第四章 三角函数（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《基础模块上册》第四章三角函数B卷（能力提升），紧扣教材核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，整合知识网络，提升应试与应用能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|三角函数化简、象限角判断、函数性质|基础考点分层检测，强化概念辨析（数学思维的推理意识）| |填空题|6/24|扇形面积计算（扬州制扇）、赵爽弦图应用|融入文化传承素材，考查数学建模（数学眼光的几何直观）| |解答题|6/72|函数最值、三角恒等变换、几何综合应用（等腰梯形与圆）|综合知识应用，突出问题解决能力（数学语言的模型意识）|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 三角函数 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（    ） A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是134° D．若，则是第四象限角 4．已知角的终边经过，角的终边经过点，则__________0.（    ） A． B． C． D．无法判断 5．选择正确的是（    ） A． B．若 ， 且 ， 则 是第四象限角. C．若 ， 则 . D．若 ， 且 ， 则 . 6．在范围内，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 7．若是第三象限角，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 8．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值1 B．函数有最小值 C．当时，函数取得最小值 D．函数的值域为 9．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10．已知 是第三象限角，则 的值为（     ） A． B． C． D． 11．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 12．（   ） A． B． C． D． 13．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．若在第二象限，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 15．已知，，则（    ） A． B． C． D． 16．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（    ） A． B． C． D． 18．若，则（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．满足的角是______ 20．已知，则___________. 21．若角的终边经过点，其中，那么___________. 22．扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________． 23．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则________． 24．函数的值域为___________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知函数． (1)求的值． (2)求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值． 26．(本题10分)函数的最大值为，最小值为. (1)求实数a的值； (2)求该函数的单调递增区间； (3)若，求该函数的递增区间. 27．(本题12分)已知，求下列各式的值： (1)； (2). 28．(本题12分)已知. (1)求的值. (2)求的值. 29．(本题14分)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，以为圆心的圆经过点，且与轴相切于原点，点坐标为，. (1)求点坐标; (2)求阴影部分面积. 30．(本题14分)已知角的终边经过第二象限的点，且． (1)求的值； (2)求函数的周期、最大值及取最大值时对应的取值集合； (3)求函数的值域． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 三角函数 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数基本关系式进行化简即可得解. 【详解】， 因 ，故根式结果为 ， 故选：A. 2．下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数的单调性逐个分析即可. 【详解】， 则，故A错误， ， 则，故B错误， 因为，在上为减函数， 由，得，故C正确， ，所以，故D错误， 故选：C. 3．下列命题正确的是（    ） A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是134° D．若，则是第四象限角 【答案】C 【分析】根据任意角的概念和终边相同的角的概念即可求解. 【详解】由若，则是小于的角，但不是锐角，选项A错误； 为第二象限角而是第一象限角，所以第二象限角不一定大于第一象限角，选项B错误； 与终边相同的最小正角，选项C正确； 是第三象限角，选项D错误. 故选：C. 4．已知角的终边经过，角的终边经过点，则__________0.（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】根据题意，先根据角的终边上的点判断角所在象限，结合三角函数在各象限的符号，即可判断求解. 【详解】因为角的终边经过，角的终边经过点， 所以角是第一象限角，角是第二象限角， 所以0，则. 故选：C. 5．选择正确的是（    ） A． B．若 ， 且 ， 则 是第四象限角. C．若 ， 则 . D．若 ， 且 ， 则 . 【答案】B 【分析】由特殊角的三角函数值和三角函数值在各象限的符号逐项分析即可得解. 【详解】A选项： 由于，故，故A错误； B选项： 若 ，所以 可能在第一、四象限或轴负半轴， 又因为 ，所以 可能在第二、四象限，则 在第四象限，故B正确； C 选项： 若 ， 则 或，故C错误； D 选项： 若 ， 则 可能在第一、二象限， 且， 则 可能在第二、四象限，则 在第二象限，故，故D错误. 故选：B. 6．在范围内，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的概念即可求解. 【详解】与终边相同的角为：， 由题意，即，解得， 因为，所以， 所以， 所以在范围内，与终边相同的角为. 故选：C. 7．若是第三象限角，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系化简即可. 【详解】因为是第三象限角， 所以， 则 ， 故选：D. 8．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值1 B．函数有最小值 C．当时，函数取得最小值 D．函数的值域为 【答案】C 【分析】根据正弦函数及二次函数的性质，分析判断即可. 【详解】函数， 因为，所以当时， 函数取得最大值，故A错误； 当，即时，函数取得最小值， 所以函数的值域为，故B，D错误，C正确. 故选：C． 9．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的基本关系式与换元法，结合二次函数的值域即可得解. 【详解】因为， 令，则，此时可化为， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 所以， 又当时，， 当时，， 所以（即）的值域为. 故选：D. 10．已知 是第三象限角，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系式进行化简求解. 【详解】由同角三角函数的基本关系式可得 因为是第三象限角 所以 所以 则 故选：B. 11．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简，再由余弦函数的单调性确定值域即可. 【详解】， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 且，，， 所以函数的值域是， 故选：C. 12．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系化简. 【详解】. 故选：A. 13．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与之间的关系分别求出，再化简求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 因为，所以， 又，所以，因此， 所以， 因为，，所以， 故， 所以. 故选：C. 14．若在第二象限，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据三角函数在不同象限的符号即可解答 【详解】若在第二象限， 则，， 若，则为第三，四象限角，或终边在轴负半轴， 若，则为第一，三象限角， 所以角是第三象限角. 故选：C. 15．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解出与的值，再根据同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】已知，， 则有， 两式相减可得，即， ∴， ∴. 故选：D. 16．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可. 【详解】∵角的终边在第一象限， ∴，，则，， 当时，，，此时的终边落在第一象限， 当时，，此时的终边落在第二象限， 当时，，此时的终边落在第三象限， 综上，角的终边不可能落在第四象限， 故选：D . 17．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式化简求值即可. 【详解】， 故选：D. 18．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出的值，原式利用同角三角函数间基本关系化简，将的值代 入计算即可求出值. 【详解】将已知等式两边平方得：， 整理得：， 则 所以， 即. 故选：A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．满足的角是______ 【答案】或 【分析】先根据题干得到，结合角的范围即可解得. 【详解】因为，则， 在内，， 所以或， 又，则或. 故答案为：或. 20．已知，则___________. 【答案】1 【分析】利用正、余弦的齐次式的解法求解. 【详解】若，则原式左边为，矛盾，故. 已知，分子分母同时除以， 得，即，解得. 故答案为：1. 21．若角的终边经过点，其中，那么___________. 【答案】1 【分析】由任意角三角函数的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为：1. 22．扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________． 【答案】20 【分析】利用扇环形的面积和周长列出关于和的方程，求解出即可. 设，因为扇面的圆心角，所以，， 所以该扇面的周长为，即，整理得：. 扇形的面积，扇形的面积， 所以扇面的面积. 又 ，解得，即. 故答案为：20 23．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则________． 【答案】/ 【分析】根据已知得出小正方形边长，再结合三角恒等变换求出答案. 【详解】直角三角形中较小的内角为，则直角三角形的两条直角边分别为， 所以小正方形的边长为，所以，即， 即，所以，所以． 故答案为:． 24．函数的值域为___________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域和一元二次函数的性质即可求解. 【详解】令，所以， 为开口向上的抛物线，对称轴为， 当时，， 当时(比距离对称轴更远)，， 所以值域为， 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知函数． (1)求的值． (2)求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接代入，即可求解； （2）转化为关于的二次函数，根据的范围，求函数的最值. （1）； （2）， ， 当时，或，，函数取得最大值， 当时，，，函数取得最小值. 26．(本题10分)函数的最大值为，最小值为. (1)求实数a的值； (2)求该函数的单调递增区间； (3)若，求该函数的递增区间. 【答案】(1)-4 (2) (3)，. 【分析】（1）根据函数的最大值可得，再由最小值可得； （2）因为，所以正弦函数的单调递减区间就是所求函数的单调递增区间，从而可得结果； （3）由函数的单调递增区间与已知区间求交集可得函数在已知区间上的单调递增区间. （1）函数的最大值为，最小值为. 由题意，最大值为，可得，即. 又因为最小值为，可得，综上可得. （2）由（1）知，所以. 当，时，函数单调递增， 的单调递增区间为. （3）因为. 所以当时，的单调递增区间为和. 27．(本题12分)已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，所以，再分子分母同时除以，代入即可求值. （2）利用将的分母看做“1”，利用同角三角函数间基本关系变形，再分子分母除以，利用同角三角函数间基本关系化简，将的值代入计算即可求出值. 【详解】（1）因为，所以，. 所以； （2） . 28．(本题12分)已知. (1)求的值. (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知的值，两边平方再利用同角三角函数平方关系，即可求出； （2）把两边平方，再利用同角三角函数平方关系和的值进行求解. 【详解】（1）由，两边平方， ； （2）因为， 所以， ， 所以. 29．(本题14分)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，以为圆心的圆经过点，且与轴相切于原点，点坐标为，. (1)求点坐标; (2)求阴影部分面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意分析可得，再根据圆与轴相切于原点及，可得，进而可得点的坐标； （2）由（1）可知，可求得以为圆心角的扇形面积，再过点作垂直于交于点，求出梯形的面积，最后根据阴影部分的面积梯形的面积以为圆心角的扇形面积求解即可. 【详解】（1）四边形为等腰梯形，，， ，又，， ， 以为圆心的圆经过点，且与轴相切于原点， ， 点的坐标为. （2）由（1）知，， 以为圆心角的扇形面积， 过点作垂直于交于点，如图：   四边形为等腰梯形， ， ， 梯形的面积， 阴影部分的面积梯形的面积以为圆心角的扇形面积 . 30．(本题14分)已知角的终边经过第二象限的点，且． (1)求的值； (2)求函数的周期、最大值及取最大值时对应的取值集合； (3)求函数的值域． 【答案】(1) (2)最大值为7， (3) 【分析】（1）结合任意角三角函数的定义及诱导公式求解. （2）根据三角函数的周期、值域化简求解. （3）结合同角三角函数关系及值域求解. 【详解】（1） 所以，则，即 因为在第二象限，所以. （2）因为， 所以， ， 即，则 当时，，此时. （3） 令， 函数图像开口向下，且在上单调递增， 且， 故， . 则. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $