专题06 函数的概念及表示方法（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题06 函数的概念及表示方法 【复习目标】 （1） 了解用集合语言和对应关系定义的函数概念，理解函数三要素：定义域、值域和对应关系。 （2） 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法和图像法）。 （3）会求简单函数的定义域，会判断两个函数是否为同一函数。 考点1 函数的概念 一般地，设D是非空数集，对于D中的每一个x，按照某个确定的对应法则f，都有 的值y和它对应，那么就称y为x的函数，记作y=f(x),x∈D. 其中，x称为 ，x的取值范围D称为函数的 ． 当x0∈D时，与x0相对应的值y0称为函数在点x0处的函数值，记作y0=f(x0)． 函数值的集合{y|y=f(x),x∈D}称为函数的 ． 【即时训练】 1．下列图形可以表示函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．下列说法正确的是（    ） A．一次函数的图象一定经过原点 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．等腰三角形的两底角相等 D．函数（为常数）一定是一次函数 3．下列图像不能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．下列不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 5．已知幂函数过点，求______. 6．某商店出售一种笔记本，每本进价为5元，售价为元（），每天可卖出本，设每天的利润为元. (1)求与之间的函数关系式（利润 = 售价 - 进价）； (2)当售价为8元时，每天的利润是多少元？ 考点2 求函数的定义域 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的 不为0；②偶次根式的被开方数 ；③y＝x0要求 ．④对数中 不为0. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 【即时训练】 7．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是（   ）． A． B． C． D． 9．函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   10．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 11．函数的定义域是_______． 12．已知函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 . 求: (1) ； (2) . 考点3 函数的有关性质及表示方法 (1)函数的三要素： ． (2)函数的表示法： ． (3)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同． 注：判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤 (1)先看 ，若定义域不同，则两函数不同． (2)再看 ，若对应关系不同，则不是同一函数． (3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数． 【即时训练】 13．已知函数在定义域内的图像关于原点对称，函数在定义域内满足，若，则（   ） A．1 B． C． D．2 14．已知函数，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 15．已知一次函数满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 17．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 18．已知函数，则（   ） A．x B． C． D． 19．已知函数，则的解集是______. 20．已知二次函数经过点和，且.求： (1)的解析式； (2)当取何值时. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第2题）下列各函数中，定义域为的是（ ） A. B. C. D. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第3题）已知函数，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 3.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第13题）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）中职生小王想创业卖玩具，某种玩具的成本价格为每件10元，经市场调查后发现，该玩具每天的销售量件与每件玩具的售价元的关系如图所示. （1）写出与的函数关系式；玩具的售价每增加1元，销售量减少多少件？ （2）设日利润为，请写出与售价的函数关系式； （3）当每日销售量不低于50件时，售价为多少元，小王能获得最大利润，最大利润是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题06 函数的概念及表示方法 【复习目标】 （1） 了解用集合语言和对应关系定义的函数概念，理解函数三要素：定义域、值域和对应关系。 （2） 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法和图像法）。 （3）会求简单函数的定义域，会判断两个函数是否为同一函数。 考点1 函数的概念 一般地，设D是非空数集，对于D中的每一个x，按照某个确定的对应法则f，都有唯一确定的值y和它对应，那么就称y为x的函数，记作y=f(x),x∈D. 其中，x称为自变量，x的取值范围D称为函数的定义域． 当x0∈D时，与x0相对应的值y0称为函数在点x0处的函数值，记作y0=f(x0)． 函数值的集合{y|y=f(x),x∈D}称为函数的值域． 【即时训练】 1．下列图形可以表示函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与之对应，选项C满足； 选项ABD，有一个对应两个的情形，不满足函数的定义． 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．一次函数的图象一定经过原点 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．等腰三角形的两底角相等 D．函数（为常数）一定是一次函数 【答案】C 【详解】A选项，一次函数不一定过原点（如），故错误； B选项，外角等于不相邻的两个内角的和，故错误； C选项，等腰三角形的两底角一定相等，故正确； D选项，时不是一次函数，故错误. 故选：C 3．下列图像不能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】依据函数的定义判断即可. 【详解】选项A、B、C：在这三个图象中，对于定义域内的每一个值，都有唯一的值与之对应，满足函数的定义，所以它们都能表示是的函数； 选项D：在该图象中，存在一个值，有两个不同的值与之对应的情形，不满足函数的定义，所以该图象不能表示是的函数， 故选：D. 4．下列不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，即对于定义域内的每一个x值，都有唯一确定的y值与之对应，由此求解即可. 【详解】A选项，：对于任意的x值，y有唯一值与之对应，能表示y是x的函数； B选项，：对于，y有唯一值与之对应，能表示y是x的函数； C选项，：对于，y有两个值与之对应，不能表示y是x的函数； D选项，：对于任意的x值，y有唯一值与之对应，能表示y是x的函数. 故选：C. 5．已知幂函数过点，求______. 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再将代入解析式计算求值. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为的图象过点，可得，解得， 故，则可得. 故答案为：81. 6．某商店出售一种笔记本，每本进价为5元，售价为元（），每天可卖出本，设每天的利润为元. (1)求与之间的函数关系式（利润 = 售价 - 进价）； (2)当售价为8元时，每天的利润是多少元？ 【答案】(1) （） (2)252元 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）将代入即可求解. 【详解】（1）每本利润为元，每天卖出本； 则每天利润为： ； 即 （）. （2）当时， ， 每天的利润是252元. 考点2 求函数的定义域 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．④对数中真数不为0. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 【即时训练】 7．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为零，列不等式求解即可. 【详解】由解得， 所以函数的定义域是. 故选：A. 8．函数的定义域是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义，则，解得. 因此该函数的定义域为. 故答案为：C. 9．函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出函数的定义域和奇偶性，结合函数图像即可得解. 【详解】函数，则，解得， 所以函数定义域为，故错误； ，符合偶函数的定义，故正确，错误， 故选：A． 10．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数以及分式函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义，则解得． 故定义域为. 故选：D. 11．函数的定义域是_______． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式即可得解. 【详解】函数， 则，解得且， 所以定义域为， 故答案为：. 12．已知函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 . 求: (1) ； (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据偶次根式下大于等于0，列不等式求出集合，再根据对数中真数大于0列不等式求出集合，再由并集的概念运算即可. （2）根据补集和交集的概念运算即可. 【详解】（1）要使函数 有意义， 需满足 ，解得 或 ， 所以 或 ， 要使函数 有意义， 需满足 ，即 ，解得 ， 所以 . 所以 或 . （2）因为 ， 所以 . 考点3 函数的有关性质及表示方法 (1)函数的三要素：定义域、值域、对应法则． (2)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． (3)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同． 注：判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤 (1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同． (2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数． (3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数． 【即时训练】 13．已知函数在定义域内的图像关于原点对称，函数在定义域内满足，若，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先判断函数与的奇偶性，由此可解得与的函数解析式，再求解函数值即可. 【详解】由在定义域内的图像关于原点对称，可得函数是奇函数，即． 由在定义域内满足，所以，可得是偶函数． 因为， 所以， 联立方程， 解得，， 所以． 故选：C． 14．已知函数，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数的解析式. 【详解】设，则，代入解析式得: ， 即． 故选：A 15．已知一次函数满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将已知条件代入函数表达式，得到关于和的方程组，然后求解的值. 【详解】已知一次函数，且，， 可得方程组：，解得，， 故选：B. 16．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】C 【分析】根据图象上的已知点，结合待定系数法求得函数解析式，表示出年平均利润，利用基本不等式即可求解. 由图可知，二次函数的图象的顶点为，过点，开口向下， 因此，设二次函数的解析式为， 所以，解得，即， 则营运的年平均利润， 当且仅当，即时，有最大值；即每辆车营运5年时，年平均利润最大. 故选：C. 17．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设二次函数的顶点式，再把点代入，求出即可 设二次函数的解析式为， 将代入上式，得， 所以. 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的解析式求法，属于基础题. 18．已知函数，则（   ） A．x B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式代入求解即可. 【详解】已知函数，则． 故选：C. 19．已知函数，则的解集是______. 【答案】 【分析】根据题意列出不等式即可得解. 【详解】函数， ， 解得， 故答案为：. 20．已知二次函数经过点和，且.求： (1)的解析式； (2)当取何值时. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的对称性，结合待定系数法即可求解. （2）根据一元二次不等式的基本解法即可求解. 【详解】（1）因为，所以函数对称轴为，即， 又过点和， 所以可得方程组，解得 所以的解析式为. （2）由（1）得，， 即，解得或， 故时. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第2题）下列各函数中，定义域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式求出定义域判断即可. 【详解】函数的定义域为，故A正确； 函数，，的定义域均为，故BCD错误， 故选：A. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第3题）已知函数，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入解析式求值即可. 【详解】函数，则. 故选：A. 3.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第13题）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的真数大于零求解定义域即可. 【详解】因为函数为， 所以有， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）中职生小王想创业卖玩具，某种玩具的成本价格为每件10元，经市场调查后发现，该玩具每天的销售量件与每件玩具的售价元的关系如图所示. （1）写出与的函数关系式；玩具的售价每增加1元，销售量减少多少件？ （2）设日利润为，请写出与售价的函数关系式； （3）当每日销售量不低于50件时，售价为多少元，小王能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1），当玩具的售价每增加1元，销售量减少2件 （2） （3）当售价为25元，小王能获得最大利润，最大利润是750元 【解析】 【分析】（1）根据图象，利用待定系数法即可求解析式，根据解析式可得结果； （2）根据利润等于每件的利润与销售量的乘积，即可求函数解析式； （3）先求出自变量的范围，由二次函数的单调性，可求解利润的最大值. 【小问1详解】 由图可知，该函数为一次函数，设函数关系式为：， 将点代入，可得 ，解得， 所以， 所以，当玩具的售价每增加1元，销售量减少2件； 【小问2详解】 由（1）可知， ； 【小问3详解】 当每日销售量不低于50件时，即， 解得， 由可知， 当时，函数单调递增， 所以时，（元）， 即当售价为25元，小王能获得最大利润，最大利润是750元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $