专题02 解三角形（十大题型+思维导图+知识清单+课后作业）（暑假复习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

专题02 解三角形（暑假复习讲义） 【人教A版】 【知识清单1 余弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角； 值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转 化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【知识清单2 正弦定理】 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由 此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得， 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【知识清单3 解三角形综合问题】 1．解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【知识清单4 测量问题】 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由余弦定理计算求解即可. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理直接计算即可得出结论. 【解答过程】由余弦定理，可得， 解得. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知可求得，利用余弦定理可求得，由余弦定理可求得. 【解答过程】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·四川凉山·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先分析出角最大，角最小，再根据余弦定理求出角即可得解. 【解答过程】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小. 因为，所以设， 则由余弦定理 可得， 又因为，所以； 因为，所以， 所以三角形的最大角与最小角之和为. 故选：A. 【题型2 正弦定理解三角形】 【例2】（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理可求解. 【解答过程】由正弦定理可得． 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一下·山东菏泽·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可. 【解答过程】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 【变式2-2】（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助正弦定理计算即可得. 【解答过程】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】由正弦定理结合三角形边角的性质可得. 【解答过程】由正弦定理可得， 代入可得， 又，由大边对大角可得. 故选：A. 【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】 【例3】（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【解答过程】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【解答过程】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一下·河南·阶段检测）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】A利用三角形全等的判定方法可判断；B利用大边对大角可判断；C利用可判断；D由正弦定理得，结合可判断. 【解答过程】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确； 对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B错误； 对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 【题型4 三角形面积公式的应用】 【例4】（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【解答过程】由题设，即，又， 所以，则的面积为. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知及平方关系可得，再由三角形面积公式求的面积. 【解答过程】由三角形内角的范围及，可得， 所以. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·河南·阶段检测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B； (2)若，，求的面积S． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）由， 根据正弦定理得， 又，则, 因为，所以. （2）在中，，，， 由余弦定理，，即， 解得或（舍去）， 故的面积为． 【变式4-3】（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【解答过程】（1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 【题型5 正、余弦定理判定三角形形状】 【例5】（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【解题思路】利用二倍角公式将已知等式化为 ，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【解答过程】利用二倍角公式将已知等式化为， 即 ，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解题思路】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【解答过程】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解题思路】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状. 【解答过程】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得 ， 所以 ， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 【题型6 三角形面积的最值或范围问题】 【例6】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【解答过程】 因为，， 所以. 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高三上·江苏盐城·阶段检测）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【解答过程】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 【变式6-2】（25-26高二上·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【解答过程】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，. （2）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 【变式6-3】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 【题型7 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例7】（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简 ，再结合基本不等式求最值. 【解答过程】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以 ， 所以的最大值为. 【变式7-1】（2025·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)证明：． (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到，结合三角形内角性质即可证结论； （2）由题设得，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有，即可求范围. 【解答过程】（1）由题设， 所以， 则，即， 又，则，且， 所以，得证. （2）由题设，即，得， 由，而，故. 【变式7-2】（25-26高三上·河北保定·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【解题思路】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【解答过程】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【解答过程】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以， 故. 【题型8 求三角形的边长或周长的最值或范围】 【例8】（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的面积； (3)若角C为钝角，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解； （2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积； （3）利用正弦定理与三角函数性质，将边的比例转化为角的三角函数，结合角的范围求解即可. 【解答过程】（1）已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 又因为，所以. （2）已知，，由余弦定理： ，代入得 ， ，所以， 面积为：. （3）因角为钝角，则，即，而，故， 由正弦定理，，且，因此： ， 由，得，因此：， 代入的表达式： 所以得：. 即：的取值范围是. 【变式8-3】（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 【题型9 距离、高度、角度测量问题】 【例9】（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【解题思路】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【解答过程】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度AB约（   ）米（取，） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中由正弦定理求出，再解直角，就可以得到. 【解答过程】在中，，，可得， 由正弦定理得：，则， 可得：， 再在直角中，， 故选：C. 【变式9-2】（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【解题思路】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【解答过程】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 【变式9-3】（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中利用正弦定理求得的值，在中根据即可求解 【解答过程】由题可知，在中，，，故， 由正弦定理，得， 因为. 所以， 因为在中，. 故选：C. 【题型10 解三角形与平面向量的综合应用】 【例10】（24-25高一下·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角形面积公式，平面向量数量积的定义及得出，；再利用余弦定理即可求解. 【解答过程】由的面积为可得：； 由可得：. 因为， 所以，， 则. 因为， 所以，. 由余弦定理可知：，即. 故选：D. 【变式10-1】（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【解答过程】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 【变式10-2】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，设函数． (1)求的最小正周期 (2)求的单调递增区间； (3)在中，角所对的边分别为，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式、辅助角公式求出，再根据最小正周期公式求解即可； （2）根据正弦函数的性质求其单调增区间； （3）由得，结合三角形内角的性质得，再由正弦定理求得，应用和角正弦公式求得，最后应用三角形面积公式求三角形ABC的面积． 【解答过程】（1）向量，得 ， 所以函数的最小正周期； （2）由，得， 所以的单调递增区间为. （3）因为，所以， 由，可得，则，即. 又，所以， 由正弦定理得，，所以， 又， 所以面积. 【变式10-3】（24-25高一下·天津武清·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且 .已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【解答过程】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一下·甘肃天水·阶段检测）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理运算得解. 【解答过程】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，若，则的最大角与最小角之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由三边大小关系判断最大角与最小角，利用余弦定理求出第三角，由内角和即得. 【解答过程】因，即角与角分别为的最大角与最小角， 由余弦定理，， 因，则，故. 故选：B. 3．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【解答过程】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 4．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论. 【解答过程】因为，由正弦定理可得，则， ．所以， 又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C. 5．（24-25高一下·甘肃天水·阶段检测）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 【答案】A 【解题思路】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断. 【解答过程】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 6．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理可求解，即可由面积公式求解. 【解答过程】由余弦定理可得， 即，即，解得或（舍去）， ∵，∴， 所以， 故选:D． 7．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【解答过程】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A. 8．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段检测）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求的取值范围. 【解答过程】因为，故， 由正弦定理可得，而为三角形内角，故， 故，而为三角形内角，故为锐角， 故，故，故即， 故（为外接圆半径），故， 因为，，所以，则. 故 ， 其中，且， 由锐角三角形可得，故， 故， 因为，且，故，则，， 所以时，，取得最大值. 当时，， 当时，， 故， 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）对于，有如下命题，其中正确的有（   ） A．若，则为等腰或直角三角形 B．若，则为钝角三角形 C．，则面积为 D．，则或 【答案】ABD 【解题思路】对A，由内角范围及诱导公式求解判断；对BCD，由正弦定理和余弦定理逐项判断. 【解答过程】对于A：由得或， 解得或，所以为等腰或直角三角形，A正确； 对于B：由，可得， 即，由正弦定理可得， 由余弦定理得，所以为钝角，为钝角三角形，B正确； 对于C：由余弦定理，，即， 化简得，解得或， 若，则； 若，则.所以C错误； 对于D：根据余弦定理，即， 所以，又，所以或，D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】由求得，再根据求得判断A；由结合正弦定理求得，再利用余弦定理求解、判断B；根据，结合正弦定理判断C；利用面积公式求解判断D. 【解答过程】因为，所以，， 又因为，所以，所以，所以A正确； 因为，由正弦定理有：， 由余弦定理有：， 整理得：，解得或（舍），， 所以，所以B错误； ，由正弦定理有：，所以C正确； 因为，所以D错误. 故选：AC. 11．（24-25高一下·新疆哈密·期末）在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．外接圆的面积为 C．的面积的最大值为 D．的最大值是8 【答案】ACD 【解题思路】利用正弦定理，结合三角形内角和公式，可求角，判断A的真假；利用正弦定理，求三角形外接圆半径，可判断B的真假；利用三角形的面积公式，结合基本不等式可判断C的真假；利用余弦定理，结合基本不等式，可判断D的真假. 【解答过程】对A：由，利用正弦定理，可得： . 因为，所以，所以 ，故A正确； 对B：设外接圆半径为，则 ， 所以外接圆面积为：，故B错误； 对C：由余弦定理： ，所以，当时取等号. 所以 .故C正确； 对D：因为，所以且， 所以 .故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则___________. 【答案】 【解题思路】根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案. 【解答过程】因为，所以根据正弦定理得， 代入，可得，解得，. 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 13．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段检测）在中，已知，则的形状是___________． 【答案】等腰三角形 【解题思路】利用正弦定理和余弦定理将角转化为边求解. 【解答过程】根据正弦定理和余弦定理，可化为， ∴，即，则， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形. 14．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【解题思路】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【解答过程】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高一下·辽宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. （2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边. 【解答过程】（1）由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由△ABC的面积为，得，所以ab＝8． 由余弦定理，得， 所以． 16．（24-25高一下·四川泸州·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若外接圆的半径为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，进而得； （2）根据正弦定理得，再结合余弦定理得，最后计算面积即可. 【解答过程】（1）解：设外接圆的半径为，则， 因为， 所以，即， 因为，， 所以， 因为，， 所以，即， 因为，所以. （2）解：因为外接圆的半径为，， 所以， 因为，， 所以，解得， 所以的面积为. 17．（24-25高一下·重庆·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用正弦定理化简，再由求解即可. （2）由余弦定理求解即可. （3）由余弦定理以及基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即． 因为，所以． （2）根据余弦定理得，即， 解得或（舍去），故． （3）由余弦定理得， ∴， 解得，当且仅当时取等号， 的面积， 所以面积最大值为. 18．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某湿地公园为方便民众周末游玩，拟建造一个四边形的亲子游乐园，如图所示.为考虑亲子游玩的需求，在四边形区域中，将三角形区域等分为植物园和科学博览园，三角形区域建成游乐场，相互间修建游览小径，连接，其中米，米，．    (1)如果游乐园区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么小径需要修建多长？ (2)考虑到儿童游玩的安全性，在规划四边形区域时，首先保证游乐场的占地面积最大时，再使得植物园的面积尽可能大，求满足条件的的长度． 【答案】(1)米 (2)米 【解题思路】（1）由米，米，结合三角形面积公式求得，根据同角三角函数关系式求得，利用余弦定理求得； （2）由三角形的面积为，知当时，取得最大值，因此的面积取得最大值，求出.因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大.由三角形面积公式知，由余弦定理及基本不等式可得的最大值，及此时的长度. 【解答过程】（1）（1）由题可知，所以. 因为，所以. 若，则由余弦定理得. 所以所以是锐角， 因为，所以是锐角三角形，与是钝角三角形矛盾，所以. 所以. 所以 所以小径BD需要修建米. （2）的面积为，当时，取得最大值，最大值为1， 因此的面积最大为平方米. 此时，. 因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大. 的面积为. 由余弦定理，得， 所以，即. 当且仅当时，等号成立. 所以植物园面积最大值为平方米，此时米. 19．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以 . 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形（暑假复习讲义） 【人教A版】 【知识清单1 余弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角； 值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转 化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【知识清单2 正弦定理】 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由 此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得， 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【知识清单3 解三角形综合问题】 1．解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【知识清单4 测量问题】 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·四川凉山·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【题型2 正弦定理解三角形】 【例2】（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·山东菏泽·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】 【例3】（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·河南·阶段检测）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 三角形面积公式的应用】 【例4】（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·河南·阶段检测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B； (2)若，，求的面积S． 【变式4-3】（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【题型5 正、余弦定理判定三角形形状】 【例5】（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【变式5-1】（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式5-2】（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式5-3】（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【题型6 三角形面积的最值或范围问题】 【例6】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高三上·江苏盐城·阶段检测）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【变式6-3】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【题型7 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例7】（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【变式7-1】（2025·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)证明：． (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【变式7-2】（25-26高三上·河北保定·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【题型8 求三角形的边长或周长的最值或范围】 【例8】（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的面积； (3)若角C为钝角，求的取值范围. 【变式8-3】（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【题型9 距离、高度、角度测量问题】 【例9】（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【变式9-1】（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度AB约（   ）米（取，） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【变式9-3】（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 【题型10 解三角形与平面向量的综合应用】 【例10】（24-25高一下·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-2】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，设函数． (1)求的最小正周期 (2)求的单调递增区间； (3)在中，角所对的边分别为，若，求的面积． 【变式10-3】（24-25高一下·天津武清·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且 .已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一下·甘肃天水·阶段检测）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，若，则的最大角与最小角之和是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 4．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．（24-25高一下·甘肃天水·阶段检测）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 6．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 7．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段检测）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）对于，有如下命题，其中正确的有（   ） A．若，则为等腰或直角三角形 B．若，则为钝角三角形 C．，则面积为 D．，则或 10．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·新疆哈密·期末）在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．外接圆的面积为 C．的面积的最大值为 D．的最大值是8 三、填空题 12．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则___________. 13．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段检测）在中，已知，则的形状是___________． 14．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 四、解答题 15．（24-25高一下·辽宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 16．（24-25高一下·四川泸州·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若外接圆的半径为，且，求的面积. 17．（24-25高一下·重庆·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 18．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某湿地公园为方便民众周末游玩，拟建造一个四边形的亲子游乐园，如图所示.为考虑亲子游玩的需求，在四边形区域中，将三角形区域等分为植物园和科学博览园，三角形区域建成游乐场，相互间修建游览小径，连接，其中米，米，．    (1)如果游乐园区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么小径需要修建多长？ (2)考虑到儿童游玩的安全性，在规划四边形区域时，首先保证游乐场的占地面积最大时，再使得植物园的面积尽可能大，求满足条件的的长度． 19．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $