第五章 指数函数与对数函数（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.化简⋅÷() 的结果为（ ） A.a B. C. D. 答案：A 考点：实数指数幂的运算法则 解析：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。 原式====a。 2.已知=5，=2，则 =（ ） A. B. C. D. 答案：A 考点：指数幂的运算性质 解析：根据指数幂的运算法则，=，=(am)n。 3x−2y=3x÷32y=3x÷(3y)2，代入3x=5，3y=2，得5÷22=。 3.下列函数是指数函数且在R上单调递减的是（ ） A.y= B.y= C.y= D.y= 答案：B 考点：指数函数的定义与单调性 解析：指数函数的标准形式为y=ax（a>0且a1），当0<a<1时，函数在R上单调递减。 A 选项：y=2x是指数函数，但单调递增； C 选项：y=x2是二次函数，不是指数函数； D 选项：y=−2x系数为-1，不是标准指数函数； B 选项：y=0.5x符合指数函数定义，且0<0.5<1，单调递减。 4.函数y=+2的图象恒过定点（ ） A.(3,2) B.(3,3) C.(0,2) D.(2,3) 答案：B 考点：指数函数的过定点问题 解析：指数函数y=ax恒过定点(0,1)。令指数部分x−3=0，得x=3，此时y=20+2=1+2=3，因此函数恒过定点(3,3)。 5.设a=，b=，c=，则a,b,c的大小关系是（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 答案：B 考点：指数与对数的大小比较（中间量法） 解析：分别判断三个数与0、1的大小关系：a=20.3：底数2>1，指数0.3>0，故20.3>20=1；b=0.32=0.09，故0<b<1；c=：底数2>1，真数0.3<1，故<=0。因此大小关系为c<b<a。 6.函数y=的定义域是（ ） A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.[4,+∞) D.(−∞,2] 答案：A 考点：指数型函数的定义域求解 解析：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即4x−16≥0，4x≥42。因为y=4x在R上单调递增，所以x≥2，定义域为[2,+∞)。 7.对数式中实数x的取值范围是（ ） A.(2,5) B.(2,3)∪(3,5) C.(3,5) D.(2,+∞) 答案：B 考点：对数式的定义域限制 解析：对数式有意义的条件是：底数b>0且b1，真数N>0。 因此需满足： ，解得，即x∈(2,3)∪(3,5)。 8.计算⋅=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 考点：对数的换底公式 解析：换底公式：=（a>0且a1，c>0且c1）。 原式=×====2。 9.已知lg2=a，lg3=b，则lg12 =（ ） A.2a+b B.a+2b C.a+b D.2ab 答案：A 考点：对数的运算法则 解析：lg12=lg(4×3)=lg4+lg3=lg22+lg3=2lg2+lg3。代入lg2=a，lg3=b，得2a+b。 10.函数y=的单调递增区间是（ ） A.(1,+∞) B.(−∞,1) C.(−∞,0) D.(2,+∞) 答案：C 考点：复合函数的单调性（同增异减） 解析：令t=x2−2x，则原函数可表示为y=。 第一步：求定义域。 t=x2−2x>0，解得x<0或x>2。 第二步：分析内外层函数的单调性。 外层函数y=：底数0<<1，在(0,+∞)上单调递减； 内层函数t=x2−2x：开口向上，对称轴为x=1，在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。 第三步：根据“同增异减”，复合函数的单调递增区间是内外层单调性相反的区间， 即(−∞,0)。 11.若<1（a>0,a1），则实数a的取值范围是（ ） A.(0,) B.(,+∞) C.(0,)∪(1,+∞) D.(,1) 答案：C 考点：对数不等式的解法（分类讨论） 解析：将不等式右边的1化为，即<，分两种情况讨论： 当a>1时，对数函数y=单调递增，不等式等价于<a，结合a>1，得a>1； 当0<a<1时，对数函数y=单调递减，不等式等价于>a，结合0<a<1，得0<a<。 综上，a的取值范围是(0,)∪(1,+∞)。 12.函数y=+1的值域是（ ） A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(−∞,1) 答案：B 考点：指数型函数的值域求解 解析：y=3−x+1=()x+1。因为()x>0，所以()x+1>1，即函数的值域为(1,+∞)。 13.已知函数f(x)=，若f(a)=1，则a=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 考点：对数函数的求值 解析：已知f(a)==1，根据对数的定义，a+1=21=2，解得a=1。 14.已知ln2=m，ln3=n，则=（ ） A.m+n B. C. D.mn 答案：B 考点：对数的换底公式 解析：根据换底公式，=，代入ln2=m，ln3=n，得。 15.某产品成本每年降低20%，若现在成本为100元，x年后成本为y元，则函数关系式为（ ） A.y=100× B.y=100× C.y=100× D.y=100× 答案：B 考点：指数函数模型（衰减问题） 解析：成本每年降低20%，即每年的成本是上一年的1−20%=80%=0.8倍。因此x年后的成本y=100×0.8x。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16.计算：+lg2⋅lg50= 。 答案：1 考点：对数的运算性质（lg2+lg5=1的应用） 解析：原式=(lg5)2+lg2⋅lg(5×10) =(lg5)2+lg2⋅(lg5+lg10) =(lg5)2+lg2⋅lg5+lg2⋅1 =lg5(lg5+lg2)+lg2 =lg5⋅lg(5×2)+lg2 =lg5⋅lg10+lg2 =lg5+lg2 =lg10=1。 17. 若指数函数y=在R上单调递减，则 a∈ 。 答案：(−2,−)∪(,2) 考点：指数函数的单调性 解析：指数函数y=ax在R上单调递减的条件是0<a<1。 因此对于y=(a2−3)x，需满足0<a2−3<1，即： ，解得。取交集得a∈(−2,−)∪(,2)。 18. 函数y=的值域为 。 答案：[0,+∞) 考点：对数型函数的值域求解 解析：令t=x2−4x+5，先求t的取值范围。t=x2−4x+5=(x−2)2+1，因为(x−2)2≥0，所以t≥1。外层函数y=在[1,+∞)上单调递增，因此当t=1时，y取得最小值=0，即函数的值域为[0,+∞)。 19. 方程=16的解为x= 。 答案：3 考点：解指数方程 解析：将方程两边化为同底数幂，16=24，因此原方程可化为2x+1=24。因为指数函数y=2x是单调函数，所以指数相等，即x+1=4，解得x=3。 20.已知f(x)=+在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a= 。 答案：​ 考点：指数函数与对数函数的单调性综合 解析：分两种情况讨论a的取值： 当a>1时，y=ax在[0,1]上单调递增，y=在[0,1]上也单调递增，因此f(x)在[0,1]上单调递增。最大值为f(1)=a+，最小值为f(0)=a0+=1+0=1。由题意得a++1=a，即=−1，解得a=，与a>1矛盾，舍去。 当0<a<1时，y=ax在[0,1]上单调递减，y=在[0,1]上也单调递减，因此f(x)在[0,1]上单调递减。最大值为f(0)=1，最小值为f(1)=a+。由题意得1+a+=a，即=−1，解得a=，符合0<a<1。综上，a=。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.计算（每小题5分） (1) −++ (2) lg25+lg2⋅lg50+ 答案：(1)；(2)2 考点：分数指数幂、零指数幂、负指数幂的混合运算 解析： (1)原式=−1+(−2)−4+​ （2分） =0.4−1−1++2−3 （3分） =−1++​ （4分） =−++=​ （5分） 考点：对数的运算法则与lg2+lg5=1的灵活应用 (2)原式=lg52+lg2⋅lg(5×10)+(lg2)2 （1分） =2lg5+lg2⋅(lg5+1)+(lg2)2 （2分） =2lg5+lg2⋅lg5+lg2+(lg2)2 （3分） =2lg5+lg2(lg5+lg2)+lg2 （4分） =2lg5+lg2⋅lg10+lg2=2lg5+2lg2=2(lg5+lg2)=2lg10=2 （5分） 22.已知函数f(x)=，求： (1) 函数的定义域；（4分） (2) 函数的单调递减区间。（6分） 答案：(1)定义域(−∞,−1)∪(3,+∞)；(2)单调递减区间(3,+∞) 解析：(1)要使对数有意义，需满足真数大于0，即：x2−2x−3>0 （1分） 因式分解得(x−3)(x+1)>0 （2分） 解得x<−1或x>3 （3分） 因此函数的定义域为(−∞,−1)∪(3,+∞) （4分） (2)令t=x2−2x−3，则原函数可表示为y=。外层函数y=：底数0<<1，在(0,+∞)上单调递减。（1分） 内层函数t=x2−2x−3：开口向上，对称轴为x=1。（2分） 根据“同增异减”，复合函数的单调递减区间是内外层单调性相同的区间。（3分） 结合定义域(−∞,−1)∪(3,+∞)，内层函数在(3,+∞)上单调递增。（5分） 因此函数f(x)的单调递减区间为(3,+∞) （6分） 23.已知=a，=b，用a,b表示下列各式： (1)；（4分） (2)。（6分） 答案：(1) 2a+b；(2) 2a−b 解析：(1)0=log3(4×5)=log34+log35 （2分） =log322+log35=2log32+log35 （3分） 代入log32=a，log35=b，得2a+b （4分） (2)log30.4=log3​ （2分） 根据对数的减法法则，loga=logaM−logaN （3分） 因此log3=log32−log35 （4分） 代入log32=a，log35=b，得a−b （6分） 24.某林场现有木材存量为a立方米，森林以每年25%的增长率生长，若每年年底砍伐x立方米，问： (1) 写出第1年底、第2年底木材存量的表达式；（4分） (2) 若经过10年木材存量变为原来的4倍，求x（用a表示）。（6分） 答案：(1) 第1年底：a−x；第2年底：()2a−x−x；(2) x= 解析：(1) 第1年底：现有木材生长25%后为a(1+25%)=a，砍伐x立方米后，存量为a−x。（2分） 第2年底：第1年底的存量生长25%后为(a−x)×，再砍伐x立方米后，存量为()2a−x−x。（4分） (2)以此类推，第10年底的木材存量为：()10a−x[()9+()8+⋯+()+1] （2分） 括号内是首项为1，公比为的等比数列前10项和，根据等比数列求和公式Sn=，得：()9+⋯+1=4[()10−1] （4分） 由题意，第10年底存量为原来的4倍，即4a，因此：()10a−4x[()10−1]=4a （5分） 移项求解x：4x[()10−1]=()10a−4a x=​ （6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.化简⋅÷() 的结果为（ ） A.a B. C. D. 2.已知=5，=2，则 =（ ） A. B. C. D. 3.下列函数是指数函数且在R上单调递减的是（ ） A.y= B.y= C.y= D.y= 4.函数y=+2的图象恒过定点（ ） A.(3,2) B.(3,3) C.(0,2) D.(2,3) 5.设a=，b=，c=，则a,b,c的大小关系是（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 6.函数y=的定义域是（ ） A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.[4,+∞) D.(−∞,2] 7.对数式中实数x的取值范围是（ ） A.(2,5) B.(2,3)∪(3,5) C.(3,5) D.(2,+∞) 8.计算⋅=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知lg2=a，lg3=b，则lg12 =（ ） A.2a+b B.a+2b C.a+b D.2ab 10.函数y=的单调递增区间是（ ） A.(1,+∞) B.(−∞,1) C.(−∞,0) D.(2,+∞) 11.若<1（a>0,a1），则实数a的取值范围是（ ） A.(0,) B.(,+∞) C.(0,)∪(1,+∞) D.(,1) 12.函数y=+1的值域是（ ） A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(−∞,1) 13.已知函数f(x)=，若f(a)=1，则a=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 14.已知ln2=m，ln3=n，则=（ ） A.m+n B. C. D.mn 15.某产品成本每年降低20%，若现在成本为100元，x年后成本为y元，则函数关系式为（ ） A.y=100× B.y=100× C.y=100× D.y=100× 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16.计算：+lg2⋅lg50= 。 17.若指数函数y=在R上单调递减，则 a∈ 。 18.函数y=的值域为 。 19.方程=16的解为x= 。 20.已知f(x)=+在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a= 。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.计算（每小题5分） (1) −++ (2) lg25+lg2⋅lg50+ 22.已知函数f(x)=，求： (1) 函数的定义域；（4分） (2) 函数的单调递减区间。（6分） 23.已知=a，=b，用a,b表示下列各式： (1)；（4分） (2) 。（6分） 24.某林场现有木材存量为a立方米，森林以每年25%的增长率生长，若每年年底砍伐x立方米，问： (1) 写出第1年底、第2年底木材存量的表达式；（4分） (2) 若经过10年木材存量变为原来的4倍，求x（用a表示）。（6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $