高频考点，速查速记 知识清单-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习知识清单全面覆盖集合逻辑、函数导数、三角数列、立体几何、解析几何、概率统计等高频考点，按模块构建系统知识网络，实现核心内容速查速记。 清单采用模块分级呈现，标注“高频核心”“多选”等重难点，融入“小范围推大范围”等记忆技巧，如向量极化恒等式、圆锥曲线焦点三角形结论等实用结论，培养学生数学思维与模型观念，助力学生自主高效复习，为教师提供精准教学支持。

高频考点，速查速记 速查速记01 集合、逻辑、复数、向量 一、集合 1. 常用数集的表示：自然数集N、正整数集N₊（或N*）、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 2.子集情况：子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. 2、 常用逻辑用语 1.充分条件、必要条件与充要条件：小范围推大范围，大范围不能推小范围， 即小的推大的，大的不能推小的 2.全称量词命题与存在量词命题的否定：（改量词，否结论，条件不变） 全称量词命题： 它的否定： 存在量词命题类似 三、复数 1. 复数的定义：形如a+bi（a,b∈R）的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位（i²=-1）. 2. 复数的分类：实数（b=0）、虚数（b≠0），虚数中纯虚数（a=0且b≠0）.3. 复数的模：|a+bi|=，表示复数对应的点到原点的距离. 4.复数的常用结论： (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． (2)i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). (3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 复数：（多选）已知复数z满足，则（ ）【答案】BC A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 四、平面向量 （有特殊角或三角函数值可以建系） 1.平面向量共线的坐标表示: 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．当且仅当有唯一一个实数，使. 2..求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]. 3.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. 4.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. (3)若a＝(x，y)，则|a|＝. 5．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 6. 若G为△ABC的重心，则有 ①＋＋＝0；②＝(＋)． 7向量在向量上的投影向量 8.极化恒等式：三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： 速查速记02 函数与导数 1、 函数核心考点 1.定义域、值域：用区间或集合表示 2.函数的单调性：（1）图像 (2)定义法；(3)复合函数. 同增异减.（4）性质法 3.函数的奇偶性（首先看函数定义域是否关于原点对称） 方法：（1）图像 (2)定义法；（3）性质法：在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ）（答案A） A． B． C． D． 4. 函数的对称性和周期性： （1）周期性：①若，则．②若，则． （2）若函数的定义域为，且有，则函数的图象关于直线对称． （3）函数的图象关于点（a，b）成中心对称． （25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ）（答案C） A． B．1 C．3 D．7 5、 指、对、幂函数（对数运算法则：加乘、减除顶在外， ） 6.零点是数，函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)利用函数图象的交点 (3)零点存在性定理+函数的单调性 2、 导数（注意复合函数求导、根式化成分数指数幂再求导） 1.与曲线的切线方程相关的问题 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： (1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程. 2.切线不等式： 3.可导函数的单调性、极值、最值（先求函数的定义域，再求极值点，有参数注意分类讨论，注意极值点是数） 速查速记03 三角函数与解三角形 1. 角度与弧度的换算：180°=πrad，1°=rad，1rad= . 2. 弧长公式：l=|α|r（α为弧度制，r为半径）.扇形面积公式： 3. 任意角的三角函数定义：设角α终边上一点P(x,y)， ，则. 4.两角和差公式 ⑴ Sα±β：sin(α±β)＝sinα cosβ ±cosα sinβ； ⑵ Cα±β：cos(α±β)＝cosα cos β ∓ sinα sinβ； ⑶ Tα±β：；(上同下异) 5.二倍角公式 (1) (2) (3) 6.辅助角公式 （其中：，象限看（a,b）) 其中 参考： 7.积化和差公式cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 8．和差化积公式sin α＋sin β＝2sincos；sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos；cos α－cos β＝－2sinsin. 9.万能公式：. 10.正弦平方差：sin(A+B)sin(A-B)=sin²A-sin²B 11．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R． (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bc·cosA b2＝c2＋a2－2ca·cosB c2＝a2＋b2－2ab·cosC 变形形式 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝ cos B＝ cos C＝ 12．三角形常用面积公式 S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A；或S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 13.在三角形中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，sin＝cos，sinA>0，等． 14.三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acosB 15.中线长公式（向量法或双余弦定理）：△ABC的BC边上的中线长 16.角平分线（角平分、等面积法、内角平分线定理）已知，如图，AM为△ABC的角平分线，则: . 速查速记04 数列 一、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 1、等差（比）中项 若与的等差中项，则。 如果， ，成等比数列，叫做与的等比中项. ①、与是两个同号的非零实数 ②、若是与的等比中项，则 2、判断等差（比）数列的方法 ① ②③ ① ②③ 3、等差（比）数列的通项公式 ① 其中、是常数 ② ③， ① ② ③ 4、性质1 在等差数列中，若且、、、，则。 特别地、在等差数列中，若且、、，则。 在等比数列中，若（，，，），则。 特别地，等比数列中，若（，，），则。 5、等差（比）数列的单调性 ①若，则为递增数列； ②若，则为递减数列； ③若，则为常数列。 ①当时，为常数列；②当时，为摆动数列；③当， 时，为递增数列；④当， 时，为递减数列； ⑤当， 时，为递减数列； ⑥当， 时，为递增数列。 6、等差（比）数列的前n项和公式 ① ② (d=2A) 当时，； 当时， = 7、前n项和的性质1 等差数列前项和的性质：等差数列的公差为，前项和为，那么数列，，，（）是等差数列，其公差等于。 等比数列的公比为，前项和为，那么数列，，，（）是等比数列，其公比等于。（注意q=-1，k为偶数不成立） 8、前n项和的性质2 (1)等差数列的前项和为，项数为（）项，则①， ②，③；(2)等差数列的前项和为，项数为（）项，则①（常用），②，③. 在等比数列中，若项数为（），则 二、典型题型小结 1、求数列最大（小）值的方法 一般方法——解不等式；或 特别地，若为等差数列，为它的前n项的和时，求的最大（小）值可以利用①二次函数的性质；②中项的符号。 2、求数列通项的常用方法 ①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式； ②公式法：利用求通项公式 ③根据递推公式求通项公式： （1）累加法：形如的递推公式可用求出通项； （2）累乘法：形如的递推公式可用求出通项； （3）形如形式可用待定系数法 把原递推公式转化为：。 an＋1＝pan＋qn :两边同除以，构造新的数列 an＋1＝pan＋qn＋c:引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} 3、数列求和的常用方法 1、基本公式法：（1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： 也可利用常见的求前项和的公式，如 2、分组求和法：有些数列，通过适当拆项或分组后，可得到几个等差或等比数列，这样就可利用公式法进一步求和了． 3. 裂项相消法：把数列的通项裂成两项之差后求和，正负项相消，剩下首尾若干项．使用此方法时必须搞清楚消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．如： 常见的拆项公式 (1)＝－； (2)＝； (3)＝－； (4)＝－. 4.倒序相加法：当把一个数列倒过来排序，与原数列对应项相加后有公因式可提，且余下的项容易求和，这时一般可用倒序相加法求其前项和．如：已知函数=,求= 5. 错位相减法： 形如，其中为等差数列，为等比数列。 则求此数列的前项和时一般采用(乘公比)错位相减法．如若公比是字母，须对或进行讨论． 6.并项求和法:一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 速查速记 05 立体几何 1．斜二测画法： 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 侧面展开图 侧面积公式 表面积 体积 圆 柱 S 圆柱侧＝2πrl 棱柱 圆柱 S 表＝S 侧＋2S底 V＝Sh 圆 锥 S 圆锥侧 ＝πrl 圆锥 S 表＝S 侧＋S 底 圆 台 棱台 S 圆台侧 ＝π(r1＋r2)l 圆台 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下 棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面 积--不外乎三角形面积，平行四边形面积 球 S＝4πR2 3.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.（多种补体可用） (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a，外接球半径R外＝a. （4）圆柱（直棱柱）、圆锥（正棱锥）、圆台（正棱台）（构造直角三角形）。 （5）面面垂直用公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) （6）定义法（4个点到某一点O的距离相等即O为球心）或坐标法 (7)内切球：等体积法r＝， 4.截面问题： 第一步：确定截点 明确已知点位于几何体的棱上或面上，标记所有已知截点位置。 第二步：扩展截面 若两点在同一平面内，直接连线得截线；若不在同一面，则通过作平行线或利用面面交线扩展得到新截点。 第三步：作交线 利用“若两平面有一公共点，则它们有且仅有一条过该点的交线”，分别作出截面与几何体各面的交线。 第四步：封闭成形 连接所有截点形成封闭多边形，即得完整截面。 第五步：判断形状 根据截面各边的平行、相等、垂直等关系，判断其为三角形、四边形、五边形等，并进一步判断是否为特殊图形（如平行四边形、梯形等）。 5.动点轨迹：几何法或者建系 6、最值问题：（1）和差最值：展开为一平面（2）体积最值：转化为函数问题、或面面垂直。 7.空间直线位置关系、空间角、距离 向量 几何 线线平行 l∥m⇒a∥b⇔a＝kb，k∈R 中位线、平行四边形、成比例、线面平行及面面平行的性质 线面平行 ，l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0 线线平行、面面平行 面面平行 α∥β⇒u∥v⇔u＝kv，k∈R 两次线面平行（两条线要相交） 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0 三线合一、勾股定理、菱形（正方形）对角线、圆直径所对的圆周角、线面垂直的性质（异面直线常用） 、向量法 线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R 两次线线垂直（两条线要相交）或面面垂直（找交线的垂线，得线面垂直） 面面垂直 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 一次线面垂直（线要在面内） 线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝ (0,] 线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝ [0,] 面面夹角 α，β的夹角为θ，cos θ＝ [0,] 二面角 α，β的夹角为θ，要判断是都钝角还是锐角 [0,] 点面距 直接法、等体积法、线面平行转移法 速查速记06 直线与圆 1.直线的倾斜角与斜率： 倾斜角为α(α≠90°) 2.直线的方程 ：答案的表示 (1)斜截式:y＝kx＋b (2)一般式： 3.两条直线的位置关系：平行、重合、相交（垂直） 4.平面上的距离公式(1)任意两点间的距离： 若 P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) ，则 (2)点到直线的距离：点 P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为 (3)两条平行直线间的距离： 直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A 与 B 不同时为0 ，且 C1≠C2)间的距离 5.（1）圆的标准方程：圆心为(a ，b) ，半径为 r(r>0)的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2 ＝r2 . （2）圆的一般方程 当D2＋E2 －4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程，圆心为 半径为 6 ．求弦长的方法（圆一般采用几何法） （1）利用垂径定理：已知半径 r、弦心距 d、弦长 l ，则 （2）弦长最小(大)问题：一般先找定点P，定点为弦的中点。过点的所有弦中最长的为直径. 7.求切线方程的方法 （抓住圆心到直线的距离等于半径） （1）过圆上一点圆的切线方程是：，切点弦也是该方程。 （2）从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程； ③切线长：勾股定理 注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线． （1） 涉及到切线长最小值：转化成圆心到直线的距离问题。（面积、切点弦长最小等） 8、利用代数法的几何意义求最值（很多向量也转化为此类问题） （1）形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； （2）形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； （3）形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 9 .圆与圆的位置关系（求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程） 公切线直线方程（相切时，两圆方程相减即得一条，其他情况利用求切线方程的方法求出） 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何法 d>R＋r d＝R＋r R －r<d<R＋r d＝R －r d<R －r 公切线 4 3 2 1 0 速查速记 07 　圆锥曲线的方程 1.　椭圆、双曲线、抛物线的比较 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 几何图形 集合表示 {M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|>0} {M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1F2|} {M||MF|＝点M到直线l的距离} 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(－c,0)，F2(c,0) F 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a,0)，A2(a,0) O(0,0) 中心 原点(0,0) 原点(0,0) 无 离心率 0<e＝<1 e＝>1 e＝1 通径长 2p 焦半径 （1）；（2）（记忆：左加右减） （1）；（2）（记忆：左加右减） ,. 2.椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论 （1）椭圆 焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|＝b2tan.，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． |PF1|·|PF2|＝， 当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形，其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点； （2）双曲线 设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点∠F1PF2＝θ. 则焦点三角形中有：（1） (2)|PF1|·|PF2|＝， 3.弦长公式 4、中点弦公式（点差法）（公式椭圆、双曲线都符合） （1）已知是椭圆上的两个点，为中点，则 （2）已知是椭圆：上的两动点，是椭圆上异于的一点，若两点关于原点对称= 5.抛物线焦点弦的相关结论 已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB为过焦点F的弦，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点（x0，y0）且弦AB所在直线的倾斜角为θ.(以上图为依据) (1)y1y2＝－p2，x1x2＝.（2）|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．(3)|AF|＝，|BF|＝， (4)＋=. (5)以AB为直径的圆与准线相切． (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (7)S△OAB＝. (8)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)． （9） 6.焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交椭圆（双曲线）于两点，在线段上； ，；若，则焦比公式： 速查速记 08概率统计 统计 1. 频率分布直方图 横轴表示样本数据，纵轴表示. 小长方形的面积＝组距×＝频率 2. 百分位数：从小到大排列，，若是整数，取；若不是整数，取下一个数据. 注意：上四分位数（75%），下四分位数（25%），第一、二、三四分位数（25%、50%、75%） 3. 总体离散程度的估计 方差： 标准差： 4. 两个变量的线性相关 （1）样本相关系数r的取值范围为．当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．注意点： 当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． （2）经验回归方程：我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. ＝x＋ 其中 注意点：经验回归方程＝x＋必过点样本点中心．若是非线性，则换元（一般有相关的数据） （3）残差平方和法：越小，模型的拟合效果越好． 决定系数R2 越大，模型拟合效果越好; 5. 独立性检验 （1）零假设（或原假设）：两个分类变量独立；（2） 2×2列联表：(3)公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. (4)查表（题目中会给出）：常用临界值表如下： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （5）下结论：①当时，我们推断不成立，即认为不独立，该推断犯错误的概率不超过； ②当时，我们没有充分证据推断不成立，即可以认为 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 计算原理 1. 排列组合 (2)排列数表示法： (2)组合数表示法： (3)公式： (4)性质： 2.排列组合应用问题的主要方法 (1)分组问题 ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题：先分组再排列分配 (3)隔板法：相同元素的分组分配问题。 3.二项式定理 (1) 项数：n次二项式展开式共有n+1项 （2）二项式系数： （3）通项： (的顺序不能交换，第项) 4.二项式系数的性质：（1）对称性：(2)增减性：先增后减中间项最大 ①为偶数时，最大，(奇数项)；②为奇数时，最大，(偶数项). 5.二项式系数之和：①令 ②令 6.系数之和：令未知数等于1，如 令； . 概率 1.事件的关系（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件） 互斥事件：，事件A与B不能同时发生 对立事件：A∪B=Ω,且A∩B=⌀，事件A与B有且只有一个发生. 2.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（∅）＝0 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B） 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B） 性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B） 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 3.概率模型（4种） 概率 古典 条件 全概率 独立 公式 离散型随机变量及其分布列 1.用表格表示：(一般涉及组合数的计算) 2.性质：①② 3.均值（或数学期望）：它反映了随机变量取值的平均水平. 4.方差：度量随机变量取值与均值的偏离程度 标准差： 5.性质： 6.概率分布模型 模型 两点分布 二项分布 超几何分布 正态分布 公式 X~H(N,M,n) 其中N为总体数量，M为成功个体数，n为抽取样本数。 概率 、 对称性、原则 均值 方差 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $