河北民族师范学院附属中学2025－2026学年九年级第二学期考前数学学业水平测试卷一

**基本信息** 河北民族师范学院附属中学初三三模数学卷，以科技前沿（碳基纳米材料合成）、文化传承（《九章算术》买羊问题）和实际应用（喷泉防护栏设计）为情境，覆盖代数、几何、概率核心知识，通过基础巩固（相反数、科学记数法）、能力提升（矩形折叠、反比例函数比较）、创新探究（几何动态综合、抛物线平移）的梯度设计，考查数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|相反数、相交线、三视图、科学记数法|基础题为主，结合图形直观考查空间观念| |填空题|4/12|概率、新定义运算、正方形综合|设置新运算情境，考查抽象能力与创新意识| |解答题|8/72|分式化简、纳米材料函数应用、《九章算术》应用题、几何综合探究、抛物线综合|以真实情境（纳米材料合成量）和文化素材命题，通过函数建模、几何推理考查运算能力与模型观念，综合题设计梯度（观察发现-独立思考-拓展延伸）培养探究精神|

河北民族师范学院附属中学 2025-2026学年第二学期第三次学业水平测试 卷一（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 7 C. D. 2. 如图1，直线、相交于点，若等于，则等于（ ） A B. C. D. （图1） 3. 如图2，一个粮仓，上、下部是一个圆锥，中间是一个圆柱．则这个粮仓的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） （图2） A. B. C. D. 5. 2025年我国新能源汽车产量预计达到1200万辆．将1200万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图3将矩形纸片进行折叠，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. （图3） （图4） 7.如图4，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是(    ) A. 将点向右平移个单位 B. 将点向右平移个单位 C. 将点向右平移个单位 D. 将点向右平移个单位 8.计算 的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10.已知圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积是． A. B. C. D. 11.九章算术中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？下列做法错误的为(    ) A. 若设合伙人数为人，据题意可得： B. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： C. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： D. 设合伙人数为人，羊的总价钱为钱，据题意可得： （图5） 12.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 卷二（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 不透明袋子中装有8个球，其中有1个红球、2个黄球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为___ ． 14. 计算的结果等于_____________． 15.规定：，如果，那么的值为       16. 如图6，在正方形中，，其外部有一个正方形， 对角线的延长线经过点，．连接，点是的中点， 点是边的中点，则线段的长为___ ． （图6） 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 本小题分定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算， 比如： （1）求的值 （2）若的值小于13，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 18本小题分 下面的分式化简题呈现了小薇的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： 2 (1) 请求出被遮挡部分的代数式化为最简； 小薇认为“原算式的值不可能为”，请你回答下面的两个问题并说明理由： 你知道小薇为什么这样判断吗？小薇的说法全面吗？ 19.本小题分明轩在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题： 她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点光线与水槽内壁的夹角为直线为法线，为入射光线，为折射光线，已知，，折射角请计算光线折射后，点到点的距离 20.（本小题满分8分） 阅读题目：如图，已知平行四边形ABCD 求作：菱形 要求：尺规作图 下面是两位同学设计的“尺规作矩形”的作图过程： 甲同学作法如图： 以点A为圆心，AB长为半径画弧，与AD交于点F，以点B为圆心，BA长为半径画弧，与BC交于点E，连接EF，则四边形ABEF为菱形. 乙同学作法如图： 以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，分别以A，E为圆心，大于 AE长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交AD于点F，连接EF，则四边形ABEF 为菱形. 图1 依据甲同学的作法，得到菱形的依据是：          ； 请依据乙同学的作法，说明四边形是； 在图1中,做菱形BECF,使E在AD上，并且菱形BECF与平行四边形ABCD面积相等（不写做法，保留作图痕迹） 21.（本小题满分9分） 如图1，公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数） 22. 本小题分 某材料科学实验室致力于新型碳基纳米储能材料的研发，该材料在新一代钠离子电池、柔性电子器件领域具备极高应用潜力，是当前能源材料科研的前沿方向．实验室采用自动化合成装置，连续5天对该材料的恒温催化合成实验进行监测，精准记录每日的材料合成量．设实验第天的新型碳基纳米材料合成量为毫克，在恒定实验参数下，每日合成量与实验天数满足一次函数关系，实验监测数据满足下面两个条件：①实验第2天，该纳米材料的合成量为42毫克；②第3天的材料合成量比第4天的合成量少6毫克． 请根据以上实验监测信息，完成下面问题解答： （1）求与的函数关系式． （2）求出这5天每天的纳米材料合成量，并计算该组实验数据的平均数、中位数． （3）研究人员需从合成量不低于平均数的实验天数中，随机抽取2天进行样品成分与性能检测，请你用列表法求抽到的2天恰好为连续实验天数的概率． 23. （本小题满分11分） 综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： 如图，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： 如图，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： 点在线段（或CB）的延长线上时，连接，过点作于点，连接 若，，请直接写出线段的长． 24．（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点A（1，0），B（0，3）,点为抛物线的顶点．直线的解析式为： 1）求抛物线的解析式． 2）直接写出点的坐标，判断点是否在直线上，若不在，直接写出点经过平移落在上的最小平移距离． 3）将抛物线向下平移个单位长度，记作抛物线；直线向下平移个单位长度，记作直线． ①若抛物线上存在一点，直线上存在一点，当时，，且的值唯一，则___________． ②设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，当时，求的最大值． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $1【答案】B 2【答案】C 3【答案】D 4【答案】D 5【答案】A 6【答案】C 7【答案】A 8【答案】A 9【答案】B 10【答案】C 11【答案】C 12【答案】C 13 14 9 15 6或1.5 16+V2 【详解】解：(1)：四边形DEFG是正方形， ∠F=90°，FG=EF:E, ·GE=VFG2+EF2=2; (2)如图，连接AE,DF,DF交EG于点H, B M :四边形ABCD和DEFG都是正方形， ·CD=AD=AB=3,DG=DE,LADC=∠EDG=90°， ∴∠ADC+∠CDE=∠EDG+∠CDE,即∠ADE=∠CDG, ·△ADE≌CDG(SAS, ·AE=CG, :H是正方形DEFG的对角线交点， DF=EG=2,GH=DH-IDF,DFLEG, ∴GH=DH=I, 在Rt&CDH巾， CH=VCD-DH2=2√2， ÷CG:CH+GH:2万+1， ：4E=CG=2+1, :点M是BE的中点，点N是AB的中点， ·MN是aABE的中位线， ÷MN=E=25+. 2 17【答案】解：-2⊕3=-2×(-2-3)+3 =-2×(-5)+3 =13: 【小问2详解】 解：根据题意得：3(3-x)+x<13 9-3x+x<13 -2x<4 x>-2 数轴表示如图所示： 32-10123→ 18.【答案】解：(1)2-4-5 a-3a-3 2分 am2-9 4分 a-3 =a+3 5分 (2)①若a+2=5,则a=3,此时a-3=0, ②不全面，a+2≠4或58分 19.【答案】解：由题意可得： ∠CBM=∠ACB=∠BME=90°， ∠ACB=90°，LA=60°， tam60-8%=V5, ∴.BC=AC.tan60°=20W3cm, ∠BCD=∠D=∠CBM=90° 四边形BCDM是矩形 ...BC DM=20v3cm,CD BM 20cm, 在Rt△BME中，∠BME=90°，∠MBE=45°， tam450-号=1， .ME =BM 20cm, 不合题意 7分 .DE DM+ME (20v3+20)cm. 故点D到点E的距离约为(20W3+20)cm. 20.【答案】1)一组邻边相等的是平行四边形是菱形 (2)BF平分LABC, D .∠1=∠2， .四边形ABCD为平行四边形， ..AD//BC, ∴.∠3=∠2 .∠1=∠3， ..AB=AF, AB BE, ..AF BE, AF lI BE, 四边形ABEF是平行四边形， .AB BE, 图1 ☐ABEF是菱形. 21【答案】(I)解：连接0A,设喷泉的半径为r,则：0A=OC=T, .0D=0C-CD=T-2, D是弦AB的中点， B 0C平分弦AB,AD=AB=4, .OC⊥AB, .0A2=AD2+0D2, r2=42+(-2)2, r=5米： 答：喷泉的半径为5米： (2)解：由题意，得：R=5+1=6米， 2×6×3.14÷1.5=25(盏) 答：大约需要安装25盏景观灯. 22【答案】【小问1详解】 解：因为y与x满足一次函数关系，设y=x+b（k≠0，x=1,2,3,4,5). 由条件①：x=2时，y=42,代入得：2k+b=42①， 第3天的合成量为3k+b第，第4天的合成量4k+b, 由条件②：第3天比第4天合成量少6毫克，即：（4k+b)-(3k+b)=6,解得k=6. 将k=6代入①，得2×6+b=42,解得b=30 因此函数关系式为：y=6x+30(x=1,2,3,4,5). 【小问2详解】 解：当x=1时，y=36, 当x=2时，y=42, 当x=3时，y=48, 当x=4时，y=54, 当x=5时，y=60, 故这5天每天的纳米材料合成量分别为36毫克、42毫克、48毫克、54毫克、60毫克， 平均数为(36+42+48+54+60)÷5=48毫克， 将数据从小到大排列，5个数的中位数为第3个数，即中位数为48毫克. 【小问3详解】解：不低于平均数的天数：第3、4、5天，共3天，从中任取2天， 第3天 第4天 第5天 第3天 (3,4) (3,5) 第4天 (4,3) (4,5) 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种：(3,4)(4,3)(4,5)(5,4)， ∴.P(抽到的2天恰好为连续实验天数)= 4_2 63 23【答案】1)四边形ADCE为正方形，理由如下： ∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点， AD=BD=CD,∠ADC=90°， 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE, ∴.AD=AE,∠DAE=90°， ∴AE=DC,AE II DC 四边形ADCE为平行四边形， .AD =DC, 四边形ADCE为菱形 ∠ADC=90°， 四边形ADCE为正方形 2)BD=2FG:理由如下： 如图2，连接CE, D G 图2 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE, ·AD=AE,∠DAE=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠CAE, 又AB=AC, .∴.△ABD≌△ACE(SAS)； ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, .∠BAC=90°， .∴.∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=9O°， FG⊥BC, ∴.∠FGD=∠ECB=90°， ..FG EC, 又AD=AE,AF1DE, 点F为DE的中点， GF是△DCE的中位线， ∴EC=2FG, ..BD =2FG 3)2V3-2或2+2V3 当点F在AC右侧时，如图3，连接EC,作AM L BC, E A 图3 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE, ∴AD=AE,∠DAE=90, .∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠CAE, 又AB=AC, △ABD≌△ACE(SAS), ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE, ∠BAC=90°，AB=AC ∴.∠B=∠ACB=45°， ∴.∠BCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=90°， .∠DAE=90°，AD=AE,AF⊥DE, ÷AF=EF=DF,∠EAF=号∠DAE=45, .∠ECD=180°-∠BCE=90°， ∴.CF=EF=FD, .AF CF, 又∠ACF=60°， ∴△ACF为等边三角形， ∴.∠CAF=60°， ∴.∠BAD=∠CAE=∠CAF+∠EAF=60°+45°=105°， ∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=30°， AM1BC,AB=2V2,∠B=45°， ·AM=BM=Y 2AB=2, .AM⊥BD,∠ADB=30°， ∴MD=V3AM=2V3, ∴BD=BM+MD=2+2V3: 当点F在AC左侧时，如图4，连接EC,作AM1BC, B 图4 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE, .AD=AE,∠DAE=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠DAE=90° ∴.∠BAD=∠CAE, 又AB=AC, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ·.BD=CE,∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE ∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABC=∠ACB=45°， ∴.∠BCE=∠ACE+∠ACB=∠ABC+∠ACB=9O°， .∠DAE=90°，AD=AE,AF⊥DE, :.AF EF DF.LEAF =DAE=45, ∠ECD=180°-∠BCE=90°， .CF EF=FD, ..AF=CF, 又∠ACF=60°， △ACF为等边三角形， LCAF=60°， LBAD=∠CAE=∠CAF-∠EAF=60°-45°=15°， .∠ADB=∠ABC-∠BAD=30°， AM1BC,AB=2V2,∠B=45°， AM=BM=号AB=2, AM1BC,∠ADB=30, .DM=3AM=2V3, ∴BD=DM-BM=2V3-2: 综上所述，BD的长度为2√3-2或2+2W3. 24.【小问1详解】 解：因为抛物线y=x2+bx+c图像过A、B 由题应1+6+g0 解得=34 .抛物线的解析式为y=x2-4x+3 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)?-1 .抛物线的顶点M(2,-1), 在y=x-4中，当x=2时，y=2-4=-2≠-1， ∴.点M不在直线1上， 过M作MH⊥x轴，交1于点H（2,-2), 过M作瓜⊥y轴，交1于点K(3,-1) 点M(2,-1), 当x=2时，y=-2,则点H(2,-2), 当y=-1时，x=4,则点K(4,-1), 则MK=1,MH=1, ∴.HK=VMK2+MHz=V2, ML=号 “点M到直线1的距离即为最小平移距离，最小平移距离为竖， 【小问3详解】 ①由题可知：抛物线平移后的解析式为y=x2一4x+3-t2, 直线平移后的解析式为y=x-4-2t 由题意得x2-4x+3-t2=x-4-2t, 整理得x2-5x+7+2t-t2=0 x1=X3, .4=b2-4ac=(-5)2-4(7+2t-t2)=0 解得：t1=或，=（舍去） ②抛物线L与y轴交于点E(0,3-t),直线a与y轴交于点D(0,-4-2t) .ED=|3-t2)-(-4-2t)川=-t2+2t+7 “2≤t≤4，当3-t2>-4-2t即片≤t≤1+2V2时， ED=-t2+2t+7=-(t-1)2+8 .当t=1时ED的最大值为8 当3-t2<-3-2t即1+2W2≤t≤4时， ED=t2-2t-7=(t-1)2-8 ∴.当t=4时ED的最大值为1 综上当}≤≤4时ED的最大值为8.