重庆市三峡名校联盟2025-2026学年高二下学期学情调研数学试卷

重庆市三峡名校联盟2026年春期高2027届联考 数学试卷 （总分：150分考试时间：120分钟） 注意事项 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名．准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）． 第Ⅰ卷（选择题） 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线在处的切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 2．重庆铁路沿线预备设巫山、云阳、万州、忠县、涪陵等5个客运站，则铁路部门需要准备（ ）种不同的车票． A． B． C． D． 3．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．函数在处取得极小值，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级的学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（ ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D． 6．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（ ） A．0 B． C． D． 7．某校进行篮球队员选举，选举的轮次为两轮，待选人群共10人，每一轮都从待选人群中选取6人，每一轮选举都是独立的，互不影响．记两轮选举后，被选到的总人数为人（若两轮中选取的相同之人只算一个，例如小明两次都被选中则在总人数中只会记录成一人），则（ ） A． B． C． D． 8．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．多项式函数，其中，，，，，，为杨辉三角第行从左到右的个数（杨辉三角如下图所示），例如当时，，，则当时，在处的导数（ ） A． B． C． D． 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机变量满足，，随机变量，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．袋子中装有大小相同的2个白球和3个黑球，现从中不放回的抽取两次，每次取一个，记事件为第次抽到的是白球，为第次抽到的是黑球，为第次抽到的不是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（ ） A．若函数在点处的切线为轴，则 B．当时，函数在区间上单调递增 C．当时，若函数有两个零点，则 D．若函数，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．，则_____________． 13．据统计，某校有高一．高二．高三共三个年级，喜欢羽毛球运动的学生分别占该年级学生的、、，且这三个年级的学生之比为，若从该校抽取的一名学生喜欢打羽毛球，则该学生是高二年级的概率为________． 14．对，恒有成立，则实数的最小值是________． 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 由于国际形势动荡，自2026年2月28日霍尔木兹海峡被封锁以来，全球石油供应遭遇巨大冲击．该海峡承担全球约海运石油贸易，封锁致日均近1700万桶原油运输受阻，国际能源署称这是史上最严重供应梗阻．国际油价剧烈波动，下表统计了随后7天原油的大致价格． 随后天数 1 2 3 4 5 6 7 油价（美元/桶） 72.5 75.1 78.1 79.0 82.6 84.3 86.8 （1）由上表数据，从①，②两个函数中选一个作为油价关于随后天数的回归模型，判断哪个更适合，不必说明理由，并求出回归方程．（最后系数精确到0.1） （2）由（1）得到的回归方程，预测3月8日的原油价格． 参考数据：，，，设，设，，， 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，． 16．（本小题15分） 已知函数， （1）当时，求函数在区间上的最小值和最大值； （2）求的单调区间． 17．（本小题15分） 已知，二项式的二项展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， （1）问展开式中是否存在含的项，若存在，则求出的系数，若不存在，说明理由； （2）求展开式中系数最大的项． 18．（本小题17分） 某科技公司生产的智能设备控制系统由个相同的独立元件组成，每个元件正常工作的概率均为，当控制系统中有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停机．记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为2元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是4元．记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）． （ⅰ）请用表示； （ⅱ）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高．（取计算） 19．（本小题17分） 已知，其中，是自然对数的底． （1）当时，求函数在处的切线； （2）若函数，对于，恒成立，求的取值范围； （3）求证：对于，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $ 三峡名校联盟五校联考高2027届2026年春期考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A B D B A C BC ACD ABD 12． 13． 14． 15．答案：（1）选择①更合适，回归方程：，（2）89.6美元/桶 解析：（1）选择①更合适， 1分 由题可知， 3分 所以 6分 8分 所以回归方程为： 9分 （2）3月8日对应的 11分 所以， 所以预测3月8日的原油价格为89.6美元/桶 13分 16．解析： （1）当时，，函数的定义域为 1分 令得，令得， 所以在上单调递增，在单调递减 4分 故， 所以， 综上得：，． 7分 （2）函数的定义域为，，所以当时， 恒成立，所以在单调递增 10分 当时，令，得， 由得，由得，所以在上单调递增， 在上单调递减； 14分 综上：当时，在单调递增；当时，在上单调递增， 在上单调递减． 15分 17．解析： （1）因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得， 2分 则展开式的通项公式为： ， 4分 令，解得，代入通项公式有：， 所以存在的项，的系数为； 7分 （2）二项式通项公式为：， 设第k项的系数最大，故， 11分 即，即， 解得， 13分 因为，所以， 14分 故系数最大的项为． 15分 18．解析： （1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3 1分 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以，， ，， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 3分 控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为， 4分 ， 5分 （2）（ⅰ）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 7分 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 9分 设备升级后单位时间内的利润为，即． 10分 （ⅱ）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为 ； 12分 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 14分 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为． 所以， 则， 16分 当时，，所以增加2个元件后利润提高． 17分 （法二）：现有系统：5个元件，即，对应概率，利润期望： 增加2个元件后：变为7个元件，即，设备稳定运行需要不少于4个元件正常工作，设正常工作的元件数为X，则，则 对应利润期望： 因为，所以增加2个元件后利润提高． 19．解析： （1），求导得， 将代入，得到而， 所以函数在处的切线为． 4分 （2）设函数， 则， ； ． （ⅰ），即时，即在单调递增， 所以即在单调递增， 所以符合题意． （ⅱ）即时，不符合题意，故． 9分 （3）证明：由（2）可知，当，时，，故当时，， 则有，化简可得； 11分 令，可得： ， 即， 13分 则， ， ， ， ， ， 将以上个式子左右分别相加， 可得：， 即， 15分 整理得， 即． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $