专题07 分段函数（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题07 分段函数 【复习目标】 （1） 了解分段函数的概念（在其定义域的不同子集上，对应关系不同而分别用不同的式子表示）。 （2） 会求简单分段函数的函数值（已知自变量求函数值）。 （3） 会求分段函数的定义域（各段定义域的并集）与值域（各段值域的并集）。 （4）了解分段函数虽由几个部分组成，但表示的是一个函数。 （5）会根据实际情境建立简单的分段函数模型，并能简单应用。 考点1 分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作 ． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的 的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的 和 在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的 即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于 对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是 ；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是 。 【即时训练】 1．定义运算，则函数的大致图像是（   ） A．   B．   C．   D．   2．已知分段函数，则（   ） A． B． C．5 D．6 3．若函数，则等于（    ） A．2 B．0 C．1 D． 4．已知函数则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知函数，则（   ）． A．16 B．4 C．8 D．2 6．已知分段函数，若函数的定义域为，则集合为（   ）． A． B． C． D．和都可以 7．设函数，，则实数的值为（   ）. A． B． C．2 D． 8．“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 9．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 10．在函数，则等于（   ） A．0 B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A．1 B． C． D． 12．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．已知函数，则_______________________. 14．若函数，则__________. 15．某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠.某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为__________元. 16．设函数，则_________． 17．已知函数，，则______. 18．函数，则 ____________. 19．某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 20．已知函数 (1)求函数的定义域； (2)求，． 21．已知函数，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）已知分段函数，其中. （1）求实数a的值； （2）求的值，求函数的定义域； （3）已知，求n的值. 2.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第6题）已知函数，求（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题07 分段函数 【复习目标】 （1） 了解分段函数的概念（在其定义域的不同子集上，对应关系不同而分别用不同的式子表示）。 （2） 会求简单分段函数的函数值（已知自变量求函数值）。 （3） 会求分段函数的定义域（各段定义域的并集）与值域（各段值域的并集）。 （4）了解分段函数虽由几个部分组成，但表示的是一个函数。 （5）会根据实际情境建立简单的分段函数模型，并能简单应用。 考点1 分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点(y轴）对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 【即时训练】 1．定义运算，则函数的大致图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性结合所给代数式可判断. 【详解】因为，则函数， 又因为，解得，，解得， 所以函数， 当时，函数图像为一条直线， 当时，函数图像为一条曲线，且为增函数， 综上所述：函数的大致图像是A选项的图象. 故选：A. 2．已知分段函数，则（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知分段函数， 因为，所以， 故选：D. 3．若函数，则等于（    ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入第二段函数解析式求解即可. 【详解】函数， 则. 故选：D. 4．已知函数则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据自变量的取值范围，代入对应的表达式求值即可. 【详解】由题可得，，故. 故选：B. 5．已知函数，则（   ）． A．16 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】根据自变量的不同取值代入函数解析式求解即可. 【详解】∵函数， ∴， ∴. 故选：B. 6．已知分段函数，若函数的定义域为，则集合为（   ）． A． B． C． D．和都可以 【答案】A 【分析】根据分段函数各分段定义域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 又定义域各分段不能重叠，故 所以集合. 故选：A. 7．设函数，，则实数的值为（   ）. A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数解析式，求出和的值，分类讨论和两种情况，代入即可求解. 【详解】因为函数，， 又，所以， 当时，，解得； 当时，，解得，舍去； 所以. 故选：B. 8．“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得分段函数值小于等于200时的的范围，即可确定该天适宜开展户外活动的时长. 因为， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 综上，. 所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 故选：C. 9．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. ∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 10．在函数，则等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自变量的范围，代入相应的函数表达式中，计算可得结果. 【详解】因为，所以. 故选：D． 11．已知函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式代入求解即可. 【详解】因为函数，则. 故选：D. 12．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式求解即可. 【详解】因为函数，所以. 则. 故选：C. 13．已知函数，则_______________________. 【答案】0 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数，则. 故答案为：. 14．若函数，则__________. 【答案】-1 【分析】根据，可得，即 因为， 所以 又， 所以 故答案为：. 15．某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠.某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为__________元. 【答案】590 【分析】设此人这次在该商场购物不优惠，共花费元，分析出，从而得到方程，求出答案. 设此人这次在该商场购物不优惠，共花费元，显然， 若，则最多优惠元，小于60元， 故，所以，解得， 所以此人这次在该商场购物实际所付金额为元. 故答案为：590 16．设函数，则_________． 【答案】 【分析】根据自变量的范围代入函数表达式求解即可. 【详解】因为函数， 又，所以， 又，所以. 故答案为：4. 17．已知函数，，则______. 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域，逐步确定函数值. 【详解】由题意，，所以. 故答案为：. 18．函数，则 ____________. 【答案】21 【分析】根据自变量的不同取值代入不同的函数解析式求解即可. 【详解】∵函数， ∴， 则. 故答案为：21. 19．某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【答案】元 【分析】由，再由题意，即可求解. 因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， 故答案为：元. 20．已知函数 (1)求函数的定义域； (2)求，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数各段对应的定义域求其并集即可； （2）由分段函数的解析式代入求解即可. 【详解】（1）因为函数， 所以函数的定义域为. （2）因为，所以； 因为，所以. 21．已知函数，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可. （2）根据分段函数的解析式求出，再根据指数运算求解即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以，解得； （2）由（1）得， 因为，所以，而， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）已知分段函数，其中. （1）求实数a的值； （2）求的值，求函数的定义域； （3）已知，求n的值. 【答案】（1）2 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式列方程求解即可. （2）分别将代入合适的解析式中，求出的值，再由函数的解析式确定函数的定义域即可. （3）分别讨论为奇数与为偶数两种情况，再由指数函数的单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 已知分段函数， 其中，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 所以； 易知的定义域为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 当n为奇数时，有，即， 因为在上为增函数， 所以，且n为奇数，所以， 当n为偶数时， 有，解得， 且n为偶数，所以， 综上所述，n的值为. 2.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第6题）已知函数，求（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数自变量，代入函数，即可得出函数值. 【详解】由函数自变量，所以， 即. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $