第13卷 立体几何（一）- 2027年河南省对口招生（教育类）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦立体几何核心概念与空间关系，以“一考一讲”模式实现概念辨析-空间推理-度量计算的递进训练，适配中职对口招生45分钟高效检测需求，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1/8|考查棱柱、棱锥等基本几何体定义及空间位置关系判定|从几何体概念生成到空间关系性质推导，构建概念网络| |空间关系|单选2/4/5/9/10、填空13/14/15、解答16(1)/18|结合正方体模型考查线线角、线面平行垂直及符号语言表达|以正方体为载体，由线线关系到线面关系递进，强化几何直观| |度量计算|单选3/6/7、填空11/12、解答16(2)/17|涉及球、圆柱、圆锥、正四棱柱的表面积与体积计算|从轴截面分析到公式应用，体现运算能力与模型意识|

编写说明：2027年河南省对口招生教育类《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生教育类数学《45分钟训练卷》 第十三卷 立体几何（一） 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．下命题正确的是（    ） A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形 C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 2．如图，用符号语言可以表达为（   ） A． B． C． D． 3．球的表面积扩大到原来的2倍，则体积变为原来的（   ）． A． B．4 C．2 D．8 4．垂直于平面的两条不重合直线一定（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 5．在正方体中，与AC所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面直径为，高是，则该圆锥的体积为（    ）. A．7 B．8 C． D． 7．侧棱长为的正四棱柱，如果底面周长是，则这个正四棱柱的侧面积是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若两个平面与同一直线所成的角相等，则这两个平面平行 C．若一条直线与平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 D．若直线和平面相交，则直线和平面所成的夹角小于或等于 9．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列正确的是（    ） ①    ② ③    ④ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 10．如图所示，正方体中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D．平面 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．已知圆柱的轴截面是边长为4的正方形，则其体积为____________. 12．若正四棱锥的底面边长和侧棱长都是1，则它的体积为______. 13．如图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为________． 14．已知直线a和平面，若，则a与的位置关系为________． 15．如图所示，在三棱锥中，平面，，则点P到的距离等于_________． 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 16．如图，正方体的棱长为1. (1)求与所成的角； (2)求三棱锥的体积. 17．一个圆锥侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，求圆锥的侧面积和体积. 18．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生教育类《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生教育类数学《45分钟训练卷》 第十三卷 立体几何（一） 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．下命题正确的是（    ） A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形 C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 【答案】D 【分析】根据棱柱、棱锥的概念及分类可判断结果. 【详解】对于A，棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故A错； 对于B，棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故B错； 对于C，棱锥被过顶点的平面分成的两部分有可能都是棱锥，故C错； 对于D，棱柱被平行于底面的平面所截，分成的两部分可以都是棱柱，故D正确． 故选：D. 2．如图，用符号语言可以表达为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线面之间的关系，结合符号表示即可求解. 【详解】对A，由图可得，点在直线上，即，故A错误. 对B，由图可得，直线在平面内，即，故B错误. 对C，由图可得，点在直线上且在直线上，即，故C错误. 对D，由图可得，与相交于直线，即；直线在平面内，即； 点在直线上且在直线上，即，故D正确. 故选：D. 3．球的表面积扩大到原来的2倍，则体积变为原来的（   ）． A． B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】设出半径利用表面积公式求出半径的变化，代入体积公式即可. 【详解】设原球的半径为，则表面积，体积， 现表面积，则此时半径， 则此时体积， ，体积变为原来的； 故选：A. 4．垂直于平面的两条不重合直线一定（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质定理可判断结果. 【详解】根据线面垂直的性质可知：垂直于同一平面的两条直线互相平行. 故选：A 5．在正方体中，与AC所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出异面直线与AC所成的角的平面角，再利用三角形求出答案. 【详解】连接，如图， 在正方体中，可知， 所以与AC所成的角为， 在正方体中， 均为面对角线， 所以， 所以为等边三角形， 所以. 故选：B. 6．已知圆锥的底面直径为，高是，则该圆锥的体积为（    ）. A．7 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的体积公式即可得解. 【详解】因为圆锥的底面直径为，高是， 所以其底面半径为， 故其体积为. 故选：D. 7．侧棱长为的正四棱柱，如果底面周长是，则这个正四棱柱的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据底面周长是可求出底面边长，再根据侧棱长为的正四棱柱侧面积公式易得答案. 【详解】正四棱柱的底面周长是， 底面边长为，侧棱长为， 侧面积是. 故选：A. 8．下列说法正确的是（    ） A．若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若两个平面与同一直线所成的角相等，则这两个平面平行 C．若一条直线与平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 D．若直线和平面相交，则直线和平面所成的夹角小于或等于 【答案】D 【分析】根据直线与平面的性质逐项分析. 【详解】A、若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线可能平行，也可能相交，还可能异面，故A选项不正确. B、若两个平面与同一直线所成的角相等，则这两个平面可能平行， 也可能相交，故B选项不正确. C、若一条直线与平面的一条斜线的射影垂直，若这条直线在平面内，则这条直线也和这条斜线垂直，若这条直线不在平面内， 则这条直线与斜线的关系可能垂直，也可能相交但不垂直.故C选项错误， D、若直线和平面相交，则直线和平面所成的夹角小于或等于，故D选项正确. 故选：D. 9．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列正确的是（    ） ①    ② ③    ④ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】B 【分析】根据线面、线线、面面位置关系的判定及性质定理即可解得. 【详解】①：根据线面垂直的判定定理，需垂直于内的两条相交直线，只有不能证得线面垂直，错误. ②：根据面面垂直的判定定理，即可证得，正确. ③：由线面垂直的性质，若，则，正确. ④：，则可能平行，也可能异面，错误. 故②③正确， 故选：B 10．如图所示，正方体中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D．平面 【答案】A 【分析】根据正方体的结构特点进行一一证明即可判断. 【详解】观察正方体 可知每条棱都垂直于上下底面，所以平面，D选项成立； 同时平面，且平面， 所以，B选项成立； 因为，，所以，C选项成立； 由于，连接、，有， 故三角形为等边三角形，所以， 即与的夹角为，两直线不垂直，A选项不成立. 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．已知圆柱的轴截面是边长为4的正方形，则其体积为____________. 【答案】 【分析】根据题意得到圆柱底面半径与高，再利用体积公式即可得解. 【详解】因为圆柱的轴截面是边长为4的正方形， 所以圆柱底面半径为，高为， 则其体积为. 故答案为：. 12．若正四棱锥的底面边长和侧棱长都是1，则它的体积为______. 【答案】/ 【分析】求出正四棱锥的高，利用棱锥的体积公式即可求解. 【详解】 如图，在正四棱锥中，连接交于，连接， 所以为正四棱锥的高， 因为正四棱锥的底面边长是1， 所以，， 又正四棱锥的侧棱长是1， 所以， 所以， 所以正四棱锥的体积. 故答案为： 13．如图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为________． 【答案】/ 【分析】利用，，得到异面直线与所成的角，然后根据为等边三角形可求角. 【详解】连接，，因为为正方体， 所以为等腰三角形，且E，F分别是，的中点， 所以， 又因为与平行且相等， 所以为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角即与所成的角或其补角， 连接，因为、、都是正方形对角线， 所以为等边三角形， 所以； 故答案为：. 14．已知直线a和平面，若，则a与的位置关系为________． 【答案】或 【分析】由直线与平面的位置关系判断． 【详解】由题意平面与垂直，直线与平面垂直， 则直线在平面内，或者与平面平行. 故答案为：或. 15．如图所示，在三棱锥中，平面，，则点P到的距离等于_________． 【答案】5 【分析】取的中点D，可得，由平面得，则平面，可得，所以即为点P到的距离，在与中求解即可． 【详解】如图所示，取的中点D，连接． ∵，的中点为D，∴， ∵平面，平面， ∴，， 又，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴即为点P到的距离． 在中，，∴． 在中，， ∴，即点P到的距离为5． 故答案为：5. 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 16．如图，正方体的棱长为1. (1)求与所成的角； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到与平行的直线，将异面直线所成角转换成求，根据三角形是等边三角形即可得到角的度数. （2）利用等体积法将所求三棱锥体积转换成求三棱锥的体积，再套棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）正方体中，，且， 则四边形是平行四边形，则有， 则 所成的角即与所成的角， 因为正方体棱长为1，所以， 即△为等边三角形，则， 所以 所成的角为. （2）因为， 且正方体中，平面， 所以. 三棱锥的体积为. 17．一个圆锥侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，求圆锥的侧面积和体积. 【答案】圆锥的侧面积为；圆锥的体积为. 【分析】根据扇形的面积公式和圆锥的体积公式即可解得. 【详解】由题，圆锥的侧面积即为圆锥侧面展开图的面积：， 由题可知圆锥母线长即为扇形半径，即母线，设圆锥底面半径为， 则，解得， 则圆锥的高为， 则圆锥体积为 18．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图：是的中位线，则，再利用线面平行的判定定理即可证得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：在中，O、M分别为BD、PB的中点， ， 又平面PDC，平面PDC， 平面PDC. （2）在正方形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD， ， 又平面PAC，平面PAC，， 平面PAC， 又平面PBD， 平面平面PBD． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $