第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块一 上册》第四章立体几何B卷（能力提升），聚焦空间观念与推理能力，覆盖平面性质、线面关系、空间角及体积计算等核心考点，适配单元复习，助力知识网络构建与应试能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15题45分|平面图形判断（如三角形）、异面直线定义、线面垂直性质|从基础概念（如平面判定）到空间角计算（如正方体异面直线成角），梯度设计培养几何直观| |填空|5题15分|平面基本性质（不共线三点确定平面）、线面垂直定义|强化空间形式认知，如“直线与平面垂直则垂直平面内任意直线”| |解答题|4题40分|三棱锥体积、二面角正切值、面面平行证明|综合线面垂直与体积公式（如21题），通过几何模型构建发展推理能力与创新意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列几何图形中，一定是平面图形的是（    ） A．三角形 B．四边形 C．球 D．正四面体 【答案】A 【分析】根据平面图形及立体图形的定义即可得解。 【详解】三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，则三个顶点确定一个平面， 所以三角形一定是平面图形，故A正确；空间四边形不是平面图形，故B错误； 球不是平面图形，故C错误；正四面体不是平面图形，故D错误。故选A。 2. 以下说法中，哪个说法是正确（     ） A．两个不相交的直线一定平行 B．两个相交的直线一定垂直 C．在两个不同平面内的直线是异面直线 D．不在任何一个平面内的两条直线是异面直线 【答案】D 【分析】准确理解平行、相交、垂直、异面直线的定义，并据此对每个选项进行分析判断即可。 【详解】选项A：两个不相交的直线可能平行，可能异面，故选项A说法错误； 选项B：两条相交的直线，它们的夹角不一定是，故选项B说法错误； 选项C：在两个不同平面内的直线也可能平行，故选项C说法错误； 选项D：根据异面直线的定义，不在任何一个平面的两条直线是异面直线，故选项D说法正确。故选D。 3. 在空间中，过直线外一点可以作（    ）条直线与这条直线垂直. A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】D 【分析】根据线面垂直的性质求解即可。 【详解】 根据空间线面垂直的性质，若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线， 过直线外一点，作已知直线的垂直平面，这个垂面内所有过该点的直线都与已知直线垂直， 因此满足条件的直线有无数条。故选D。 4. 如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】利用直线与平面垂直的判定与性质以及勾股定理求解。 【详解】在平面内作，垂足为，连接，则， 因为平面，直线在平面内，所以， 又因为， 平面，所以平面， 因为 平面，那么，所以的长度就是点到直线的距离. 因为平面，在平面内，所以，在中，，， 则，即点到直线的距离是。故选D。 5. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 如图，连接 【详解】在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为。故选D。 6. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案。 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以 ，因为，所以。 。故选D。 7. 下列说法正确的是（     ） A．空间三点确定一个平面 B．直线及一点确定一个平面 C．直线平面，若直线平面，则 D．直线平面，若直线，则 【答案】D 【分析】根据平面的基本定理，线面平行的性质以及线面垂直的性质判断选项即可。 【详解】A选项，空间中不共线三点确定一个平面，缺乏关键词“不共线”，故错误； B选项，直线及直线外一点确定一个平面，缺乏关键词“直线外”，故错误； C选项，直线平面，若直线平面， 则直线与直线可能平行，可能异面，故错误； D选项，直线平面，若直线，则，故正确。故选D。 8. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据平面内直线与直线，直线与平面，以及平面与平面的关系判断选项即可。 【详解】A选项，若，则或异面，故错误； B选项，若，则或或相交（斜交），故错误； C选项，若，则或或相交（斜交），故错误； D选项，若，则，故正确。故选D。 9. 正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方形的对角线相交于点O，连接，易得平面，为与底面所成角，根据侧棱长，求得正四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求解。 【详解】如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为。故选C。 10. 如图所示，在三棱锥中，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．平面EFG B．平面ABC C．平面BDC D．平面EFG 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定即可判断选项。 【详解】已知分别是的中点，取中点，连接， 根据三角形中位线性质可得，，，    选项A.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项B.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项C.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项D.由，得到，即位于同一平面， ，所以与平面相交，不存在平行关系，错误。故选 D。 11. 在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（     ） A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 【答案】A 【分析】根据线面垂直的定义和线面垂直的判定定理即可解答。 【详解】已知垂直于所在平面，且平面，所以， 因为，所以，且平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以与棱垂直的棱有共3条。故选A。 12. 如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线．    其中，正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】还原几何体，结合直线与直线的位置关系即可得解。 【详解】    如图所示，还原正方体后： ①与异面，不平行；②连接，； ③连接，在正方体中，，则为等边三角形，； ④，，两两异面，故②③④正确。故选D。 13. 若正四棱锥的侧棱是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构建正四棱锥的几何模型，利用线面角的定义，在直角三角形中即可求出侧棱与底面所成角的余弦值。 【详解】    设正四棱锥的底面边长为a，因此侧棱长为2a， 设底面正方形的中心为O，则垂直于底面，连结，则是侧棱在底面的投影， 因此，侧棱与底面所成的角即为，面，所以， 在正方形中，，。故选C。 14. 在正方体中，点为棱中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角 D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何性质，借助面面垂直与线面平行、异面直线所成角判断即可； 【详解】   在正方体中，体对角线垂直于平面；如果平面垂直于平面， 那么平面必须包含或者平行于；显然平面与相交且不垂直； 所以平面不垂直平面；故选项A错误； 直线和平面有一个公共点，所以直线与平面相交，不可能平行，故选项B错误； 因为，所以异面直线与所成角，就是直线与所成角，即. 连接，在中，平面，而在该平面内，所以； 设正方体的棱长为2，则，因为是的中点， 所以在中，，则， 在，因为，而， 所以异面直线与所成角不是.故选项C错误； 连接，在正方体中，底面为正方形，对角线互相垂直，即， 因为，所以，又因为侧棱底面，而，所以；因为，、都在平面中， 所以平面，因为平面，所以，故选项D正确。故选D。 15. 已知如图，在三棱柱中，底面是等边三角形， ，在底面的射影为的中点，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理和性质定理，分析可知是直线与平面所成的角，代数求解即可。 【详解】设的中点为，连，如图： 因为在底面的射影为的中点，则平面， 又因为平面，所以， 连，则，，又，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面 平面， 过作，平面 平面，则平面， 连，则是直线与平面所成的角， 因为，所以，又，所以， 所以，所以，又， 所以，所以， 因为，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为。故选C。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．在空间中，经过一点可作无数个平面，经过两点可以作___________个平面，经过不共线的三点可作__个平面. 【答案】 无数 ； 1 【分析】根据平面的基本性质即可求解。 【详解】由平面的基本性质知，经过一点可作无数个平面， 经过两点可作无数个平面，经过不共线的三点可作1个平面 17. 若平面平面，平面平面，点，且，则过点A且与平面β垂直的直线一定在平面____________内. 【答案】 【分析】根据平面与平面垂直的性质求解即可。 【详解】假设过A且垂直平面的直线为l，若直线l不在平面内， 则在平面内过A作，由得得， 与“过一点有且只有一条直线垂直于平面”矛盾，故。故答案为：。 18. 一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的__________直线垂直． 【答案】任意一条 【分析】依据直线与平面垂直的定义填空。 【详解】由直线与平面垂直的定义可知：若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直。 19. 正方体的棱与体对角线所成角的正切值为______． 【答案】 【分析】根据正方体中的直线关系确定所成角的正切值即可。 【详解】如图，由正方体的对称性可知，体对角线与正方体的八条棱所成的角都相等，    现仅以与所成的角为例来求解． 在正方体中，因，故即与所成的角（或其补角）。 因平面，平面，则， 在中，，即正方体的棱与体对角线所成角的正切值为。 20. 已知平面与平面相交于直线，点且点，则点______直线（用数学符号表示）。 【答案】 【分析】利用点线面的位置关系判断即可得出结论。 【详解】已知平面与平面相交于直线，点且点，则点一定在交线上，即。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.（本题10分）如图，三棱锥中，，，O为中点，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的平面角的正切值。 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先找出三棱锥的高，再利用体积公式求解； （2）找出二面角的平面角，构造直角三角形，求解正切值。 【详解】（1）连接， ，，， 是直角三角形。又 为的中点，，， ，，是直角三角形，， 平面，平面，平面，因此，为三棱锥的高， ，。 （2）取的中点D，连接，则，且， 为二面角的平面角， 在直角三角形中，，，。 所以，二面角的平面角的正切值为。 22. （本题 10 分）如图所示，在正方体中，E是的中点，求与所成的角的度数. 【答案】 【分析】由线面垂直证明线线垂直即可求解角度。 【详解】在正方体中，面，面，所以， 所以与所成的角为。 23. （本题 10 分）如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面。    【答案】证明见解析 【分析】先证明，得到平面，再证明，得到平面，最后由面面平行的判定定理即可证明。 【详解】∵、分别是、的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面． ∵，且，∴四边形是平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面, ∵，平面，平面，∴平面平面。 24. （本题 10 分）如图所示，在长方体中，底面是边长为1的正方形，高为2，求： (1)点到直线的距离； (2)二面角的正切值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）过点作于点，连接，由线面垂直证明线线垂直可得，则的长就是点到的距离，根据等面积求出的值，利用勾股定理即可求出的值。 （2）由二面角的定义可知就是二面角的平面角，利用直角三角形中的正切定义即可求解。 【详解】（1）过点作于点，连接， 在长方体中，平面，又平面， 所以，因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 即的长就是点到的距离， 在中，， 由三角形面积相等得：， 在中，，所以， 即点到的距离为。 （2）由（1）知， 所以就是二面角的平面角，在中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列几何图形中，一定是平面图形的是（    ） A．三角形 B．四边形 C．球 D．正四面体 【答案】A 【分析】根据平面图形及立体图形的定义即可得解。 【详解】三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，则三个顶点确定一个平面， 所以三角形一定是平面图形，故A正确；空间四边形不是平面图形，故B错误； 球不是平面图形，故C错误；正四面体不是平面图形，故D错误。故选A。 2. 以下说法中，哪个说法是正确（     ） A．两个不相交的直线一定平行 B．两个相交的直线一定垂直 C．在两个不同平面内的直线是异面直线 D．不在任何一个平面内的两条直线是异面直线 【答案】D 【分析】准确理解平行、相交、垂直、异面直线的定义，并据此对每个选项进行分析判断即可。 【详解】选项A：两个不相交的直线可能平行，可能异面，故选项A说法错误； 选项B：两条相交的直线，它们的夹角不一定是，故选项B说法错误； 选项C：在两个不同平面内的直线也可能平行，故选项C说法错误； 选项D：根据异面直线的定义，不在任何一个平面的两条直线是异面直线，故选项D说法正确。故选D。 3. 在空间中，过直线外一点可以作（    ）条直线与这条直线垂直. A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】D 【分析】根据线面垂直的性质求解即可。 【详解】 根据空间线面垂直的性质，若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线， 过直线外一点，作已知直线的垂直平面，这个垂面内所有过该点的直线都与已知直线垂直， 因此满足条件的直线有无数条。故选D。 4. 如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】利用直线与平面垂直的判定与性质以及勾股定理求解。 【详解】在平面内作，垂足为，连接，则， 因为平面，直线在平面内，所以， 又因为， 平面，所以平面， 因为 平面，那么，所以的长度就是点到直线的距离. 因为平面，在平面内，所以，在中，，， 则，即点到直线的距离是。故选D。 5. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 如图，连接 【详解】在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为。故选D。 6. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案。 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以 ，因为，所以。 。故选D。 7. 下列说法正确的是（     ） A．空间三点确定一个平面 B．直线及一点确定一个平面 C．直线平面，若直线平面，则 D．直线平面，若直线，则 【答案】D 【分析】根据平面的基本定理，线面平行的性质以及线面垂直的性质判断选项即可。 【详解】A选项，空间中不共线三点确定一个平面，缺乏关键词“不共线”，故错误； B选项，直线及直线外一点确定一个平面，缺乏关键词“直线外”，故错误； C选项，直线平面，若直线平面， 则直线与直线可能平行，可能异面，故错误； D选项，直线平面，若直线，则，故正确。故选D。 8. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据平面内直线与直线，直线与平面，以及平面与平面的关系判断选项即可。 【详解】A选项，若，则或异面，故错误； B选项，若，则或或相交（斜交），故错误； C选项，若，则或或相交（斜交），故错误； D选项，若，则，故正确。故选D。 9. 正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方形的对角线相交于点O，连接，易得平面，为与底面所成角，根据侧棱长，求得正四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求解。 【详解】如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为。故选C。 10. 如图所示，在三棱锥中，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．平面EFG B．平面ABC C．平面BDC D．平面EFG 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定即可判断选项。 【详解】已知分别是的中点，取中点，连接， 根据三角形中位线性质可得，，，    选项A.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项B.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项C.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项D.由，得到，即位于同一平面， ，所以与平面相交，不存在平行关系，错误。故选 D。 11. 在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（     ） A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 【答案】A 【分析】根据线面垂直的定义和线面垂直的判定定理即可解答。 【详解】已知垂直于所在平面，且平面，所以， 因为，所以，且平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以与棱垂直的棱有共3条。故选A。 12. 如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线．    其中，正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】还原几何体，结合直线与直线的位置关系即可得解。 【详解】    如图所示，还原正方体后： ①与异面，不平行；②连接，； ③连接，在正方体中，，则为等边三角形，； ④，，两两异面，故②③④正确。故选D。 13. 若正四棱锥的侧棱是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构建正四棱锥的几何模型，利用线面角的定义，在直角三角形中即可求出侧棱与底面所成角的余弦值。 【详解】    设正四棱锥的底面边长为a，因此侧棱长为2a， 设底面正方形的中心为O，则垂直于底面，连结，则是侧棱在底面的投影， 因此，侧棱与底面所成的角即为，面，所以， 在正方形中，，。故选C。 14. 在正方体中，点为棱中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角 D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何性质，借助面面垂直与线面平行、异面直线所成角判断即可； 【详解】   在正方体中，体对角线垂直于平面；如果平面垂直于平面， 那么平面必须包含或者平行于；显然平面与相交且不垂直； 所以平面不垂直平面；故选项A错误； 直线和平面有一个公共点，所以直线与平面相交，不可能平行，故选项B错误； 因为，所以异面直线与所成角，就是直线与所成角，即. 连接，在中，平面，而在该平面内，所以； 设正方体的棱长为2，则，因为是的中点， 所以在中，，则， 在，因为，而， 所以异面直线与所成角不是.故选项C错误； 连接，在正方体中，底面为正方形，对角线互相垂直，即， 因为，所以，又因为侧棱底面，而，所以；因为，、都在平面中， 所以平面，因为平面，所以，故选项D正确。故选D。 15. 已知如图，在三棱柱中，底面是等边三角形， ，在底面的射影为的中点，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理和性质定理，分析可知是直线与平面所成的角，代数求解即可。 【详解】设的中点为，连，如图： 因为在底面的射影为的中点，则平面， 又因为平面，所以， 连，则，，又，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面 平面， 过作，平面 平面，则平面， 连，则是直线与平面所成的角， 因为，所以，又，所以， 所以，所以，又， 所以，所以， 因为，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为。故选C。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．在空间中，经过一点可作无数个平面，经过两点可以作___________个平面，经过不共线的三点可作__个平面. 【答案】 无数 ； 1 【分析】根据平面的基本性质即可求解。 【详解】由平面的基本性质知，经过一点可作无数个平面， 经过两点可作无数个平面，经过不共线的三点可作1个平面 17. 若平面平面，平面平面，点，且，则过点A且与平面β垂直的直线一定在平面____________内. 【答案】 【分析】根据平面与平面垂直的性质求解即可。 【详解】假设过A且垂直平面的直线为l，若直线l不在平面内， 则在平面内过A作，由得得， 与“过一点有且只有一条直线垂直于平面”矛盾，故。故答案为：。 18. 一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的__________直线垂直． 【答案】任意一条 【分析】依据直线与平面垂直的定义填空。 【详解】由直线与平面垂直的定义可知：若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直。 19. 正方体的棱与体对角线所成角的正切值为______． 【答案】 【分析】根据正方体中的直线关系确定所成角的正切值即可。 【详解】如图，由正方体的对称性可知，体对角线与正方体的八条棱所成的角都相等，    现仅以与所成的角为例来求解． 在正方体中，因，故即与所成的角（或其补角）。 因平面，平面，则， 在中，，即正方体的棱与体对角线所成角的正切值为。 20. 已知平面与平面相交于直线，点且点，则点______直线（用数学符号表示）。 【答案】 【分析】利用点线面的位置关系判断即可得出结论。 【详解】已知平面与平面相交于直线，点且点，则点一定在交线上，即。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.（本题10分）如图，三棱锥中，，，O为中点，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的平面角的正切值。 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先找出三棱锥的高，再利用体积公式求解； （2）找出二面角的平面角，构造直角三角形，求解正切值。 【详解】（1）连接， ，，， 是直角三角形。又 为的中点，，， ，，是直角三角形，， 平面，平面，平面，因此，为三棱锥的高， ，。 （2）取的中点D，连接，则，且， 为二面角的平面角， 在直角三角形中，，，。 所以，二面角的平面角的正切值为。 22. （本题 10 分）如图所示，在正方体中，E是的中点，求与所成的角的度数. 【答案】 【分析】由线面垂直证明线线垂直即可求解角度。 【详解】在正方体中，面，面，所以， 所以与所成的角为。 23. （本题 10 分）如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面。    【答案】证明见解析 【分析】先证明，得到平面，再证明，得到平面，最后由面面平行的判定定理即可证明。 【详解】∵、分别是、的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面． ∵，且，∴四边形是平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面, ∵，平面，平面，∴平面平面。 24. （本题 10 分）如图所示，在长方体中，底面是边长为1的正方形，高为2，求： (1)点到直线的距离； (2)二面角的正切值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）过点作于点，连接，由线面垂直证明线线垂直可得，则的长就是点到的距离，根据等面积求出的值，利用勾股定理即可求出的值。 （2）由二面角的定义可知就是二面角的平面角，利用直角三角形中的正切定义即可求解。 【详解】（1）过点作于点，连接， 在长方体中，平面，又平面， 所以，因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 即的长就是点到的距离， 在中，， 由三角形面积相等得：， 在中，，所以， 即点到的距离为。 （2）由（1）知， 所以就是二面角的平面角，在中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $