第七章 数列（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《数学拓展模块下册》第七章数列B卷（能力提升），单元复习用，紧扣教材核心考点，通过基础巩固与能力提升梯度设计，融合文化传承（如古塔灯数）与社会热点（如垃圾分类）情境，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|20/60|等差数列、等比数列的通项公式与前n项和|基础考点与知识整合结合，如等差等比综合题| |填空题|5/20|等差等比性质、递推关系|注重概念辨析，如等比中项与等差数列综合| |解答题|5/40|数列通项与求和、实际应用（垃圾分类、古塔灯数）|综合应用与创新情境，如垃圾分类成本预算问题，体现数学语言表达现实世界|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列满足，，则等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，，，，，… 所以数列是周期数列，周期为3， 所以. 2．记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 3．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的求和公式求出，可求出该数列的公差，进而可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，前项和为，则，解得， 故，故. 4．已知，均为等差数列，且，，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由于，均为等差数列，则为等差数列， 又，，所以的公差为1， 故． 5．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 【答案】C 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 可得，解得， 则. 6．已知等差数列的前项和为，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用等差数列重要性质：，，成等差数列， 则，所以， 所以．故C正确． 7．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 8．已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 所以，，，， 所以，故， 则. 9．已知，若成等比数列，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，， 则，即，得. 10．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出、的值，再代入待求式计算即可. 【详解】已知数列是等差数列，数列是等比数列， 则，， 解得，进而，因此. 11．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由条件得，整理得. 可得的公比，则. 12．已知数列是等比数列，为前项和，若，则（   ） A．39 B．36 C．27 D．12 【答案】A 【详解】设数列的公比为， 又因为，， 所以，则， 因此. 13．已知公比大于1的等比数列，若，，则（    ） A． B．11 C．23 D．121 【答案】D 【分析】利用等比数列性质转化，结合韦达定理求出，再用通项公式求出 【详解】因为为等比数列，所以， 又因为，公比大于1，所以，则是方程的两个根， 且，即， 14．已知数列为等比数列，，且依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求得公比，进而得到通项公式，然后利用对数的运算法则求解. 【详解】设数列的公比为，因为，依次成等差数列，所以，所以，则，故，所以. 故选：C. 15．记为等差数列的前项和．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求得首项和公差，进而利用通项公式和求和公式计算通项和前n项和，从而做出比较. 【详解】由 又 , 故选：A. 16．已知，则数列中相等的连续两项是（    ） A．第9项，第10项 B．第10项，第11项 C．第11项，第12项 D．第12项，第13项 【答案】B 【分析】利用二次函数的对称性求解即可. 【详解】，的对称轴为， 数列中相等的连续两项为第10项，第11项. 故选：B. 17．已知数列中，，则数列中最大项的值是（    ） A．107 B．108 C． D．109 【答案】B 【分析】对数列的通项公式配方，然后根据二次函数的性质和数列的特点即可得到结果． 【详解】由题意可知 ， 由于， 故当取距离最近的正整数时，取得最大值. ∴数列中的最大值为. 故选：B. 18．在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】利用等差数列的下标和性质求得，进而得到a3＝10,求得公差，再求得首项，得到通项公式，然后解得. 【详解】由a1+a2+a321,得, a2a3＝70，∴a3＝10, ∴公差 ∴， , 解得 故选：C. 19．某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差， 则其前项和， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以该层数为8. 20．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由上至下每一层的灯数形成以为公比的等比数列，根据即可求出. 【详解】设塔的顶层灯数为， 由上至下每一层的灯数形成以为公比的等比数列， 由题可得，解得， 所以塔的顶层的灯数是. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知等差数列的前项和为，，，则_________． 【答案】25 【分析】根据题意列出关于和的方程，求解出，再求出. 【详解】设等差数列的公差为. ，，得. ，. 22．在等比数列中，，，则________． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 23．在数列中，，，若，则__________. 【答案】19 【分析】根据递推公式判断是公差为100的等差数列，代入等差数列通项公式结合已知条件求解. 【详解】由递推关系得（常数）， 因此是首项，公差的等差数列. 等差数列通项为，将代入得， 整理计算得，解得. 24．已知等比数列的公比，且，若，3，成等差数列，则________. 【答案】8 【分析】根据等差数列的性质求得公比，再由等比数列的通项公式计算. 【详解】因为，3，成等差数列，所以， 又是等比数列，公比是且，所以， 因为，故解得（舍去）， 所以. 25．记为数列的前项和，若，则______. 【答案】 【分析】利用与关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得结果. 【详解】当且时，， ， 又，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， . 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）应用的关系求数列的通项公式；应用等比数列基本量的计算可求得等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和即可. 【详解】（1）当时，. 当时，，也符合上式，所以. 设正项等比数列的公比为，则，又， 所以，即，解得， 所以. （2）设的前项和为， 所以. . 27．已知数列为等差数列，且，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，则有， 解得， 故； （2）， 则. 28．已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 【答案】(1),, (2)当或时，取最小值. (3) 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【详解】（1），， . （2）， 故当或时，取最小值. （3）当时，， 故. 29．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. （2）由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 30．实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． (1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； (2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得从今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量，为每年生活垃圾的总量与每年用环保的方式处理的垃圾总量的差，又注意到从今年起每年生活垃圾的总量构成等比数列，今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量构成等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合题目数据，参考数据可得答案. 【详解】（1）由题可得从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成公比为1.1的等比数列， 今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成公差为10的等差数列， 今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成数列，满足. 则，，. （2）设6年内处理生活垃圾的预算之和为W，数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 则， 所以（元） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列满足，，则等于（   ） A． B． C．2 D． 2．记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 3．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，均为等差数列，且，，（     ） A． B． C． D． 5．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 6．已知等差数列的前项和为，，，则=（    ） A． B． C． D． 7．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 9．已知，若成等比数列，则（   ） A． B．2 C． D． 10．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 11．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 12．已知数列是等比数列，为前项和，若，则（   ） A．39 B．36 C．27 D．12 13．已知公比大于1的等比数列，若，，则（    ） A． B．11 C．23 D．121 14．已知数列为等比数列，，且依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 15．记为等差数列的前项和．已知，，则（    ） A． B． C． D． 16．已知，则数列中相等的连续两项是（    ） A．第9项，第10项 B．第10项，第11项 C．第11项，第12项 D．第12项，第13项 17．已知数列中，，则数列中最大项的值是（    ） A．107 B．108 C． D．109 18．在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 19．某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 20．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知等差数列的前项和为，，，则_________． 22．在等比数列中，，，则________． 23．在数列中，，，若，则__________. 24．已知等比数列的公比，且，若，3，成等差数列，则________. 25．记为数列的前项和，若，则______. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 27．已知数列为等差数列，且，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 28．已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 29．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 30．实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． (1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； (2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $