像,由图可知既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误.
故选:.
7.(2021·河北对口升学·真题T20) 如果函数在上是减函数,则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解的取值范围.
【详解】在上是减函数,
则,解得.
故答案为:.
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2027年河北省对口升学考试
《数学一轮讲练测》练习
专题08 函数的单调性与奇偶性
【考点1 函数的单调性和最值】
1.下列选项为函数单调递减区间的是( )
A.R B. C. D.
2.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
4.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递减,则下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
6.二次函数的最大值是3,则( )
A. B.1 C. D.
7.函数的最小值、最大值分别为( )
A.3,5 B.,5 C.1,5 D.5,
8.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【考点2 由函数单调性确定参数取值范围】
9.如果函数是上的减函数,则( ).
A. B. C. D.
10.设函数在上是减函数,则有( )
A. B.
C. D.
11.若反比例函数在上是增函数,则的取值范围是____________.
12.二次函数 在区间 单调递增, 则 的取值范围( )
A. B. C. D.
13.已知函数,则“”是“函数在区间上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【考点3 判断函数的奇偶性】
14.点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
15.点关于y轴的对称点N到原点的距离为( )
A.2 B.1 C. D.5
16.下列函数既不是奇函数又不是偶函数的是( )
A. B. C. D.
17.函数的图象关于 ( )
A.轴对称 B.直线对称 C.原点对称 D.直线对称
18.函数的图像关于( )对称
A.轴 B.轴 C.原点 D.直线
19.给出下列函数:①,②,③,④,⑤,其中属于偶函数的是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.②⑤
20.函数在区间上的奇偶性为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
【考点4 函数奇偶性与单调性综合问题】
21.已知偶函数在上为减函数,则( )
A.< B.= C.> D.无法确定
22.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为,那么在区间上是( )
A.增函数且最大值是 B.增函数且最小值是
C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是
23.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则下列结论正确的是号( )
A. B.
C.在上单调递增 D.在上单调递减
24.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是( ).
A. B. C. D.
25.已知奇函数在上是增函数,且,则的解集为( ).
A. B. C. D.
【考点1 函数的单调性和最值】
26.如果函数在区间上是减函数,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
27.若函数 在上是增函数,则与 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
28.函数在上的最小值为( )
A.2 B. C. D.
【考点2 由函数单调性确定参数取值范围】
29.f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间是________.
30.函数的严格减区间为______.
31.若函数在区间上是减函数,则______(填“”“”“”)
32.若在R上是减函数,则________ (填“>”或“<”或“≥”或“≤”).
33.二次函数,的值域为_________.
34.函数在的最大值为_________.
【考点3 判断函数的奇偶性】
35.函数是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数
36.下列函数是奇函数的是( )
A. B. C. D.
37.函数的奇偶性为___________
38.函数为奇函数,则的值是_________.
39.若二次函数,且,则______.
【考点4 函数奇偶性与单调性综合问题】
40.已知函数是奇函数,且在上单调递增,,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
41.已知是R上的偶函数,且在上单调递减,则满足不等式的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
42.已知偶函数的定义域为R,且当时,是减函数,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
1.(2025·河北对口升学·真题T20)已知奇函数在上单调递减,,若实数满足,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.(2024·河北对口升学·真题T05) 函数在其定义域内的图象大致是( )
A. B. C. D.
3.(2024·河北对口升学·真题T06) 关于函数,下列结论错误的是( )
A. 的图像过点 B. 的图像过点
C. 在其定义域上为增函数 D. 为偶函数
4.(2023·河北对口升学·真题T03)下列函数在定义域内是偶函数的是( )
A. B. C. D.
5.(2024·河北对口升学·真题T14)已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则下列结论正确的是号( )
A. B.
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减
6.(2022·河北对口升学·真题T04)下列函数为偶函数且在内是增函数的是( )
A. B.
C D.
7.(2021·河北对口升学·真题T20) 如果函数在上是减函数,则实数的取值范围是____________.
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