第二章 平面向量（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣中职数学拓展模块一平面向量单元，B卷能力提升型，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习，培养数学思维与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15/45|向量概念、线性运算、共线等|全面覆盖基础考点，如相反向量性质判断| |填空题|5/15|三点共线、充要条件、相等向量等|整合知识网络，如正六边形中相等向量识别| |解答题|4/40|向量垂直共线、模长计算、实际应用|结合现实情境（汽车风速问题），强调运算推理与数学语言表达，如向量夹角求解|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题正确的是（    ） A． B．若，则 C．零向量没有方向 D． 2. 已知非零向量与互为相反向量，则下面结论中正确的是（   ） A． B． C．与不是共线向量 D．与长度不相等 3. 等于（   ） A． B． C． D． 4. 计算：（    ） A． B． C． D． 5. 下列说法中正确的是（ ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 6. 已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 7. 下列结果不是零向量的是（ ） A． B． C． D． 8. 已知向量，则（ ） A． B．5 C． D．25 9. 已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（ ） A． B． C． D． 10. 已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 11. 在四边形中，为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 12. 如图所示，在平行四边形中，，，，则（    ）    A．7 B． C．2 D．10 13. 已知向量，，若，则实数等于（   ） A． B． C．1 D．2 14. 已知向量，，若，则实数（   ） A． B．1 C． D．0 15. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．已知A、B、C三点共线，，，若C点的横坐标为6，则点C的纵坐标为______。 17. “”是“”的______。（填充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件）。 18. 已知四边形为正方形，若为单位向量，则该正方形的边长为_________________。 19. 如图，在正六边形中，与相等的向量有 。 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦。 20. 已知向量不共线，且，则___________。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.（本题10分）一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风吹向西偏北，风速为4，这时气象台报告实际风速为2，试求风的实际方向和汽车速度大小。 22. （本题 10 分）已知，与的夹角为，。求： (1)当为何值时，与垂直？ (2)当为何值时，与共线？ 23. （本题 10 分）已知，， (1)求与的夹角； (2)求。 24. （本题 10 分）已知向量，向量。求： (1)； (2)。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题正确的是（    ） A． B．若，则 C．零向量没有方向 D． 【答案】D 【分析】根据向量相等及零向量的定义判断即可。 【详解】 对于A：，故A错误； 对于B：取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误； 对于C：零向量有方向，其方向任意，故C错误；对于D：模为0，故D正确。故选D。 2. 已知非零向量与互为相反向量，则下面结论中正确的是（   ） A． B． C．与不是共线向量 D．与长度不相等 【答案】A 【分析】根据相反向量的定义即可判断。 【详解】相反向量的定义是：长度相等，方向相反的向量. 选项A：根据相反向量的定义，，代入得， 所以该选项正确； 选项B：代入，得：，因为是非零向量，所以， 该选项错误； 选项C：相反向量属于方向相反的向量，是共线向量的一种，所以该选项错误； 选项D：相反向量的定义要求长度相等，所以该选项错误。故选A。 3. 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量的线性运算法则求解。 【详解】。故选B。 4. 计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量减法法则求解即可。 【详解】 。故选A。 5. 下列说法中正确的是（ ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质可判断。 【详解】平行向量又叫共线向量，故A正确； 单位向量方向可能不同，所以不一定相等，故B错误； 长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误。故选A。 6. 已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】A 【分析】根据向量共线，以及向量的模求解即可。 【详解】因为向量，共线，且，， 当与方向相反时，有最大值为。故选A。 7. 下列结果不是零向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解。 【详解】  对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意。故选B。 8. 已知向量，则（ ） A． B．5 C． D．25 【答案】C 【分析】根据已知条件可知是相反向量，从而可得的坐标，根据向量减法的坐标运算可得的坐标，最后可求出模；也可以根据向量数量积的性质求解。 【详解】方法一：因为，所以， 所以，所以。 方法二：因为，所以，， 所以，又，所以， 所以。故选C。 9. 已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算得，再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论。 【详解】因为，，所以， 对于A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B，因为，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为，所以与不平行，故C错误； 对于D，因为，所以与平行且方向相反，故D正确。故选D。 10. 已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出，再根据向量相等的坐标表示列出方程，即可求解。 【详解】设点的坐标为，因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为。故选 A。 11. 在四边形中，为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由向量的减法法则及相等向量即可得解。 【详解】 因为，则，即， 可知，两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故A，B，C错误，D正确。故选D。 12. 如图所示，在平行四边形中，，，，则（    ）    A．7 B． C．2 D．10 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解。 【详解】在平行四边形中，，，， ，则 。故选B。 13. 已知向量，，若，则实数等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据向量线性运算以及向量平行的坐标表示求解即可。 【详解】因为向量，，所以， 又，所以，解得。故选A。 14. 已知向量，，若，则实数（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示即可求解。  【详解】因为向量，，所以，， 因为，所以， 即，解得。故选A。 15. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解。 【详解】对A，，故A不正确， 对B，D，连接AC，如下图示，因为E，F分别为线段AD，CD的中点， 所以G是的中线交点，则， 所以 ， 连接交于，同理可得， ， ，所以，故B，D不正确， 对C，，故C正确 。故选C。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．已知A、B、C三点共线，，，若C点的横坐标为6，则点C的纵坐标为______。 【答案】 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解根据向量共线定理求解即可。 【详解】由题意设，，， 又因为A、B、C三点共线，所以有，解得。 17. “”是“”的______。（填充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件）。 【答案】充要条件 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则和充分性及必要性的定义即可得解。 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件。 18. 已知四边形为正方形，若为单位向量，则该正方形的边长为_________________。 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的加法，及向量的模，即可求解。 【详解】因为，设该正方形的边长为， 则，即，解得，所以该正方形的边长为。 19. 如图，在正六边形中，与相等的向量有 。 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦。 【答案】①④ 【分析】根据向量加减法运算结合相等向量的定义即可求解。 【详解】由题意得，如图所示， 在正六边形中，四边形是平行四边形， 则，所以①正确； 与方向不同，所以②错误； 与方向不同，所以③错误； ，所以④正确； ，所以⑤错误； 与方向不同，所以⑥错误； 在正六边形中，四边形为平行四边形， 则，所以⑦错误； 综上，①④正确。 20. 已知向量不共线，且，则___________。 【答案】 【分析】根据平面向量共线定理即可求解。 【详解】因为向量不共线，且， 所以有，则，即，解得。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.（本题10分）一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风吹向西偏北，风速为4，这时气象台报告实际风速为2，试求风的实际方向和汽车速度大小。 【答案】 风的实际方向是吹向正北方向，汽车速度的大小为 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则求解。 【详解】 风速计和风向标测的风速记为，用表示；汽车速度记为，用表示， 以作平行四边形，气象台报告实际风速记为， 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知， 表示向量的有向线段是的对角线。 ∵4，， ，∴。 在中，（）。 ∴风的实际方向是吹向正北方向，汽车速度的大小为 。 22. （本题 10 分）已知，与的夹角为，。求： (1)当为何值时，与垂直？ (2)当为何值时，与共线？ 【答案】(1)； (2)。 【分析】（1）根据向量线性运算、向量垂直以及向量内积求解即可。 （2）根据向量线性运算以及向量共线定理、向量内积求解即可。 【详解】 （1）因为与垂直，所以。 即，解得。 （2）因为与共线，所以存在实数，使得. 即，整理得， 所以，解得。因此。 23. （本题 10 分）已知，， (1)求与的夹角； (2)求。 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算以及向量夹角的公式求解即可。 （2）根据（1）中，以及向量的模的计算公式求解即可。 【详解】（1）因为， 所以。 又，，所以，所以， 所以。又，所以。 （2）， 所以。 24. （本题 10 分）已知向量，向量。求： (1)； (2)。 【答案】 (1)； (2)55。 【分析】（1）先求解的坐标，再由模长公式求解即可； （2）先计算与的坐标，再根据内积公式求解即可。 【详解】 （1）∵向量，向量． ∴， ∴； （2）∵向量，向量，∴， ， ∴。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $