第19卷 函数的实际应用（教师讲解卷）-2027年河北省对口升学《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦函数实际应用，通过讲练结合构建从实际问题抽象函数模型的完整闭环，强化数学眼光、思维与语言的综合运用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像分析|3题|路程时间图/几何动态图/函数图像辨识|从图像直观抽象函数关系，培养几何直观与抽象能力| |几何应用|4题|矩形面积/花坛设计/直角三角形内接矩形|以几何量为载体，建立二次函数模型，体现空间观念| |经济问题|5题|利润最大化/成本核算/费用计算|通过经济情境构建分段函数、二次函数，发展模型意识| |综合应用|2题|研修费用/账户余额|整合多类函数模型，强化问题转化与推理能力|

编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第19卷 函数的实际应用 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：m）与时间（单位：min）的函数关系图像．则下列结论正确的是（   ） A．后800m的速度为 B．中途停留了10min C．后800m速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 2．如图，矩形ABCD中，，，O是AB边的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记．当点P从B点开始沿运动过程中，的面积记为，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0．在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（    ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象如图所示，则此函数在上的最小值，最大值分别是（    ） A．，3 B．0，2 C．，2 D．3，2 5．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在或以下，飞机票每人收费元；若旅游团的人数多于，则实行优惠方案，每多人，机票费每张减少元，但旅游团的人数最多为，则该旅行社可获得利润的最大值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．某机械装置输出功率恒为240W，牵引力与速度满足 ​，当速度时牵引力为（    ）． A．50N B．60N C．70N D．80N 7．某社区超市的某种商品的日利润（单位：元）与该商品的当日售价（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．5元 B．6元 C．7元 D．元 8．某账户余额（元）随时间（月）变化满足，余额降为元需要（    ）. A．8个月 B．10个月 C．12个月 D．15个月 9．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   10．用长为8米的绳子围成一个矩形框，矩形框的最大面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．某汽车运输公司购买一批大客车投入运营．根据市场分析，每辆车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数满足二次函数关系，如图所示，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．      12．某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件那么要保证每天所赚的利润最大化，每件销售价为____________元． 13．已知矩形的周长为12cm，设矩形的宽为，面积为，则y与x的函数关系式是___________. 14．给出函数的两个性质：①是偶函数；②在上是减函数.写出一个同时满足性质①、性质②的函数解析式______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．人工智能技术迅猛发展，推动各行业创新变革.某公司为增强在人工智能、大数据等前沿技术领域的核心竞争力，计划从90名技术人员中选人参加为期一个月的人工智能前沿技术高级研修营.研修总费用包括两部分：一是为每位参研人员配备一套价值2000元的AI开发实训套件；二是向培训机构支付的培训费.根据协议，参研人数不超过30人时，培训机构收取的培训费为12000元/人；若参研人数超过30人，每超出1人，每人的培训费相应减少100元.设参研人数为人，此次研修的总费用为元. (1)当参研人数为40人时，每位参研人员的培训费用为多少元？ (2)求出与之间的函数关系式： (3)当参研人数为多少时，此次研修的总费用最大，最大费用为多少元？ 16．为了优化居住环境，某小区计划在空地上修建一个边长为的正方形花坛，点，分别在，，且. (1)设，四边形的面积为，求关于的函数关系式； (2)若分别在和内种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是 8元和 7 元；在四边形内种植草坪，每平方米的种植成本为6元．那么在这个花坛内种植花卉和草坪至少需要花费多少元？ 17．某种商品每件成本为5元，经市场调查发现，若售价定为16元/件，可以卖出100件，单价每提高1元，则销售量减少4件，问当售价定为多少元时利润最大？最大利润为多少元？（为了结算方便，该商场的所有商品售价为整数） 18．如图，某班级要在一块直角三角形的空地上围出一块矩形区域作为劳动实践教育基地，矩形两边落在两条直角边上，矩形一个顶点在直角三角形斜边上.已知直角三角形两条直角边、分别为4米和8米，设为米.    (1)用表示； (2)写出矩形面积与边长的函数关系式； (3)当边长为何值时矩形面积最大，并求出最大面积. 试卷第10页，共10页 试卷第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第19卷 函数的实际应用 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：m）与时间（单位：min）的函数关系图像．则下列结论正确的是（   ） A．后800m的速度为 B．中途停留了10min C．后800m速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 【答案】A 【分析】观察图像，针对选项，利用函数，即可求解. 【详解】对于A：后800m的速度为，选项A正确，符合题意； 对于B：中途停留了，选项B错误，不符合题意； 对于C：当时，关于的函数图象是线段， 即后800m速度不变，选项C错误，不符合题意； 对于D：整个登山过程的平均速度为，选项D错误，不符合题意． 故选：A. 2．如图，矩形ABCD中，，，O是AB边的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记．当点P从B点开始沿运动过程中，的面积记为，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出变化时的面积的解析式后可得正确的判断. 【详解】 当在线段上时，，其中， 当在线段上时，， 当在线段上时，，此时， ABCD中的图象，只有A符合， 故选：A. 3．已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0．在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况，分别求对应的函数式，最后用分段函数表示即可. 【详解】由题可知， ①当，即时，； ②当时，； ③当，即时， ； 综上所述，. 故选：D 4．函数的部分图象如图所示，则此函数在上的最小值，最大值分别是（    ） A．，3 B．0，2 C．，2 D．3，2 【答案】C 【分析】分析函数图像即可得到函数的最值即可得解. 【详解】当时，由题图可知，时，的最小值为； 当时，的最大值为， 故选：. 5．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在或以下，飞机票每人收费元；若旅游团的人数多于，则实行优惠方案，每多人，机票费每张减少元，但旅游团的人数最多为，则该旅行社可获得利润的最大值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元，利用一次函数和二次函数的性质，分别求出当时和当时利润的最大值即可. 【详解】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元， 当时，，， 显然当时，有最大值，最大值为； 当时，， ， 显然当时，有最大值，最大值为. 所以该旅行社可获得利润的最大值为元. 故选：B. 6．某机械装置输出功率恒为240W，牵引力与速度满足 ​，当速度时牵引力为（    ）． A．50N B．60N C．70N D．80N 【答案】B 【分析】根据题意，将代入函数解析式，求解即可. 【详解】因为牵引力与速度满足 ， 所以将代入，得． 故选：B. 7．某社区超市的某种商品的日利润（单位：元）与该商品的当日售价（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．5元 B．6元 C．7元 D．元 【答案】B 【分析】求一元二次函数最大值即可解得. 【详解】， 所以当时，取最大值， 故选：B 8．某账户余额（元）随时间（月）变化满足，余额降为元需要（    ）. A．8个月 B．10个月 C．12个月 D．15个月 【答案】B 【分析】将代入解析式中即可得解. 【详解】账户余额（元）随时间（月）变化满足， 余额降为元时，，解得月， 故选：. 9．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据一次函数和反比例函数的图像即可判断. 【详解】对于直线经过点，则只有C、D选项满足， 通过C、D选项可得，反比例函数图像经过二、四象限，故选项错误，D正确. 故选：D. 10．用长为8米的绳子围成一个矩形框，矩形框的最大面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意，建立函数关系，即可求解. 【详解】设长方形的长为，则宽为， 则面积， 当时，S最大值为4. 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．某汽车运输公司购买一批大客车投入运营．根据市场分析，每辆车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数满足二次函数关系，如图所示，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．      【答案】5 【分析】根据图像先求二次函数,再利用基本不等式求年平均利润最大易得答案. 【详解】由题意设,过点, 所以,解得, 所以, 所以年平均利润, 当且仅当,因为,解得. 故答案为:. 12．某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件那么要保证每天所赚的利润最大化，每件销售价为____________元． 【答案】 【分析】销售价格为每件元，销量为，建立销售价格和利润的函数关系式，然后再由二次函数的性质求最大值即可求解. 【详解】设销售价定为每件元，利润为元，则销量为， 由可得，， 利润为 ， 所以当销售价格为每件元时，每天所赚的利润最大， 故答案为：. 13．已知矩形的周长为12cm，设矩形的宽为，面积为，则y与x的函数关系式是___________. 【答案】 【分析】根据长方形长宽与周长和面积的数量关系，同时注意长宽的取值范围，求解即可. 【详解】因为矩形的周长为12，矩形的宽为，所以矩形的长为， 所以矩形的面积，由，得， 所以y与x的函数关系式是， 故答案为：. 14．给出函数的两个性质：①是偶函数；②在上是减函数.写出一个同时满足性质①、性质②的函数解析式______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的两个性质，写出符合条件的函数即可. 【详解】的定义域为，且，则为偶函数， 因为二次函数开口向下，对称轴为，所以在上为减函数. 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．人工智能技术迅猛发展，推动各行业创新变革.某公司为增强在人工智能、大数据等前沿技术领域的核心竞争力，计划从90名技术人员中选人参加为期一个月的人工智能前沿技术高级研修营.研修总费用包括两部分：一是为每位参研人员配备一套价值2000元的AI开发实训套件；二是向培训机构支付的培训费.根据协议，参研人数不超过30人时，培训机构收取的培训费为12000元/人；若参研人数超过30人，每超出1人，每人的培训费相应减少100元.设参研人数为人，此次研修的总费用为元. (1)当参研人数为40人时，每位参研人员的培训费用为多少元？ (2)求出与之间的函数关系式： (3)当参研人数为多少时，此次研修的总费用最大，最大费用为多少元？ 【答案】(1)每位参研人员的培训费用为元 (2) (3)当参研人数为人时，此次研修的总费用最大，最大费用为元 【分析】（1）根据参研人数超过30人时，每人培训费的变化规则来计算； （2）需要分参研人数不超过30人和超过30人两种情况来讨论，分别列出函数关系式； （3）根据(2)中得到的函数关系式，分别求出两种情况下的最大值，再进行比较. 【详解】（1）当参研人数为40人时，超出30人的人数为10人， 那么每人减少的培训费为元. 所以每位参研人员的培训费用为：元， 即每位参研人员的培训费用为元； （2）当时， ； 当时， ； 所以与之间的函数关系式为： ； （3）当时，，即； 当时， ， 所以当时，； 即当参研人数为人时，此次研修的总费用最大，最大费用为元. 16．为了优化居住环境，某小区计划在空地上修建一个边长为的正方形花坛，点，分别在，，且. (1)设，四边形的面积为，求关于的函数关系式； (2)若分别在和内种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是 8元和 7 元；在四边形内种植草坪，每平方米的种植成本为6元．那么在这个花坛内种植花卉和草坪至少需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）用正方形的面积减去和的面积，列出函数解析式即可. （2）构建二次函数模型，再由二次函数顶点式求其最值即可. 【详解】（1）设，因为， 则，， 所以. （2）设共花费元， 则 ， 其中，图像开口向上， 所以当（m）时，（元）， ∴在这个花坛内种植花卉和草坪至少需要花费元. 17．某种商品每件成本为5元，经市场调查发现，若售价定为16元/件，可以卖出100件，单价每提高1元，则销售量减少4件，问当售价定为多少元时利润最大？最大利润为多少元？（为了结算方便，该商场的所有商品售价为整数） 【答案】当售价定为23元时，利润最大，最大利润为1296元. 【分析】根据题意，列出函数解析式，利用二次函数的最大值求解. 【详解】设售价定为元， 根据题意，销售数量为件， 利润， 化简可得， 根据二次函数的性质：当时，函数有最大值元， 所以，当售价定为23元时，利润最大，最大利润为1296元. 18．如图，某班级要在一块直角三角形的空地上围出一块矩形区域作为劳动实践教育基地，矩形两边落在两条直角边上，矩形一个顶点在直角三角形斜边上.已知直角三角形两条直角边、分别为4米和8米，设为米.    (1)用表示； (2)写出矩形面积与边长的函数关系式； (3)当边长为何值时矩形面积最大，并求出最大面积. 【答案】(1) (2) (3)当边长等于2米时，矩形的面积最大，最大面积是8平方米. 【分析】（1）由与相似可得出与的关系. （2）由（1）用表示，利用面积公式即可写出矩形面积与边长的关系. （3）由（2）求出的二次函数，根据二次函数的图象和性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可得，， 所以与相似， 可得，为米 （2）由（1）， 矩形的面积， 即 （3）由（2）得， 该二次函数图象开口向下， 故当米时，平方米 所以当边长等于2米时，矩形的面积最大，最大面积是8平方米. 试卷第10页，共10页 试卷第4页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $