14.4.2用样本估计总体的离散程度参数（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦用样本估计总体的离散程度参数，核心讲解极差、方差、标准差的定义及应用。课堂导入通过甲、乙两种钢筋抗拉强度数据，先回顾集中趋势参数，再引出离散程度的必要性，构建从集中到离散的知识学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合钢筋强度、水稻产量等具体案例，培养学生用数学眼光观察数据差异，通过方差公式推导和数据变换性质应用发展数学思维，用标准差解决实际问题体现数学语言。知识小结系统，分层训练助学生巩固，教师可直接使用提升教学效率。

14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 第十四章 统计 学 习 目 标 1 2 3 理解极差、方差、标准差的定义，掌握三者刻画数据离散程度（稳定性）的核心意义； 熟练掌握原始数据的方差、标准差计算公式，能运用组中值计算分组数据的方差和标准差； 能运用样本方差、标准差估计总体的离散程度，结合集中趋势参数全面分析数据特征. 新课导入 在前面的课程中，我们学习了用平均数、众数、中位数刻画数据的集中趋势，也就是数据的“平均水平”.但只看平均水平够吗？ 甲、乙两种钢筋各抽取 10 根，测得抗拉强度(单位：MPa): 甲： 乙. 你能计算甲、乙两种钢筋的平均强度吗？ 新课导入 甲的数据更集中，乙的数据更分散. 两种钢筋的平均抗拉强度都是 128MPa,能说它们的质量一样好吗？ 数据的分散程度称为离散程度 刻画离散程度的参数有极差、方差、标准差. 本节课我们学习如何用这些参数估计总体的离散程度. 新知探究 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 探究一：极差 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表 ）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm²），通过计算发现，两个样本的平均数均为 125 kg/mm². 将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如图所示. 哪种钢筋的质量较好？ 新知探究 从图中可以看出，乙样本的最小值 100 低于甲样本的最小值 110 乙样本的最大值 145 高于甲样本的最大值 135 这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 甲极差 = 135-110=25，乙极差 = 145-100=45. 结论：乙的极差更大，数据更分散，甲更稳定. 知识小结 极差 极差定义：一组数据的最大值与最小值的差 优点：计算简单，能快速反映数据的波动范围. 缺点：只利用了最值两个数据，不能反映中间数据的离散程度；易受极端值影响 7 探究二：方差与标准差 新知探究 极差还是极易受到极端数据的影响，那么该用什么数据刻画一组数据的离散程度呢？ 用每个数据与平均数的离差之和表示离散程度，但离差有正有负，和为 0;用离差的绝对值之和计算不方便；因此用离差的平方和. 定义：设样本数据,平均数为,则样本方差 方差越大，离差平方和越大，数据越分散，越不稳定。 新知探究 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差. 方差的算术平方根， ①标准差的单位与原始数据一致，更直观 ②方差和标准差刻画离散程度的效果一致 即时训练 1.为评估某种新型水稻的种植效果，选择了n块面积相等的试验稻田.这块稻田的亩产量（单位：）分别为，下列统计量中，能用来评估这种新型水稻亩产量稳定程度的是（    ） A．样本的标准差 B．样本的中位数 C．样本的众数 D．样本的平均数 【分析】根据标准差的含义判断即可. 【详解】标准差刻画了数据的离散程度，故A正确. 故选：A. A 即时训练 2.若样本数据，，，的方差为32，则数据的方差为（    ） A．16 B．8 C．13 D．5 【分析】根据方差的性质进行求解即可. 【详解】因为样本数据的方差为32 所以数据的方差为 ． 故选：B B 知识小结 方差与标准差 设一组样本数据 ，其平均数为 ，则称 为这个样本的方差,其算术平方根 为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差。 12 品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 甲 乙 典例分析 例1 甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量（单位：t/hm²）如表 所示，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定. 【分析】通过计算甲、乙两种水稻产量的平均数与方差，比较方差大小，方差越小说明数据波动越小、产量越稳定. 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为 因为，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。 典例分析 典例分析 例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后 必须更换.已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如所示，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差. 使用天数 451～480 481～510 511～540 541～570 571～600 601～630 631～660 661～690 日光灯数 1 11 18 20 25 16 7 2 【分析】用每一区间 的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均使用寿命． 解：各区间 的组中值分别为 ，，，，，，，， 由此算得平均数约为 典例分析 典例分析 这些组中值的方差为 故所求的标准差为 ． 答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为 天，标准差约 天． 巩固提升 题型1 求标准差 1.若数据的方差为25，则数据的标准差为（    ） A．225 B．76 C．75 D．15 【分析】根据数据的方差的性质，可得的方差，继而得其标准差，即得答案. 【详解】∵若的方差为，则的方差为， ∴数据的方差为25， 则数据的方差为， 故数据的标准差为 故选:D D 巩固提升 题型2 求方差 2.小明体育测验6次立定跳远成绩分别为214，213，214，215，216，212，则6次成绩的平均值与方差为（    ） A．213，1.67 B．214，1.66 C．214，1.29 D．214，1.67 【分析】根据已知数据得平均数，方差运算解决即可. 【详解】由题知， 6个数分别减去214，得0，，0，1，2，，这6个数的平均数为0， 所以6个数平均数为214， 又， 所以方差为1.67， 故选：D． D 巩固提升 题型3 利用方差或标准差解决实际问题 3.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场的进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场的进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3．下列说法中正确的是 （    ） A．乙队的技术比甲队好 B．乙队发挥比甲队稳定 C．乙队几乎每场都进球 D．甲队的表现时好时坏 【分析】根据平均数、方差的知识，对四个说法逐一分析，由此得出正确选项. 巩固提升 题型3 利用方差或标准差解决实际问题 【详解】因为甲队每场进球数为，乙队平均每场进球数为， 甲队平均数大于乙队较多，所以甲队技术比乙队好，所以A不正确； 因为甲队全年比赛进球个数的标准差为，乙队全年进球数的标准差为， 乙队的标准差小于甲队，所以乙队比甲队稳定，所以B正确； 因为乙队的标准差为，说明每次进球数接近平均值， 乙队几乎每场都进球，甲队标准差为， 说明甲队表现时好时坏，所以C，D正确， 故选：BCD. 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 样本估计总体离散程度 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 极差 (Range) 一组数据中最大值与最小值的差，反映了数据的 波动范围。 2. 方差 (Variance) 设一组样本数据为 x₁, x₂, ..., xₙ，其平均数为 x̄，则样本方差 s² 为： s² = 1n[(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (xₙ - x̄)²] 方差反映了数据相对于平均数的 离散程度。 3. 标准差 (Standard Deviation) 样本标准差 s 是方差的 算术平方根： s = √s² 标准差的单位与原数据的单位 一致。 易错点警示 单位问题： 方差的单位是原数据单位的 平方，而标准差的单位与原数据相同。在实际问题中要注意单位的合理性。 极差的局限性： 极差只利用了数据中的两个极端值，不能反映中间数据的 分布情况，容易受极端值影响。 计算平均数： 计算方差前必须先准确求出 平均数，平均数的错误会导致后续所有计算失效。 离散程度的含义： 方差或标准差越 小，说明数据越稳定，波动越小。 解题技巧 1. 数据平移与伸缩性质 若数据 x₁, x₂, ..., xₙ 的方差为 s²，则： 新数据 x₁ + a, x₂ + a, ..., xₙ + a 的方差仍为 s²。 新数据 ax₁, ax₂, ..., axₙ 的方差为 a²s²。 2. 简化计算法 当原始数据较大时，可以先将所有数据减去一个接近平均数的常数 a，计算新数据的方差，其结果与原数据方差 相等。 3. 决策模型 在比较两组数据的优劣时，通常遵循：先看 平均数（反映水平），若平均数相同，再看 方差（反映稳定性）。 $