专题6 复数（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 复数 【复习目标】 1. 理解复数的基础概念. 掌握定义；分清实部与虚部；复数相等条件. 2. 掌握复数的基本运算（重点）. 3. 理解复数的几何意义（初步） 4. 解决实系数一元二次方程 【考点1 复数的概念】 一、复数的概念 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． 4. 复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2．集合表示： 二、复数的几何意义 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做__复平面__，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__．实轴上的点都表示__实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 3．复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． 4．共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 【即时训练】 1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．设为实数，若复数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，若（i为虚数单位）是纯虚数，则（    ） A．3 B． C．2 D． 4．下列各数中，纯虚数是（   ） A．2 B． C． D． 5．已知，其中x，，则x，y的值分别为（    ） A． B． C． D． 6．若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 7．若复数满足，则（ ） A． B．13 C． D．5 8．若复数的模为，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0或2 9．已知为虚数单位，复数在复平面中对应的点是（   ） A． B． C． D． 10．若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2 . 复数的加、减、乘法运算】 1．复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． 2．复数加法的运算律 (1)交换律：__z1＋z2＝z2＋z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__． 3．复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____． 4．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__． 5．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝__z2·z1__ 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__ 【即时训练】 1．设复数， 那么 （     ） A． B． C． D． 2．设 ， ，则 （　　） A． B． C． D． 3．复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知复数，，则所对应的点在复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．设复数z1＝-2＋i，z2＝1＋2i，则复数z1-z2在复平面内的对应点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．设，则（    ） A． B． C． D． 8．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 9．若复数，则（    ） A． B． C． D．20 10．若复数，则的共轭复数的模等于（   ） A．5 B． C． D． 11．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点3 . 实系数一元二次方程】 1.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 2.和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 【即时训练】 1．方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C． D．3 3．在复数集中，下列不属于方程的根的是（    ） A． B．2 C． D． 4．已知实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程的一个根是，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若是方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A． B． C． D．i 7．已知复数，是方程的两个虚数根，则（    ） A．0 B． C．2 D．4 1. （2025·河北对口升学·真题T03）已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 复数 【复习目标】 1. 理解复数的基础概念. 掌握定义；分清实部与虚部；复数相等条件； 2. 掌握复数的基本运算（重点）. 3. 理解复数的几何意义（初步） 4. 解决实系数一元二次方程 【考点1 复数的概念】 一、复数的概念 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． 4. 复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2．集合表示： 二、复数的几何意义 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做__复平面__，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__．实轴上的点都表示__实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 3．复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． 4．共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 【即时训练】 1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的虚部求解即可. 【详解】复数的虚部是. 故选：D. 2．设为实数，若复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的实部和虚部对应相等求解列式求解即可. 【详解】由得， 解得. 故选：A. 3．已知，若（i为虚数单位）是纯虚数，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数的分类列式求解即可. 【详解】要使原复数为纯虚数，则且，则． 故选：B. 4．下列各数中，纯虚数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念即可求解. 【详解】对于A，实部，虚部，故它是实数，故A错误. 对于B，实部，虚部，故它是纯虚数，故B正确. 对于C，实部，虚部，故它不是纯虚数，故C错误. 对于D，实部，虚部，故它不是纯虚数，故D错误. 故选：B. 5．已知，其中x，，则x，y的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的类型，列方程可求解. 【详解】由可知， 且， 解得. 故选：B 6．若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 【答案】B 【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：B. 7．若复数满足，则（ ） A． B．13 C． D．5 【答案】A 【详解】由得 8．若复数的模为，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0或2 【答案】D 【分析】根据复数模求解参数即可. 【详解】因为复数的模为， 即，解得或. 故选：D. 9．已知为虚数单位，复数在复平面中对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义求解. 【详解】对于复数，其实部，虚部， ∴复数在复平面中对应的点的坐标是， 故选：D. 10．若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数对应的点在各个象限的特征即可求解. 【详解】由在复平面内对应的点在第一象限,所以， 故选：C 【考点2 . 复数的加、减、乘法运算】 1．复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． 2．复数加法的运算律 (1)交换律：__z1＋z2＝z2＋z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__． 3．复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____． 4．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__． 5．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝__z2·z1__ 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__ 【即时训练】 1．设复数， 那么 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合复数的运算，即可求解. 【详解】因为复数， 所以. 故选： A. 2．设 ， ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的加减法以及复数的模求解即可. 【详解】因为设 ， ，所以. 进而. 故选：C. 3．复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，再根据题意列方程求解即可. 【详解】因为复数，，它们的和为实数，差为纯虚数， 所以是实数，是纯虚数， 故解得，. 故选：A. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法运算易得答案. 【详解】由题意得． 故选：C. 5．已知复数，，则所对应的点在复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】求出，得到其在复平面对应的点，进而得解． 【详解】因为，， 所以， 其在复平面对应的点为，在第四象限． 故选：D． 6．设复数z1＝-2＋i，z2＝1＋2i，则复数z1-z2在复平面内的对应点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】z1-z2＝（-2＋i）-（1＋2i）＝（-2-1）＋（i-2i）＝-3-i，故z1-z2的对应点的坐标为（-3，-1），在第三象限． 考点：复数的减法运算及其几何意义. 7．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出，结合复数的运算及复数的相等即可得解. 【详解】设，，则， 则由， 得， 得， 得，得 即， 故选：. 8．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法法则可求解. 【详解】. 故选：B 9．若复数，则（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念，复数模长公式即可求解. 【详解】因为，所以， 故， 则 故选：C. 10．若复数，则的共轭复数的模等于（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念得出的共轭复数，再由复数模的公式求值即可. 【详解】已知复数， 则的共轭复数为，所以， 故选：C. 11．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算法则计算即可. 【详解】， . 故选：A. 【考点3 . 实系数一元二次方程】 1.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 2.和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 【即时训练】 1．方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用实系数一元二次方程的求根公式求解. 【详解】在方程中，可得， 所以方程的两根为， 故选：A. 2．已知是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，结合实系数的一元二次方程两根之间的关系，可求得另一个根，结合根与系数的关系，及复数的运算，即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以是关于的方程的另一个根， 所以，即，解得， 所以. 故选：A. 3．在复数集中，下列不属于方程的根的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】分别求出方程在实数集和复数集的根即可. 【详解】因为， 所以， ∴或， 由解得，， 由解得，， 综上，原方程的根为，，，， 所以2不属于方程的根. 故选:B. 4．已知实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实系数一元二次方程的虚根成对定理，虚根互为共轭复数，即可求解. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根为， 所以它的另一个根是. 故选：A. 5．已知一元二次方程的一个根是，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据实系数一元二次方程虚数根的特征和根与系数的关系，可求得复数，从而得其共轭复数，据此可判断结果. 【详解】由题可知， 一元二次方程的另一个根是，则 ，解得. 所以复数的共轭复数为，其对应的点为，在第一象限. 故选：A 6．若是方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A． B． C． D．i 【答案】A 【分析】将方程的一个根代入方程可求解b和c的值，再由求根公式即可求解方程的另外一个根. 【详解】将代入方程，得， 则， 则且，解得且， 则方程的根为， 所以方程另外一个根是. 故选:A. 7．已知复数，是方程的两个虚数根，则（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】直接由求根公式求出两个虚根，再由复数减法运算、模的运算即可求解. 【详解】∵复数，是方程的两个虚数根，∴，为，∴． 故选：C. 1. （2025·河北对口升学·真题T03）已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可； 详解】复数，， 所以， 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $