第四章 立体几何（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《数学 拓展模块一 上册》第四章立体几何A卷（基础巩固），60分钟/100分，紧扣教材核心考点，通过基础训练帮助学生扎实掌握立体几何知识，适配单元复习场景。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|长方体异面棱、面面平行判定、平面确定等基础概念|聚焦空间观念，通过辨析题强化几何直观| |填空题|5/15|面面位置关系、异面直线所成角范围等|考查符号语言与空间形式转化，培养抽象能力| |解答题|4/40|正方体体积计算、三棱锥线面关系证明等|结合具体几何体，训练推理能力与问题解决，体现数学思维|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在长方体中，与棱异面的棱有（ ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】结合长方体的特征及异面直线的定义判断即可。 【详解】 与异面的是4条棱。故选A。 2. 平面内的两条相交直线都平行于平面，则平面的关系是（     ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】A 【分析】根据平面与平面平行的判定即可求解。 【详解】由面面平行的判定可得，平面内的两条相交直线都平行于平面，则平面。故选A。 3. 经过不共线的A，B，C三点的平面（    ） A．有无数个 B．一个也没有 C．只有一个 D．有三个 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质即可求解。 【详解】因为过不共线的三个点，有且只有一个平面， 所以经过不共线的A，B，C三点的平面只有一个。故选C。 4. “两条直线异面”的（ ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案。 【详解】两条直线异面，则两条直线不相交， 反之，若两条直线不相交，则可能共面平行，不一定异面， 所以“两条直线不相交”是“两条直线异面”的必要非充分条件， 即“两条直线异面”的必要非充分条件是“两条直线不相交”。故选B。 5. 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】直接判断出异面直线所成的角的范围、直线和平面所成的角的范围、二面角的平面角的范围即可得结果。 【详解】异面直线所成的角的范围为， 直线和平面所成的角的范围为，二面角的平面角的范围为， 所以只有二面角的平面角可能为钝角。故选B。 6. 下列命题中不正确的是（    ） A．空间中一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．如果两个平面相交，则它们的交点不一定在交线上 C．过一条直线的平面有无数多个 D．若线段在平面内，则延长线上一点也在平面内 【答案】B 【分析】根据平面的基本性质以及平面中直线与平面的位置关系判断选项即可。 【详解】A选项，空间中一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形，故A正确； B选项，如果两个平面相交，则它们的交点一定在交线上，故B错误； C选项，过一条直线的平面有无数多个，故C正确； D选项，若线段在平面内，则上任意一点都在该平面内，则延长线上一点也在平面内，故D正确。故选B。 7. 下列命题中不正确的是（     ） A．空间中一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．如果两个平面相交，则它们的交点不一定在交线上 C．过一条直线的平面有无数多个 D．若线段在平面内，则延长线上一点也在平面内 【答案】B 【分析】根据平面的基本性质以及平面中直线与平面的位置关系判断选项即可。 【详解】A选项，空间中一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形，故A正确； B选项，如果两个平面相交，则它们的交点一定在交线上，故B错误； C选项，过一条直线的平面有无数多个，故C正确； D选项，若线段在平面内，则上任意一点都在该平面内，则延长线上一点也在平面内，故D正确。故选B。 8. 已知a，b是异面直线，直线，那么直线c与b的位置关系是（　 ） A．异面 B．相交 C．平行 D．相交或异面 【答案】D 【分析】根据题意结合直线与直线位置关系即可得解。 【详解】 如图所示，在正方体中， 令，，满足a，b是异面直线 当时，满足，此时直线c与b异面； 当时，满足，此时直线c与b相交， 综上所述，a，b是异面直线，直线，那么直线c与b位置关系是相交或异面。故选D。 9. 如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】利用直线与平面垂直的判定与性质以及勾股定理求解。 【详解】在平面内作，垂足为，连接，则， 因为平面，直线在平面内，所以， 又因为， 平面，所以平面， 因为 平面，那么，所以的长度就是点到直线的距离. 因为平面，在平面内，所以，在中，，， 则， 即点到直线的距离是。故选D。 10. 如图所示，正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念即可解答。 【详解】在正方体中，平面，而平面， 且 ，所以直线与的位置关系是异面。故选C。 11. 在正方体中，为棱的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，的中点，的中点，计算相关边长，利用勾股定理判断ABD；根据线面垂直的判断及性质判断C。 【详解】设正方体的棱长为2， 对于A，取的中点，连接， 则，， ，， 因为，所以与不垂直， 因为为的中点，为棱的中点，所以，所以与不垂直，故A错误； 对于B，取的中点，连接，则，， ，， 因为，所以与不垂直， 因为为的中点，为棱的中点，所以，所以与不垂直，故B错误； 对于C，如图，连接， 由题设知平面，平面，从而， 又，且，平面， 所以平面，又平面，所以，故C正确； 对于D，取的中点，连接， 则，，， 因为，所以与不垂直， 因为为的中点，为棱的中点，所以，所以与不垂直，故D错误， 。故选C。 12. 下列命题中，正确的是（    ） A．一个平面内三条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 【答案】B 【分析】依据两个平面平行的判定定理逐一分析每个选项。 【详解】选项A：一个平面内三条直线都平行于另一个平面，这三条直线可能是平行直线，此时这两个平面可能相交，所以选项A错误， 选项B：如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，则这两个平面没有公共点， 根据两个平面平行的定义可知，这两个平面平行，所以选项B正确， 选项C：平行于同一直线的两个平面，它们的位置关系可能是平行，也可能是相交，所以选项C错误， 选项D：一个平面内有几条直线都平行于另一平面，这几条直线可能是平行直线，此时这两个平面可能相交，选项D错误。故选B。 13. 将正方形沿对角线折叠成直二面角，下列结论正确的是（   ） A． B． C．与平面所成角为 D．是等边三角形 【答案】D 【分析】根据二面角、异面直线以及其所成角的概念求解即可。 【详解】直二面角如图所示，    设正方形的边长为1，则， 折叠后的，所以A选项错误； 与是异面直线，所以B选项错误； 因为二面角为直二面角，平面平面，， 所以平面.则与平面所成的角为。 在三角形中，，所以，所以C选项错误。 ，则，所以为等边三角形。故选D。 14. 在正三棱柱中，为的中点，下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③平面；④。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由线面垂直的判定定理判断①，由线面平行判断③，由正三角形的三线合一判断④即可。 【详解】对于①，若，因为， 且，平面，所以平面，而平面， 于是有，与已知矛盾，所以①错误，对于②，显然错误，对于③，因为， 且平面，平面，所以平面，所以③正确， 对于④，由于点是的中点，为正三角形，所以，即④正确。 。故选B。 15. 已知、和、分别为空间内两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据直线与直线、平面与平面的位置关系求解即可。 【详解】选项A，可能在平面内，因此不能推出，错误。 选项B，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，，，且是不同平面，因此，正确。 选项C，平行于同一个平面的两条直线，位置关系可以是平行、相交或异面，不一定平行，错误。 选项D，由B的结论可得，垂直于同一直线的两个不同平面平行，不是垂直，错误。故选B。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．平面与平面的位置关系有______种. 【答案】2 【分析】根据空间中平面与平面的位置关系求解即可。 【详解】在空间中，两个平面的位置关系只有两种情况： 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行； 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交。 综上，平面与平面的位置关系有2种。 17. 异面直线所成角的取值范围是________________________。 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义作答。 【详解】异面直线所成角是 “平移后相交直线的最小正角”，故范围为. 故答案为：。 18. 已知 ，且 ，则 与 的位置关系是_____。 【答案】平行 【分析】根据两个平面平行关系的判定定理即可解答。 【详解】由两个平面平行关系的判定可知， 如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行， 即，且 ，则。 19. 如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条 【答案】4 【分析】根据异面直线的定义可得。 【详解】在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与重合的有一条，即直线；与平行的有三条，即直线；与相交的有四条，即直线；所以与异面的有四条，分别是直线。 20. 如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________。    【答案】 【分析】首先找到异面直线与所成的角，再根据三角形求解即可。 【详解】连接，因为分别为的中点，所以。 则直线与所成角为。 因为正四棱锥的棱长都为，所以为等边三角形，因此。 故答案为：。   。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. 将下列符号语言转换为图形语言。 (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【分析】根据点线、点面、线线、线面、面面的位置关系画出图形即可。 【详解】（1） （2） 22. 如图所示，在边长为2的正方体中。 (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值。 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据等体积法求解即可；（2）根据二面角的解法求解即可； 【详解】（1）因为在正方体中，平面， ， 所以； （2）取的中点，连接，由题，有，则， 由题，有，则，则就是二面角的平面角， 在中，，则。 23. 如图，在三棱锥中，平面。 (1)异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） (2)若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； (3)若平面平面，证明：。 【答案】(1)；(2)3；(3)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可求解； （2）利用三棱锥的体积公式即可求解； （3）过点作于点，由面面垂直的性质定理得平面，进而得，再由线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的定义即可得证。 【详解】（1）由平面，平面， 所以，所以异面直线与所成角大小为； （2）由三棱锥的体积为，所以； （3）过点作于点，因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以。 。 24. 如图所示，已知垂直于矩形所在平面，若。 (1)求二面角的大小； (2)四棱锥的体积。 【答案】(1)；(2)16 【分析】（1）先根据线面垂直的判定与性质找出二面角的平面角，再通过相关边长求出其大小；（2）根据棱锥的体积公式求解。 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为四边形是矩形，所以， 由于，且平面，可得平面， 因为平面，所以， 又，所以就是二面角的平面角。 在中，，，， 所以，即二面角的大小为。 （2）因为四边形是矩形，，， 所以矩形的面积， 已知平面，所以就是四棱锥的高，即， 则四棱锥的体积。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在长方体中，与棱异面的棱有（ ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 2. 平面内的两条相交直线都平行于平面，则平面的关系是（     ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 3. 经过不共线的A，B，C三点的平面（    ） A．有无数个 B．一个也没有 C．只有一个 D．有三个 4. “两条直线异面”的（ ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 5. 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6. 下列命题中不正确的是（     ） A．空间中一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．如果两个平面相交，则它们的交点不一定在交线上 C．过一条直线的平面有无数多个 D．若线段在平面内，则延长线上一点也在平面内 7. 下列命题中不正确的是（     ） A．空间中一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．如果两个平面相交，则它们的交点不一定在交线上 C．过一条直线的平面有无数多个 D．若线段在平面内，则延长线上一点也在平面内 8. 已知a，b是异面直线，直线，那么直线c与b的位置关系是（　 ） A．异面 B．相交 C．平行 D．相交或异面 9. 如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 10. 如图所示，正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 11. 在正方体中，为棱的中点，则（     ） A． B． C． D． 12. 下列命题中，正确的是（     ） A．一个平面内三条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 13. 将正方形沿对角线折叠成直二面角，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与平面所成角为 D．是等边三角形 14. 在正三棱柱中，为的中点，下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③平面；④． A．1 B．2 C．3 D．4 15. 已知、和、分别为空间内两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．平面与平面的位置关系有______种. 17. 异面直线所成角的取值范围是________________________. 18. 已知 ，且 ，则 与 的位置关系是_____. 19. 如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条 20. 如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________．    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. 将下列符号语言转换为图形语言。 (1)； (2)． 22. 如图所示，在边长为2的正方体中。 (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 23. 如图，在三棱锥中，平面. (1)异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） (2)若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； (3)若平面平面，证明：. 24. 如图所示，已知垂直于矩形所在平面，若. (1)求二面角的大小； (2)四棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $