【人教版】期末模拟卷（2）-2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》（原卷版+解析版）

**基本信息** 精准覆盖《数学拓展模块一》第5-7章核心考点，贴合职教高考真题题型，融入文化情境（五音排序）与实际应用（兼职工资回归分析），培养空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|空间线面关系、正态分布、排列组合|基础巩固，如第7题以五音排序考查排列知识| |填空题|5/15|二面角、二项式展开|能力提升，如第18题考查展开式特定项| |解答题|4/40|概率分布、立体几何证明|创新应用，如第21题结合播种情境考查二项分布，第23题通过四棱锥模型培养逻辑推理|

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学 拓展模块一》（人教版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（2） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一》（人教版）第5-7章。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．空间中两两相交的三条直线可以确定几个平面（    ）. A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质进行分析即可. 【详解】空间中两两相交的三条直线可以确定1或3个平面， 如下图所示，当两两相交的三条直线不在同一平面时，可以确定3个平面， 当两两相交的三条直线在同一平面时，可以确定1个平面. 故选：D. 2．一条直线与平面内的两条直线都垂直，则直线与平面（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．关系不确定 【答案】D 【分析】根据题意结合直线与平面的位置关系即可得解. 【详解】一条直线与平面内的两条直线都垂直，则直线与平面可能平行，垂直，直线在平面内， 所以直线与平面关系不确定， 故选：. 3．下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一平面的两个平面垂直 B．垂直于同一平面的两条直线垂直 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据空间中线面位置关系即可解得. 【详解】选项AC：垂直于同一平面的两个平面位置关系可能为平行、垂直或相交，AC错误. 选项BD：根据线面垂直定理，垂直于同一平面的两条直线互相平行，D正确，B错误. 故选：D 4．已知，则值为（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】根据组合数的性质列方程组求解即可. 【详解】已知， 或， 由得到， 由解得， 所以值为为或. 故选：C. 5．直线平面，直线与平面所成的角为，那么直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线面角的定义，结合线线角、等角定理即可得解. 【详解】平移与，使得，，，如图， 则由线面角的定义可知，直线与平面所成的角为， 因为直线平面，所以， 所以，即直线与直线所成的角为. 故选：. 6．某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种大束10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ） 附：若， A．8400 B．8185 C．9974 D．9987 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】由，数学期望，方差， 由公式可知： ， ， ， 所以单果质量在范围内的大枣个数约为， 故选：B 7．中国古乐中以“宫、商、角、羽”为五个基本音阶，故有“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成五音阶的所有音序，则“宫”、“羽”两音阶不相邻排法共有（     ） A．72种 B．36种 C．48种 D．24种 【答案】A 【分析】根据插空法，首先排列其余三个音阶，再插入“宫”、“羽”即可. 【详解】将五个基本音阶中除去“宫”、“羽”两音阶的排法有种，形成了四个空位. “宫”、“羽”两音阶不相邻的排法有. 由乘法原理共有. 故选:A. 8．已知的展开式中各二项式系数之和为1024，则展开式的中间项为（   ） A．252 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，再根据二项式的展开式求中间项. 【详解】因为各二项式系数之和为1024，所以，解答. 则展开式的中间项为第项. 因为的展开式为， 所以. 故选：C. 9．“两条直线分别在两个平面内”是“两条直线是异面直线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合空间内两条直线的位置关系，异面直线的定义，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若两条直线分别在两个平面内，则两条直线可能相交、平行或异面，如下图所示： 故充分性不成立； 若两条直线是异面直线，则这两条直线不同在任意一个平面内，故两条直线分别在两个平面内，故必要性成立； 故“两条直线分别在两个平面内”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件. 故选：B. 10．某职业院校计算机专业的6名同学参加某项技能大赛集训，若平均分成3组训练，则所有不同分组方法的种数是（   ） A．10 B．15 C．45 D．90 【答案】B 【分析】根据组合数公式以及平均分组的计算方法来求解即可. 【详解】要将6名同学平均分成3组， 则所有不同分组方法的种数为. 故选：B. 11．已知点到平面的距离为，过点向平面引斜线段，斜线与平面成角，则斜线段在平面上的射影长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线面角的定义，射影的定义即可得解. 【详解】如图所示， 过点作，垂足为，则，， 所以斜线段在平面上的射影长为的长， 在中， 故选：B． 12．已知是两条直线，是三个平面，则下列说法正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】若，则可能平行，可能相交，故A错误， 若，则，故B正确， 若，则可能平行，相交或异面，故C错误， 若，则可能平行，可能相交，故D错误， 故选：B. 13．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系.已知小孙的工作时间x（单位：小时）与工资y（单位：元）之间的关系如下表所示. x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 若y与x的经验回归方程为，则当工作时间为9小时时，小孙的工资大约为（    ） A．75元 B．76元 C．77元 D．78元 【答案】B 【分析】根据题意求得样本中心，再利用样本中心在回归方程上可求得，进而将代入回归直线即可得解. 【详解】由表格数据知：，， 所以， 则线性回归方程为， 所以当当工作时间为小时时，工资大约为元. 故选：B. 14．已知的展开式中，第二项的二项式系数为9，且含项的系数为18，则（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】A 【分析】由题意先求出的值，再利用二项展开式的通项求解. 【详解】展开式的第二项的二项式系数为， 已知第二项的二项式系数为，即，解得， 展开式的通项为， 令，解得，可得含项的系数为， 已知含项的系数为，则，解得. 故选：A. 15．如图，在正方体中，下列结论错误的为（    ）    A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线平面 D．平面与平面所成的二面角为 【答案】D 【分析】对A，证明直线平面即可；对B，根据线面角的定义，根据直线与平面所成的角为即可；对C，根据线面垂直的判定证明即可；对D，根据二面角的定义可得平面与平面所成的二面角为即可. 【详解】对A，连接如图，由正方体性质可得， 且平面，平面，故. 又，平面，故平面. 又平面，故. 故直线与直线所成的角为，故A正确；    对B，因为平面，故直线与平面所成的角为，故B正确； 对C，连接如图，由正方体性质可得， 且平面，平面，故. 又，平面，故平面. 又平面，故. 同理，又，平面，故平面，故C正确；    对D，平面与平面交于，且，，故平面与平面所成的二面角为，故D错误.    故选：D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据相等复数的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：2. 17．若斜线段的长是它在平面上射影长的2倍，则与所成的角为_________度. 【答案】 【分析】根据线面角定义求出角的余弦值，结合角的范围即可得到线面角的角度. 【详解】设与所成的角为， 由题意可知，且，则. 故答案为：. 18．展开式中含的项为__________. 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式可知：， 令，解得，所以展开式中含的项为. 故答案为：. 19．已知随机变量，若，则_________. 【答案】 【分析】先由二项分布的均值，求出，再利用正态曲线的对称性、以及概率和为1求解. 【详解】由题可得，，所以，    由正态分布曲线关于直线对称， 所以， 故答案为：. 20．如图，四面体中，，平面平面，，，则______. 【答案】13 【分析】取的中点，连接，利用面面垂直证明线线垂直，然后利用勾股定理求即可. 【详解】取的中点，连接， 因为，，， 所以，所以. 因为，是的中点， 所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在中，， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2 【分析】（1）先求解每个坑要补种的概率，进而求每个坑不需要补种的概率即可； （2）由题意知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且，再利用二项分布的概率公式可求出各自对应的概率，从而可得分布列． 【详解】（1）由题意可知每个坑要补种的概率， 则每个坑不需要补种的概率为． （2）易知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且， 因此， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 22．已知复数（）满足. (1)求、满足的关系式； (2)若，求实数、的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共轭复数性质得，代入条件展开后合并实部虚部，化简得关系式； （2）结合得，联立（1）的关系式解方程组得. 【详解】（1）由已知得，则，，代入条件得： （2）由得，联立， 代入得： 再代入，得，故. 最终，. 23．如图，已知四棱锥中，底面为矩形且，平面平面，是等边三角形，点是的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（2） 【分析】（1）利用角的关系证出，再证明出，得到平面，进而证明可得 （2）由（1）知平面．即直线与平面所成的角为，然后求出与，即可求解 【详解】（1）∵为矩形且，为的中点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，∴，∴． 连接，是等边三角形，是的中点，所以． 又平面平面，平面，平面平面. 所以平面．又平面，所以． 又，平面．所以平面． 又平面，所以． （2）由（1）知平面． 即直线与平面所成的角为． 设，则在中，，所以． 在等边中，，所以． 在中，，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 24．如图，在四棱锥中，底面是萎形，平面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，可证得四边形是平行四边形，从而，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）先证明平面，然后根据面面垂直的判定定理证明. 【详解】（1）取的中点，连接，，    因为是的中点，是的中点，可得，且， 由于底面是菱形，所以，且， 又因为是的中点，所以， 那么，且， 则，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面是菱形，所以， 已知平面，平面，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面， 所以平面平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学 拓展模块一》（人教版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（2） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一》（人教版）第5-7章。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．空间中两两相交的三条直线可以确定几个平面（    ）. A．1 B．2 C．3 D．1或3 2．一条直线与平面内的两条直线都垂直，则直线与平面（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．关系不确定 3．下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一平面的两个平面垂直 B．垂直于同一平面的两条直线垂直 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 4．已知，则值为（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．6 5．直线平面，直线与平面所成的角为，那么直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D．6．某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种大束10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ） 附：若， A．8400 B．8185 C．9974 D．9987 7．中国古乐中以“宫、商、角、羽”为五个基本音阶，故有“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成五音阶的所有音序，则“宫”、“羽”两音阶不相邻排法共有（     ） A．72种 B．36种 C．48种 D．24种 8．已知的展开式中各二项式系数之和为1024，则展开式的中间项为（   ） A．252 B． C． D． 9．“两条直线分别在两个平面内”是“两条直线是异面直线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．某职业院校计算机专业的6名同学参加某项技能大赛集训，若平均分成3组训练，则所有不同分组方法的种数是（   ） A．10 B．15 C．45 D．90 11．已知点到平面的距离为，过点向平面引斜线段，斜线与平面成角，则斜线段在平面上的射影长为（　　） A． B． C． D． 12．已知是两条直线，是三个平面，则下列说法正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系.已知小孙的工作时间x（单位：小时）与工资y（单位：元）之间的关系如下表所示. x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 若y与x的经验回归方程为，则当工作时间为9小时时，小孙的工资大约为（    ） A．75元 B．76元 C．77元 D．78元 14．已知的展开式中，第二项的二项式系数为9，且含项的系数为18，则（   ） A．2 B． C．2或 D．1 15．如图，在正方体中，下列结论错误的为（    ）    A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线平面 D．平面与平面所成的二面角为 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知，则的值为______． 17．若斜线段的长是它在平面上射影长的2倍，则与所成的角为_________度. 18．展开式中含的项为__________. 19．已知随机变量，若，则_________. 20．如图，四面体中，，平面平面，，，则______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 22．已知复数（）满足. (1)求、满足的关系式； (2)若，求实数、的值. 23．如图，已知四棱锥中，底面为矩形且，平面平面，是等边三角形，点是的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 24．如图，在四棱锥中，底面是萎形，平面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $