第14卷 立体几何（二）- 2027年河南省对口招生（教育类）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦立体几何核心考点，以“概念辨析-性质应用-综合计算”为逻辑链，通过45分钟限时训练检测空间观念与推理能力，实现知识巩固与应试能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体|单选1-5、12、17|以圆锥、圆柱、正三棱柱等为载体，考查体积、表面积计算|从几何体结构特征（如轴截面、棱长）到公式应用，体现几何直观| |空间位置关系|单选6-8、13、15|判断线面垂直、平面重合等命题真假，考查充要条件|从基本概念（如二面角定义）到判定定理，培养推理意识| |空间角与直观图|单选9-10、11、14|涉及线面角范围、直观图面积、异面直线所成角|从空间角概念到直观图画法，构建空间观念| |综合应用|解答16、18|结合圆柱、直三棱柱，综合求解表面积、体积及二面角|整合几何体性质与空间角计算，提升应用意识|

编写说明：2027年河南省对口招生教育类《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生教育类数学《45分钟训练卷》 第十四卷 立体几何（二） 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．一圆锥的轴截面是等边三角形，已知母线为，则圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．水平放置的角的直观图不一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 3．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B．4 C． D． 4．若正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面成的角，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．请选出以下四个命题中的假命题．（    ） A．如果两个平面有不共线的三点重合，那么这两个平面一定重合为一个平面． B．在空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形． C．如果两个平面相交，那么它们的交点不一定共线． D．同一平面的两条垂线一定共面． 7．用表示三条不同的直线，表示平面，给出下列结论，正确的有（   ） ①若，则；    ②若，则； ③若，则；    ④若，则． A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 8．下列命题正确的是（   ）. A．二面角的范围是大于且小于 B．一个二面角与其平面角可以不相等 C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上 D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直 9．直线与平面所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．二面角是指（    ） A．两个相交平面组成的图形 B．从一个平面内的一条直线出发的一个半平面和这个平面组成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．过棱上一点在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线所成角 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．已知正三角形的边长为a，那么三角形的平面直观图的面积为______ 12．木材厂把一根树木底面半径，长的圆柱形木材，沿底面直径锯成两半，表面积增加了______. 13．垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面________. 14．如图所示，在正方体中，AC与所成的角的大小是______.    15．已知直线和平面，且平面，则“”是“”的________________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）． 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 16．如图所示，已知圆柱的底面半径为2，高为4，矩形为圆柱轴截面，点E为弧的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求二面角的正切值． 17．如图，一个几何体由圆锥和圆柱组合而成，且圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3． (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 18．如图所示，直三棱柱的底面是直角三角形，，，，且.求： (1)三棱柱的体积； (2)二面角的大小. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生教育类《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生教育类数学《45分钟训练卷》 第十四卷 立体几何（二） 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．一圆锥的轴截面是等边三角形，已知母线为，则圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的轴截面求底面圆半径，再由半径和母线求圆锥的高，最后利用体积公式计算即可. 【详解】因为圆锥的轴截面是等边三角形， 所以底面圆直径等于母线长，即，解得， 且圆锥高为：， 则圆锥的体积是. 故选：B. 2．下列说法正确的是（    ） A．水平放置的角的直观图不一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 【答案】D 【分析】根据直观图的画法即可判断. 【详解】解：对于A，水平放置的角的直观图还是角，故A错误； 对于B，相等的角放置位置不同，角不一定相等，例如直角可能变为或，故B错误； 对于C，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半，所以相等的线段在直观图中不一定相等，故C错误； 对于D，直观图中直线的平行性不会改变，故D正确. 故选：D. 3．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项. 【详解】, 故选:A 4．若正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面成的角，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的侧棱长和与底面成的角，计算该正四棱锥的高和底面边长，即可得到体积. 【详解】 设正四棱锥的底面边长为，高为， 题目已知，正四棱锥的侧棱长为，且侧棱与底面成的角， 所以. 底面对角线为 正四棱锥的底面为正方形，故， 得到. 所以，正四棱锥的体积. 故选：A. 5．已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面直径为2，则底面半径为1， 所以上下底面面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆柱的表面积为. 故选：B. 6．请选出以下四个命题中的假命题．（    ） A．如果两个平面有不共线的三点重合，那么这两个平面一定重合为一个平面． B．在空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形． C．如果两个平面相交，那么它们的交点不一定共线． D．同一平面的两条垂线一定共面． 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系判断即可解得. 【详解】选项A：如果两个平面有不共线的三点重合，那么这两个平面一定重合为一个平面，正确. 选项B：在空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形，正确. 选项C：如果两个平面相交，那么它们的交点一定共线，错误. 选项D：同一平面的两条垂线一定共面，正确. 故选：C 7．用表示三条不同的直线，表示平面，给出下列结论，正确的有（   ） ①若，则；    ②若，则； ③若，则；    ④若，则． A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行的性质，线面垂直、平行的性质求解即可. 【详解】若 ，则 ，则命题①正确； 若，则与可以平行，也可以相交或异面，即命题②不正确； 若，则或与异面或相交，即命题③不正确； 若，则，即命题④正确，综上可得正确的命题为①④． 故选：C. 8．下列命题正确的是（   ）. A．二面角的范围是大于且小于 B．一个二面角与其平面角可以不相等 C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上 D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直 【答案】D 【分析】根据二面角的相关概念分析即可. 【详解】二面角的范围是大于等于且小于等于，故A错误， 二面角的大小就是用它的平面角进行度量，所以二者一定相等，故B错误， 二面角的平面角的顶点必须在棱上，故C错误， 二面角的平面角的两边都垂直于棱，根据线面垂直的判定定理可知， 二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直，故D正确， 故选：D. 9．直线与平面所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与平面所成角的取值范围可直接得解. 【详解】直线与平面所成角的取值范围是. 故选：A. 10．二面角是指（    ） A．两个相交平面组成的图形 B．从一个平面内的一条直线出发的一个半平面和这个平面组成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．过棱上一点在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线所成角 【答案】C 【分析】根据二面角的概念求解. 【详解】选项A中，描述了两个平面相交的情况，但并没有特指由这两个平面所夹的角，故不正确. 选项B中，描述了一个平面和它的一个半平面，但并未特指这两个平面所夹的角，故不正确. 选项C中，明确描述了两个半平面从同一条直线出发，并且它们之间有一个夹角，这个夹角就是二面角，故正确. 选项D中，描述的是二面角的平面角，而不是二面角本身，故不正确. 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．已知正三角形的边长为a，那么三角形的平面直观图的面积为______ 【答案】 【分析】首先根据三角形面积公式求出正三角形的面积，再由直观图面积与原图之间的面积比，即可求出直观图的面积. 【详解】已知正三角形的边长为a，高为 则正三角形的面积为， 而原图与直观图的面积比值为， 所以. 故答案为：. 12．木材厂把一根树木底面半径，长的圆柱形木材，沿底面直径锯成两半，表面积增加了______. 【答案】 【分析】沿底面直径锯成两半后，表面积增加的部分是两个长方形的面积，根据题意确定长方形的长和宽即可求解. 【详解】沿底面直径锯成两半后，表面积增加的部分是两个长方形的面积， 长方形的长为圆柱的高，宽为底面直径， 因为，底面直径为， 所以一个长方形面积为，则增加的总面积为. 故答案为：. 13．垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面________. 【答案】垂直 【分析】利用线面垂直的判定易得答案. 【详解】    由题意得,, ,平面,平面, 所以平面. 故答案为:垂直. 14．如图所示，在正方体中，AC与所成的角的大小是______.    【答案】90° 【分析】利用正方体的性质和三垂线定理证明两直线垂直即可. 【详解】连接，    在正方体中，因为平面， 所以是斜线在平面上的射影， 因为与是正方形的对角线，所以. 所以，故AC与所成的角的大小是90°. 故答案为：. 15．已知直线和平面，且平面，则“”是“”的________________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）． 【答案】必要不充分 【分析】根据线面垂直的定义和判定定理结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】已知直线和平面，且平面， 若，则可能，也可能平面， 所以“”不能推出“”，充分性不成立， 若，则， 所以“”能推出“”，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 16．如图所示，已知圆柱的底面半径为2，高为4，矩形为圆柱轴截面，点E为弧的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用圆柱侧面积公式求解即可； （2）连接，可得为二面角的平面角，求解即可. 【详解】（1）因为圆柱的底面半径为2，高为4， 所以圆柱的侧面积为. （2） 连接，则，， 因为点为弧的中点，则， 因为为底面圆心，则为的中点，则，又, 所以为二面角的平面角. 因为垂直于底面，底面，则. 所以. 17．如图，一个几何体由圆锥和圆柱组合而成，且圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3． (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆锥的侧面积公式、圆柱的侧面积公式、底面积公式即可求解； （2）利用圆锥、圆柱的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3， 所以圆锥的母线为， 圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 所以该几何体的表面积为. （2）因为圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3， 由题意得该几何体的体积为. 18．如图所示，直三棱柱的底面是直角三角形，，，，且.求： (1)三棱柱的体积； (2)二面角的大小. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据三棱柱的体积公式即可求解. （2）先找出二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）由题意， ，. 则三棱柱的体积为： . （2）由题意， 因为，所以， 在直三棱柱中， 是矩形，所以. 因为，平面 所以平面. 因为平面， 所以. 所以为二面角的平面角. 在直角三角形中，， 得， 所以二面角的大小为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $