专题05 不等式的实际应用（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题05 不等式的实际应用 【复习目标】 （1） 能从实际问题中识别出不等关系，会用不等式（组）表示问题中的约束条件。 （2） 熟练掌握解一元一次不等式组的方法，能根据题意确定自变量的取值范围。 （3）会建立简单的不等式模型解决生活中的应用问题（如销售利润、费用最优、物资调配等），能准确计算出符合题意的解。 考点1 列不等式（组）表示实际问题 1.抓住关键词：“大于、 、超过、不低于、至少、 、不少于、不多于”等，准确转化为不等号（>、<、≥、≤）。 2.注意隐含条件：实际背景中的非负性（ 、长度、时间等不能为负数）、整数约束（如人数、物品件数必须取整）、上下限限制等。 3.常见实际模型 （1）方案选择问题：比较两种收费（话费、购物、租车等），通过解不等式确定费用更优时的使用范围。 （2）利润、售价问题：根据“单价×数量”、“进价、售价、利润”关系建立不等式，如“盈利不低于x元”、“利润率至少为y%”。 （3）运输、容量问题：车辆、容器装载量有限制，列不等式表示总重量或总体积不超过限额。 （4）工程与时间问题：根据工作效率、时间限制列不等式。 4.解题步骤 设：设 （注意写明单位）。 列：根据不等关系列出不等式（或不等式组）。 解：解不等式（组），得到取值范围。 验： 解是否符合实际意义（非负、整数等）。 答：写出符合题意的答案。 5.数轴工具：解集在 上的表示（实心点表示包含端点，空心点表示不包含端点）。通过数轴直观求不等式组的 。 【即时训练】 1．要生产直径为的零件，如果要求绝对误差小于，那么直径满足的不等式是（   ） A． B． C． D． 2．我国空域均为管制类空域，国家规定轻型无人机在适飞空域内飞行高度不得超过. 设某轻型无人机的飞行高度为，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 4．某停车场规定：连续停车时间不超过3小时，车主需缴费5元；若连续停车超过3小时，则每多停1小时，车主需多缴3元（不足1小时按1小时计算）.若车主甲于某日驶离该停车场时缴费20元，则甲当日驶入停车场的时间可以为（ ） A． B． C． D． 5．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 6．某商品的进价为80元，售价至少为多少元时，才能保证利润率不低于20%？设售价为x元，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 7．某水果商店购进一批橙子，若橙子的进价是1元，销售中估计有的损耗，商家至少要把价格定为多少元时，才能避免亏本?（    ） A．2 B．1 C．1.05 D．1.5 8．已知6枝玫瑰和3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰和4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格比较的结果是（   ） A．2枝玫瑰的价格高 B．3枝康乃馨的价格高 C．价格相同 D．不确定 9．某商店出售一种商品，定价为10元/件，假设所有商品都能售出，则至少进货_____件，能使总销售额不低于135元. 10．某网店销售一种商品，预计销售量为件，实际销售量件与预计销售量的关系满足：当时，；当时，，若件，用绝对值不等式表示实际销售量的取值范围是________. 11．已知某电子产品的功率（单位：瓦特）的标准值为 ，实际功率需满足： ，若瓦特，那么实际功率的取值范围用绝对值不等式表示为______（的单位为瓦特）. 12．机械加工车间有一台机床，其生产效率为每小时生产个零件．经过技术改造后，每小时多生产个零件．改造后生产个零件所用时间最大时长不超过原来生产个零件所用时间，可列不等式为_____________ . 13．某景区门票原价为 120 元，节假日票价调整范围在 元，设节假日票价为元，则满足________. 14．某网店预计月销量为 500 件商品，实际月销量与预计的偏差不超过 50 件，设实际月销量为件，那么满足_______. 15．某电商平台上一款商品的标价为 200 元，促销时价格波动在 元，设促销价格为元，则满足_______. 16．某股票上周收盘价为 30 元，本周股价波动范围在 元，设本周股价为元，则满足的绝对值不等式是_______. 17．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益＝销售金额＋政府专项补贴－成本. (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 18．某商场销售一种商品，每千克的成本为50元，已知该商品每天的销量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销量的若干对应值见下表． 销售单价x（单位：元/千克） 65 70 75 80 销量y（单位：千克） 90 80 70 60 (1)求y关于x的函数解析式（不要求写出定义域）； (2)为保证每天获得不少于1600元的销售利润，则销售单价x（单位：元/千克）的取值范围是多少？ (3)当销售单价为多少元/千克时，才能使当天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 19．某工厂生产一种零件，固定成本为元，每生产一个零件的可变成本为元，售价为元/个. (1)写出利润L（元）关于产量x（个）的函数关系式； (2)求至少生产多少个零件才能不亏本？ 20．（1）已知集合，若，求实数a的值． （2）某广场上有一块长、宽的长方形草坪，现规划在中间做一个长方形花坛，若要求花坛的面积不小于草坪原面积的一半，且剩下草坪带宽度相同，求剩下的草坪带宽度的范围． 21．为贯彻落实劳动教育，促进学生全面发展，学校决定在劳动实践基地用100米长的篱笆材料围出一块矩形菜地给学生种植蔬菜，要求矩形菜地的一边靠墙（墙的长度为70米），如图所示，设矩形菜地的宽为米．    (1)求的取值范围； (2)若希望围成的菜地面积不小于800平方米，则应该在什么范围内取值？ 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）中职生小王想创业卖玩具，某种玩具的成本价格为每件10元，经市场调查后发现，该玩具每天的销售量件与每件玩具的售价元的关系如图所示. （1）写出与的函数关系式；玩具的售价每增加1元，销售量减少多少件？ （2）设日利润为，请写出与售价的函数关系式； （3）当每日销售量不低于50件时，售价为多少元，小王能获得最大利润，最大利润是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题05 不等式的实际应用 【复习目标】 （1） 能从实际问题中识别出不等关系，会用不等式（组）表示问题中的约束条件。 （2） 熟练掌握解一元一次不等式组的方法，能根据题意确定自变量的取值范围。 （3）会建立简单的不等式模型解决生活中的应用问题（如销售利润、费用最优、物资调配等），能准确计算出符合题意的解。 考点1 列不等式（组）表示实际问题 1.抓住关键词：“大于、小于、超过、不低于、至少、至多、不少于、不多于”等，准确转化为不等号（>、<、≥、≤）。 2.注意隐含条件：实际背景中的非负性（人数、长度、时间等不能为负数）、整数约束（如人数、物品件数必须取整）、上下限限制等。 3.常见实际模型 （1）方案选择问题：比较两种收费（话费、购物、租车等），通过解不等式确定费用更优时的使用范围。 （2）利润、售价问题：根据“单价×数量”、“进价、售价、利润”关系建立不等式，如“盈利不低于x元”、“利润率至少为y%”。 （3）运输、容量问题：车辆、容器装载量有限制，列不等式表示总重量或总体积不超过限额。 （4）工程与时间问题：根据工作效率、时间限制列不等式。 4.解题步骤 设：设未知数（注意写明单位）。 列：根据不等关系列出不等式（或不等式组）。 解：解不等式（组），得到取值范围。 验：检验解是否符合实际意义（非负、整数等）。 答：写出符合题意的答案。 5.数轴工具：解集在数轴上的表示（实心点表示包含端点，空心点表示不包含端点）。通过数轴直观求不等式组的公共部分。 【即时训练】 1．要生产直径为的零件，如果要求绝对误差小于，那么直径满足的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合绝对值的意义即可得解. 【详解】直径为的零件，绝对误差小于， 那么直径满足的不等式是， 故选：. 2．我国空域均为管制类空域，国家规定轻型无人机在适飞空域内飞行高度不得超过. 设某轻型无人机的飞行高度为，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式即可得解. 【详解】设某轻型无人机的飞行高度为， 飞行高度不得超过，则， 故选：. 3．某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意得，即，求解不等式估算即可. 由题意有：，即， 所以，解得， ，可得， 所以该收割机第3年开始盈利， 故选：B. 4．某停车场规定：连续停车时间不超过3小时，车主需缴费5元；若连续停车超过3小时，则每多停1小时，车主需多缴3元（不足1小时按1小时计算）.若车主甲于某日驶离该停车场时缴费20元，则甲当日驶入停车场的时间可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据收费规则计算停车时长，再逐项判断即可. 已知总缴费20元，前3小时收费5元，所以超出3小时的费用为：元. 因为每多停1小时需多缴3元，所以超出的时间最长为：小时. 因此，停车总时长的范围为：总时长（不足1小时按1小时算）， 即总时长（小时）. 驶离时间为，则驶入时间需满足：驶入时间. 故选：C. 5．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】由不等式的基本性质即可得解. 【详解】由大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌， 可知应使车和货物的总质量T满足关系吨. 故选：C. 6．某商品的进价为80元，售价至少为多少元时，才能保证利润率不低于20%？设售价为x元，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据利润售价进价，结合题意列不等式即可. 【详解】某商品的进价为80元，售价为x元， 要保证利润率不低于20%， 则. 故选：A. 7．某水果商店购进一批橙子，若橙子的进价是1元，销售中估计有的损耗，商家至少要把价格定为多少元时，才能避免亏本?（    ） A．2 B．1 C．1.05 D．1.5 【答案】C 【分析】根据不亏本这一条件建立不等式关系求解. 【详解】设商家把价格定为每千克元， 由题意，解得， 故选：C. 8．已知6枝玫瑰和3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰和4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格比较的结果是（   ） A．2枝玫瑰的价格高 B．3枝康乃馨的价格高 C．价格相同 D．不确定 【答案】A 【分析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别为x，y元，由题可得x，y的约束条件，采用整体换元和作差法比较与的大小可得结果. 【详解】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别为x，y元，则： ，即， 设，可得且， 由于， 所以，即2枝玫瑰比3枝康乃馨的价格高. 故选：A 9．某商店出售一种商品，定价为10元/件，假设所有商品都能售出，则至少进货_____件，能使总销售额不低于135元. 【答案】14 【分析】根据题意，结合一次不等式的应用，即可列式求解. 【详解】由题意，可设进货x件，总销售额为W元，则，， 所以，又， 所以至少进货14件，能使总销售额不低于135元. 故答案为：14. 10．某网店销售一种商品，预计销售量为件，实际销售量件与预计销售量的关系满足：当时，；当时，，若件，用绝对值不等式表示实际销售量的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据绝对值的定义求解即可. 【详解】由题意，，, 所以实际销售量与件的差值绝对值小于等于件. 故答案为：. 11．已知某电子产品的功率（单位：瓦特）的标准值为 ，实际功率需满足： ，若瓦特，那么实际功率的取值范围用绝对值不等式表示为______（的单位为瓦特）. 【答案】 【分析】将数据代入不等式中求解. 【详解】把代入 ，得到. 故答案为：. 12．机械加工车间有一台机床，其生产效率为每小时生产个零件．经过技术改造后，每小时多生产个零件．改造后生产个零件所用时间最大时长不超过原来生产个零件所用时间，可列不等式为_____________ . 【答案】 【分析】分别求出原来生产 250 个零件所用时间和改造后生产 300 个零件所用时间，由题意列出不等式即可. 【详解】原来每小时生产 20 个零件，生产 250 个零件用时小时； 改造后每小时生产个零件，生产 300 个零件用时小时. 因为改造后生产 300 个零件所用时间不超过原来生产 250 个零件所用时间， 所以得到不等式. 故答案为：. 13．某景区门票原价为 120 元，节假日票价调整范围在 元，设节假日票价为元，则满足________. 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义求解. 【详解】节假日票价与原价 120 元的调整范围在 ±10 元，所以满足. 故答案为：. 14．某网店预计月销量为 500 件商品，实际月销量与预计的偏差不超过 50 件，设实际月销量为件，那么满足_______. 【答案】 【分析】根据题意列出不等式即可求解. 【详解】因为实际月销量与预计月销量 500 件的偏差不超过 50 件， 则列不等式为：. 故答案为：. 15．某电商平台上一款商品的标价为 200 元，促销时价格波动在 元，设促销价格为元，则满足_______. 【答案】 【分析】根据绝对值的定义求解即可. 【详解】促销价格与标价 200 元的波动在 元， 即与 200 的差值的绝对值小于等于 20. 即. 故答案为：. 16．某股票上周收盘价为 30 元，本周股价波动范围在 元，设本周股价为元，则满足的绝对值不等式是_______. 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，列不等式即可. 【详解】由于本周股价与上周收盘价 30 元的波动范围在 元， 也就是与 30之差的绝对值小于等于 2，即. 故答案为：. 17．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益＝销售金额＋政府专项补贴－成本. (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 【答案】(1)， (2)当高邮政府的专项补贴为6万元时，企业所获收益最大. 【分析】（1）根据题目给出的收益计算公式，代入销售金额、政府补贴、成本的对应表达式，化简得到收益关于补贴的函数； （2）对所得函数变形后利用基本不等式求解最大值及对应的的值. 【详解】（1）由题意可知收益的计算关系为：收益销售金额政府专项补贴成本； 其中销售金额为单价乘以产量，即万元，政府专项补贴为万元， 成本为万元，代入得： ， 因为，所以. （2）对函数进行变形得：， 因为，所以， 因为， 当且仅当即或等号成立， 因为，所以，所以， 即当高邮政府的专项补贴为6万元时，企业所获收益最大. 18．某商场销售一种商品，每千克的成本为50元，已知该商品每天的销量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销量的若干对应值见下表． 销售单价x（单位：元/千克） 65 70 75 80 销量y（单位：千克） 90 80 70 60 (1)求y关于x的函数解析式（不要求写出定义域）； (2)为保证每天获得不少于1600元的销售利润，则销售单价x（单位：元/千克）的取值范围是多少？ (3)当销售单价为多少元/千克时，才能使当天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)销售单价为80元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润为1800元. 【分析】（）根据题意利用待定系数法即可得解. （）根据题意列出不等式即可得解. （）根据题意列出利润的解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）设． 由题意，将和代入得，解得， 经检验，其他两组数据也满足， 关于的函数解析式为． （2）由题意得， 化简并整理得，解得， 即销售单价（单位：元／千克）的取值范围是． （3）每天的销售利润为， ∴当时，利润的最大值为元， ∴当销售单价为80元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润为1800元． 19．某工厂生产一种零件，固定成本为元，每生产一个零件的可变成本为元，售价为元/个. (1)写出利润L（元）关于产量x（个）的函数关系式； (2)求至少生产多少个零件才能不亏本？ 【答案】(1)，. (2)至少生产个零件才能不亏本 【分析】（1）根据利润=收入−成本列式即可. （2）根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）依题意，利润，. （2）令，解得， 所以至少生产个零件才能不亏本. 20．（1）已知集合，若，求实数a的值． （2）某广场上有一块长、宽的长方形草坪，现规划在中间做一个长方形花坛，若要求花坛的面积不小于草坪原面积的一半，且剩下草坪带宽度相同，求剩下的草坪带宽度的范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据集合交集的结果求解即可. （2）设剩下草坪带宽度为米，根据条件由面积列不等式求解即可. 【详解】（1）集合， 若，则， 当时，可得， 此时集合，不满足集合具有互异性，舍； 当时，即，可得或（舍）， 时，集合，满足， 综上，实数a的值为． （2）设剩下草坪带宽度为米， 则花坛的长为米，宽为米， ∴，解得，可得， 长方形草坪面积的一半为， ∴，即， ∴，可得， 解得或， ∴可得， ∴剩下的草坪带宽度的范围为． 21．为贯彻落实劳动教育，促进学生全面发展，学校决定在劳动实践基地用100米长的篱笆材料围出一块矩形菜地给学生种植蔬菜，要求矩形菜地的一边靠墙（墙的长度为70米），如图所示，设矩形菜地的宽为米．    (1)求的取值范围； (2)若希望围成的菜地面积不小于800平方米，则应该在什么范围内取值？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据篱笆长度和墙的长度限制列出关于的不等式求解； （2）根据题中面积的限制列不等式求解. 【详解】（1）矩形菜地的宽为米，由题意可知菜地的长为． 根据题意，得，化简得， 解得，即． （2）根据题意，得． 化简得，即，解得． 又，于是，即． 故若希望围成的菜地面积不小于800平方米，则应该在内取值． 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）中职生小王想创业卖玩具，某种玩具的成本价格为每件10元，经市场调查后发现，该玩具每天的销售量件与每件玩具的售价元的关系如图所示. （1）写出与的函数关系式；玩具的售价每增加1元，销售量减少多少件？ （2）设日利润为，请写出与售价的函数关系式； （3）当每日销售量不低于50件时，售价为多少元，小王能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1），当玩具的售价每增加1元，销售量减少2件 （2） （3）当售价为25元，小王能获得最大利润，最大利润是750元 【解析】 【分析】（1）根据图象，利用待定系数法即可求解析式，根据解析式可得结果； （2）根据利润等于每件的利润与销售量的乘积，即可求函数解析式； （3）先求出自变量的范围，由二次函数的单调性，可求解利润的最大值. 【小问1详解】 由图可知，该函数为一次函数，设函数关系式为：， 将点代入，可得 ，解得， 所以， 所以，当玩具的售价每增加1元，销售量减少2件； 【小问2详解】 由（1）可知， ； 【小问3详解】 当每日销售量不低于50件时，即， 解得， 由可知， 当时，函数单调递增， 所以时，（元）， 即当售价为25元，小王能获得最大利润，最大利润是750元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $