专题08 函数的单调性与奇偶性（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题08 函数的单调性与奇偶性 【复习目标】 1. 函数的单调性 （1）理解增函数、减函数的定义及单调区间的概念，能用符号语言表述函数在某一区间上的单调性。 （2）掌握利用图像观察法、定义法判断或证明常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性。 （3）会根据单调性求函数的最值，会用单调性比较函数值的大小。 2. 函数的奇偶性 （1）理解奇函数、偶函数的定义，了解函数奇偶性的几何特征（图像关于原点或y轴对称）。 （2）能根据定义判断或证明函数的奇偶性，掌握常见函数的奇偶性结论。 （3）能利用奇偶性求函数值或函数解析式（已知奇偶性求参数或未知区间的表达式）。 3. 单调性与奇偶性的综合应用 （1）能结合函数的单调性与奇偶性分析函数的图像特征。 （2）能利用单调性与奇偶性解不等式或比较大小（例如偶函数转化为对称区间上的单调性问题）。 考点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调 ，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是 。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调 ，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是 ． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的 ． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个 ，且； 第二步：变形． 变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或 变形； 第三步：定号．判断差的 或商与 的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调 当时，在上单调 反比例函数（） 当时，在和上单调 当时，在和上单调 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调 ； 在上单调 当时，在上单调 ； 在上单调 【即时训练】 1．下列函数中，在区间 上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．某人的某项身体指标y随时间x（时）变化的函数图像如图所示.区间是该函数的一个增区间，则下列选项中同为该函数增区间的是（   ）    A． B． C． D． 3．若函数是R上的减函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知奇函数的图象是一条曲线，在区间是增函数，在区间上是减函数，则函数在区间的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．已知是上的增函数，是其图像上的一点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中，为奇函数且在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 7．下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 8．已知奇函数的定义域为，且函数是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知偶函数在上是减函数，若，则不等式的解集为________. 10．已知奇函数在区间上是增函数，且，则的解集是__________． 11．求函数的定义域和单调递增区间． 12．已知. (1)画出的图象. (2)根据图象写出的单调区间和值域. 考点2 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做 ． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做 ． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于 对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于 ． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为 ． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为 ． 若 ，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数是 ． ②两个偶函数的和函数、积函数是 ． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是 ． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则 . 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与 有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 【即时训练】 13．已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，且，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．与无大小关系 14．已知函数是偶函数，且当时严格单调递减，则（    ） A． B． C． D． 15．下列函数在其定义域内为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 16．若函数在R上为奇函数，且，则（   ） A． B． C．0 D． 17．设函数是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 18．下列函数是偶函数的是（   ）. A． B． C． D． 19．若函数是偶函数，则（   ） A．2 B． C． D． 20．已知是奇函数，若当时，，其中，则当时，的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   21．设为定义在上的偶函数，且在上是增函数，则，，由大到小的排列顺序为______. 22．设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 23．已知函数. (1)求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程； (2)判断该函数的奇偶性，并说明理由. 24．已知奇函数定义域为，函数图像过点，，且当时，.求： (1)与的值； (2)的解集. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，哪个为非奇非偶函数（ ） A. B. C. D. 2.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）已知分段函数，其中. （1）求实数a的值； （2）求的值，求函数的定义域； （3）已知，求n的值. 3.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）下列各函数中，是奇函数的是（ ）． A. B. C. D. 4.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，是偶函数为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题08 函数的单调性与奇偶性 【复习目标】 1. 函数的单调性 （1）理解增函数、减函数的定义及单调区间的概念，能用符号语言表述函数在某一区间上的单调性。 （2）掌握利用图像观察法、定义法判断或证明常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性。 （3）会根据单调性求函数的最值，会用单调性比较函数值的大小。 2. 函数的奇偶性 （1）理解奇函数、偶函数的定义，了解函数奇偶性的几何特征（图像关于原点或y轴对称）。 （2）能根据定义判断或证明函数的奇偶性，掌握常见函数的奇偶性结论。 （3）能利用奇偶性求函数值或函数解析式（已知奇偶性求参数或未知区间的表达式）。 3. 单调性与奇偶性的综合应用 （1）能结合函数的单调性与奇偶性分析函数的图像特征。 （2）能利用单调性与奇偶性解不等式或比较大小（例如偶函数转化为对称区间上的单调性问题）。 考点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 1．下列函数中，在区间 上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、一次函数、反比例函数以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】选项A.中，则该函数在区间 上是减函数. 选项B.在区间 上是减函数. 选项C.图像开口向上，对称轴为，在区间 上是增函数. 选项D.中，在区间 上是减函数. 故选：C. 2．某人的某项身体指标y随时间x（时）变化的函数图像如图所示.区间是该函数的一个增区间，则下列选项中同为该函数增区间的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像确定增区间即可. 【详解】观察图像可知，图像上升的区间为与， 所以区间是该函数的一个增区间， 则同为该函数增区间的是， 故选：B. 3．若函数是R上的减函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是R上的减函数，所以， 解得，即k的取值范围是. 故选：C. 4．已知奇函数的图象是一条曲线，在区间是增函数，在区间上是减函数，则函数在区间的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数图象关于原点对称这一性质，结合已知区间的单调性求解. 【详解】对于奇函数，其图象关于原点对称. 已知在区间是增函数，则在区间上也是增函数， 又已知在区间上是减函数，则在区间上是减函数， 综上，函数在区间的单调递增区间是， 故选：C. 5．已知是上的增函数，是其图像上的一点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增函数的性质即可求解. 【详解】因为是其图像上的一点，所以，则即， 因为是上的增函数，所以，即不等式的解集是. 故选：B. 6．下列函数中，为奇函数且在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义及常见函数的单调性判断. 【详解】选项A：对于一次函数，一次项系数，可知在上是减函数，故A错误； 选项B：在上单调递增，在上单调递减， 则在上不是单调递增函数，故B错误； 选项C：函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 选项D：设，其定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数， 因为在区间上均为增函数， 所以在区间上为增函数，故D正确， 故选：D. 7．下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义与常见函数的单调性判断各选项. 【详解】对于A，因为函数中，的系数为，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为的定义域为，关于原点对称， ，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，因为正弦函数是奇函数，在上单调递增，故C正确； 对于D，因为的定义域为，关于原点对称， ，所以不是奇函数，故D错误． 故选：C． 8．已知奇函数的定义域为，且函数是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质以及函数的单调性和定义域来确定实数的取值范围. 【详解】已知是奇函数，则， 由，可得， 根据奇函数性质进一步得到， 因为是减函数， 所以当时，有，解得， 函数的定义域为， 所以和都要在定义域内，可列出不等式组，可得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 9．已知偶函数在上是减函数，若，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】利用偶函数的对称性，结合已知区间的单调性，确定函数在整个定义域上的单调性，进而求解不等式即可. 【详解】因为函数在上是减函数，且， 则有时，； 且函数是偶函数，则， 且函数在区间上是增函数， 即时，有. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 10．已知奇函数在区间上是增函数，且，则的解集是__________． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性画出函数的图象即可得解. 【详解】由奇函数在区间上是增函数，且， 即， 奇函数关于原点对称，即函数在区间上是增函数， 故函数的图象可能为    通过观察图象知的解集是． 故答案为：． 11．求函数的定义域和单调递增区间． 【答案】定义域为，单调递增区间为 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，列不等式确定函数的定义域，再由复合函数的单调性即可解答. 【详解】要使函数有意义， 必须有，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在定义域单调递增， 且的图像开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 12．已知. (1)画出的图象. (2)根据图象写出的单调区间和值域. 【答案】(1)图象见解析 (2)单调递减区间为，单调递增区间为；值域为 【详解】（1）由解析式可判断为偶函数，则画出右支图象，由图象关于轴对称即可得左支；（2）结合（1）所得图象确定单调区间和值域即可. （1）由解析式知：，即关于轴对称性， 当时，，即可根据三点画出右支 由对称性即可得对应左支上的图象，如下图示： （2）由（1）所得图象，左右两支分别关于，对称， ∴在上单调递减，在单调递增；值域为. 考点2 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 【即时训练】 13．已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，且，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．与无大小关系 【答案】A 【分析】根据题意得出，利用偶函数及单调性的性质即可得解. 【详解】若，且，则， 又因为函数是上的偶函数，且在上是增函数， 所以在上是减函数，即， 又因为，所以， 故选：. 14．已知函数是偶函数，且当时严格单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合偶函数及减函数的性质即可得解. 【详解】函数是偶函数， 则，，故错误； 因为当时严格单调递减，则即， 故错误，正确， 故选：. 15．下列函数在其定义域内为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性的定义逐项判断即可求解. 【详解】对A：函数的定义域为R，是关于原点对称的区间， 又，所以， 则函数为非奇非偶函数，故A项错误； 对B：函数的定义域为R，是关于原点对称的区间， 又， 则函数为偶函数，故B项错误； 对C：函数的定义域为R，是关于原点对称的区间， 又， 则函数为奇函数，故C项正确； 对D：函数的定义域为R，是关于原点对称的区间， 又，所以， 则函数为非奇非偶函数，故D项错误. 故选：C. 16．若函数在R上为奇函数，且，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求值即可. 【详解】由函数在R上为奇函数， 得，因为， 所以， 故选：B. 17．设函数是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数与周期函数的性质可得，再将代入解析式中求值即可. 【详解】因为函数是定义在上且周期为2的偶函数， 且当时，， 所以. 故选：D. 18．下列函数是偶函数的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式，结合偶函数的性质即可求解. 【详解】对A，因为定义域为R，又，故A错误. 对B，因为定义域为R，又，故B正确. 对C，因为定义域为R，又，故C错误. 对D，因为是指数函数，所以是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 19．若函数是偶函数，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求出，再代入计算即可. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得. 则. 故选：C. 20．已知是奇函数，若当时，，其中，则当时，的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意结合指数函数的图像及奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以为减函数，其在的图像大致如图所示：    又因为是奇函数，所以图像关于原点对称， 所以当时，函数的图象大致如图所示：    故选：. 21．设为定义在上的偶函数，且在上是增函数，则，，由大到小的排列顺序为______. 【答案】 【分析】根据偶函数，增函数的性质即可求解. 【详解】因为为定义在上的偶函数，所以， 又在上是增函数，所以，则. 故答案为：. 22．设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 【答案】， 【分析】根据函数的奇偶性求解析式即可. 因为是奇函数，所以. 因为时，， 所以当时，，所以. 所以，. 又当时，，所以，. 23．已知函数. (1)求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程； (2)判断该函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)顶点坐标，对称轴方程 (2)既不是奇函数也不是偶函数，理由见详解 【分析】（1）根据配方法求解函数的顶点坐标以及对称轴即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）因为，配方法可得， 所以顶点坐标，对称轴方程； （2）函数的定义域为R，定义域关于原点对称， 因为， 且， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数. 24．已知奇函数定义域为，函数图像过点，，且当时，.求： (1)与的值； (2)的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先由奇函数的定义可知函数图像过点，，再将两点代入求解方程即可. （2）分和两种情况，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【详解】（1）因为是奇函数，图像过点， 所以点在图像上， 因为当时，，且图像过点， 所以，且， 解得，. （2）因为，， 所以当时，， ①当时，由且是奇函数， 可得，且， 所以 解得， ②当时，若，即， 解得（舍去），或， 综上所述，的解集是. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，哪个为非奇非偶函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数，一次函数与正余弦函数的性质判断选项即可. 【详解】A选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是奇函数，不是非奇非偶函数； B选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是非奇非偶函数； C选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是奇函数，不是非奇非偶函数； D选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是偶函数，不是非奇非偶函数. 故选：B. 2.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）已知分段函数，其中. （1）求实数a的值； （2）求的值，求函数的定义域； （3）已知，求n的值. 【答案】（1）2 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式列方程求解即可. （2）分别将代入合适的解析式中，求出的值，再由函数的解析式确定函数的定义域即可. （3）分别讨论为奇数与为偶数两种情况，再由指数函数的单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 已知分段函数， 其中，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 所以； 易知的定义域为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 当n为奇数时，有，即， 因为在上为增函数， 所以，且n为奇数，所以， 当n为偶数时， 有，解得， 且n为偶数，所以， 综上所述，n的值为. 3.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）下列各函数中，是奇函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质逐项判断即可求解. 【详解】对于A，的定义域为R，函数，所以函数为奇函数； 对于B，的定义域为R，函数，所以函数为偶函数不为奇函数； 对于C，的定义域为R，函数，且函数为非奇非偶函数； 对于D，的定义域为，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数， 故选：A 4.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，是偶函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断选项即可. 【详解】A：的定义域为R，定义域关于原点对称， 所以，所以函数不是偶函数，A错误， B：的定义域为R，定义域关于原点对称， 所以，所以函数是偶函数，B正确， C：的定义域为R，定义域关于原点对称， 所以，所以函数不是偶函数，C错误， D：的定义域为，定义域关于原点对称， 所以，所以函数不是偶函数，D错误. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $