专题03 洛仑兹力及相关应用（期末压轴题训练）高二物理下学期人教版

**基本信息** 以洛伦兹力为核心，通过“圆心确定-半径计算-时间求解”三步法构建解题体系，整合临界极值、科技应用、边界问题三大题型，渗透科学思维与运动和相互作用观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题思路|1方法表|速度垂线/弦中垂线法确定圆心，物理公式与几何关系结合求半径，圆心角比求时间，4大关键结论|从洛伦兹力提供向心力公式出发，推导半径、周期公式，结合几何方法解决轨迹问题| |临界极值类|4例|临界轨迹相切分析，旋转圆模型应用|通过边界条件构建半径与几何量关系，培养科学推理能力| |科技类|6例|质谱仪/回旋加速器等仪器原理应用，平衡条件分析|将洛伦兹力规律迁移到实际装置，体现物理观念的应用价值| |三角边界类|3例|三角形磁场中轨迹对称性分析，多磁场区域运动分解|结合几何图形特点，深化模型建构与空间想象能力|

专题03 洛伦兹力及相关应用 1【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】BD 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】BC 10.【答案】ACD 11.【答案】AC 12.【答案】C 13.【答案】B 14：【答案】（1）粒子的初速度为 ; （2）电场强度大小为 ，磁感应强度B的大小为 ; （3）粒子从第一次射入磁场到最终离开磁场的时间（ ）t。 【详解】（1）粒子在电磁场中做匀速直线运动，所以 （2）撤去磁场后，带电粒子在电场中做类平抛运动 x = R, y = R，沿y轴负方向{ 又因为该粒子在电磁场中做匀速直线运动时 联立可得 （3）撤去电场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动 代入 和B得 由几何关系可知粒子从A点沿y轴正方向射出磁场，并从C点进入上方电场，在电场中减速为零后反向加速从C点出电场时 ，又从A点沿y轴负向进入磁场做匀速圆周运动，刚好从Q点射出磁场，在磁场中运动的总时间 电场中运动的总时间 在AC之间匀速运动的时间 则总时间为 15：【答案】（1） （2） 【详解】（1）设磁场的磁感应强度为 B，粒子在磁场中做圆周运动的半径为 r，圆心为 C，从 D 处射出磁场，其坐标为 ，因 相似于 ， 可得 且 POQ 的曲线方程为 ， 解得： 因 ， 解得： （2）设粒子射入磁场时的度方向与 x 轴夹角为 时，粒子在磁场中运动的轨迹与 PQ 相切，则在磁场中运动的时间最长，最长时间为 t，由几何知识得。 解得： 解得： 16：【答案】(1) （4分） (2) （6分） (3) (6分) 【解析】（1）粒子在M点的速度指向圆心 ，则在N点速度的反向延长线也指向圆心 ，同理在N点速度的指向圆心 ，在P点速度的反向延长线也指向圆心 过M、N、P点分别做圆弧轨迹的垂线确定圆弧轨迹的圆心和半径，设两圆弧轨迹的半径分别为 、 ，由几何关系可得 （1分） （1分） 由洛伦兹力充当向心力可得 ， （1分） 综合解得 ， 则有 （1分） （2）粒子在P点的速度与水平方向成60°夹角，把P点的速度分别沿水平方向和竖直方向正交分解，则有 ， （1分） P点与 、 连线的距离为 （1分） Q点与M点连线水平，则Q点与 、 连线的距离为R，则Q点与P点的高度差为 （1分） 粒子从P点到Q点做类斜抛运动，由逆向思维可得从Q点到P点做类平抛运动，竖直方向以 做匀速运动，则运动时间 （1分） 水平方向做匀变速运动则有 （1分） 综合解得 （1分） （3）粒子从M点到N点的运动时间为 ，从N点到P点的运动时间为 （1分）规定竖直向上为正方向 粒子从 M 点到 Q 点的平均加速度的大小为 M.P 两点沿水平方向的距离为 (1分) P.Q 两点沿水平方向的距离为 （1 分） 规定水平向右为正方向 粒子从 M 点到 Q 点的平均速度的大小为 （1 分） 联立解得 (2 分) 17：【答案】（1）=0.2T （2） （3） 【详解】（1）粒子在第二象限的匀强磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设圆周运动的半径为 由几何知识得： ，=0.2T （2）粒子在第一象限中的磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为 ， 洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得： 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期： 由几何知识可知，粒子在第一象限磁场中转过的圆心角： 粒子在第一象限磁场中的运动时间： 代入数据解得： 矩形区域的最小面积： （3）粒子在第三象限中做匀速直线运动，如图NP连线方向与发射速度方向一致，则： 设电场强度水平向左分量大小为 、竖直向上分量大小为 ，粒子从M到N过程， 18：【答案】（1） （2） （3） （4） 【详解】（1）圆周运动 （2）与 y 轴夹角为 的离子经磁场偏转后进入孔 C 后仍与 y 轴成 角进入孔 C 后离子速度方向与 y 轴的最大夹角为 因为 ，所以 （3） 进入孔 C 的离子速度大小 v 及其与 y 轴夹角 必须满足 动能定理 （4） 离子经偏转后能进入孔 C 的位置范围 由（1）可知， ，因为 所以 19：【答案】（1）区域I内的磁感应强度大小 ; (2) 区域Ⅱ内的磁感应强度大小 ; (3) 甲粒子的位置坐标为 【详解】（1）甲沿着半径入射，从N点离开，可知粒子在区域I中运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力，则 ，可得区域I内的磁感应强度大小 ; (2) 如图所示： 由几何关系可知，乙粒子通过N点时速度方向与x轴正方向的夹角为 ，垂直于y轴离开区域Ⅱ， 可知在区域Ⅱ内的轨道圆心在y轴上，则轨道半径r=2R， （3）假设粒子在区域I和Ⅲ内的运动周期为T， 在区域I内，甲的运动时间为 ，乙的运动时间为 ， 在区域Ⅱ内它们的运动时间相等， 甲粒子通过y轴时，速度方向与y轴负方向的夹角为 ， 沿着x轴方向的速度 , 沿着y轴负方向的速度 , 在区域Ⅲ内，粒子甲在xOz平面内做匀速圆周运动，速率为v， 粒子甲沿y轴负方向做匀速直线运动，速度大小为 ， 粒子乙垂直于y轴进入区域Ⅲ，粒子乙在xOz平面内做匀速圆周运动，速率为 ， 当乙粒子经过 离y轴最远，此时甲粒子在区域Ⅲ内运动了 ， 俯视图如图所示： 有 甲粒子的位置坐标为 。 20：【答案】（1）粒子带负电，粒子在磁场 中运动的轨迹关于x轴对称，所以粒子聚焦于原点 （2） h = 7R （3） 圆心角为143° （4）M点到原点的位移大小 ，粒子在M点时的速度大小 【详解】 1 判断粒子电性并确定焦点坐标 粒子从第二象限沿x轴正方向射入磁场 ，经过磁场偏转后聚焦于x轴上某点，根据左手定则可判断粒子带负电。由几何关系可知，粒子在磁场 中做圆周运动的半径 ，且粒子在磁场 中运动的轨迹关于x轴对称，所以粒子聚焦于原点 。 2 求粒子射入磁场 时到x轴的距离 已知粒子打到焦点时速度方向恰沿y轴负方向，根据几何关系，粒子在磁场 中运动的轨迹对应的弦长为7R，由几何关系可得粒子射入磁场 时到x轴的距离h = 7R。 3 求粒子从出发到聚焦的过程中速度方向偏转角度的最大值 粒子在磁场 中做圆周运动，其轨迹对应的圆心角即为速度方向偏转角度。当粒子运动轨迹对应的弦长最长时，圆心角最大。由几何关系可知，弦长最长为14R，根据圆周运动知识，可求出圆心角为143°。 4 求M点到原点的位移大小 粒子进入磁场 后，受到与速度大小成正比、方向相反的阻力 ，粒子在磁场 中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，结合阻力做功情况，根据动能定理等知识，可求出粒子在磁场 中运动的半径 ，进而得出M点到原点的位移大小 。 5 求粒子在M点时的速度大小 粒子在磁场 中运动，阻力做功，根据动能定理，阻力做功等于动能的变化量。已知粒子在磁场 中运动的半径 ，结合阻力 v，可求出粒子在M点时的速度大小 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 洛伦兹力及相关应用 考点1：带电粒子在磁场中的运用 解题思路： 类别 关键内容 公式/适用条件 注意事项 1. 确定圆心 速度垂线法：过入射点、出射点作速度方向的垂线，交点即圆心。 弦的中垂线法：弦的中垂线与速度垂线交点为圆心。 切点法：轨迹与边界相切时，切点处法线与速度垂线交点为圆心。 直线边界：入射角 = 出射角 圆形边界：径向射入必径向射出 圆心必在速度方向的垂直线上；若题目给出边界形状（直线/圆形），优先用对应几何性质简化作图。 2. 计算半径 物理公式： （洛伦兹力提供向心力）。几何关系：r 勾股定理如。 半径与速度v成正比，与B、 成反比 速度方向改变不影响r 若粒子速度方向变化但大小不变，半径恒定（适用于旋转圆模型）。 3. 求解时间 时间公式： 周期公式： 圆心角确定：速度偏转角 周期与速度无关 直线边界： （ ：入射角） 时间仅由圆心角决定；若粒子运动半周（ 4. 关键结论 结论1：周期与速度v无关，仅由B和 决定。 适用于所有匀强磁场中的圆周运动问题 比较不同速度粒子运动时间时，只需关注圆心角 。 结论2：直线边界中入射角 = 出射角；圆形边界中径向射入必径向射出。 直线边界： 圆形边界：入射方向沿半径 → 出射方向沿半径 此结论可直接用于快速确定出射方向，避免重复作图。 结论3：磁聚焦条件——轨迹半径 磁场区域半径 R 时，点入平出（所有粒子平行射出）。 圆形磁场特例，常用于设计粒子束准直装置。 结论4：运动时间 t与圆心角 成正比（T相同条件下）。 最大时最长（通常为轨迹与边界相切时， ）。 类型一：临界极值类 例1： 如图所示，矩形 ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为 B，AB 边长为 d，BC 边长为 2d，O 是 BC 边的中点，E 是 AD 边的中点，在 O 点有一粒子源，可以在纸面向磁场内各个方向射出质量均为 m、电荷量均为 q、有同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与 OB 边的夹角为 的粒子恰好从 E 点射出磁场，不计粒子的重力，则（） A. 粒子带正电 B. 粒子运动的速度大小为 C. 粒子在磁场中运动的最长时间为 D. 磁场区域中有粒子通过的面积为 【答案】B 【解析】A选项：判断粒子的电性。 根据粒子的运动轨迹和磁场方向，利用左手定则判断粒子的电性。由于粒子从O点射出，经过E点，磁场方向垂直纸面向里，粒子受到的洛伦兹力方向向上，因此粒子带负电。 B选项：计算粒子运动的速度大小。 根据洛伦兹力提供向心力， ，结合几何关系，粒子从O点射出，经过E点，O到E的距离为 ，因此半径 。代入公式求解速度v。 C选项：计算粒子在磁场中运动的最长时间。 粒子在磁场中运动的最长时间对应着粒子运动轨迹的圆心角最大，即 。根据 ，运动时间 ，其中 。计算磁场区域中有粒子通过的面积。 D选项：磁场区域中有粒子通过的面积包括矩形ABCD的面积和一个半圆的面积。矩形面积为 ，半圆面积为 。 例2：如图，在一挡板 MN 的上方，有磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P 为 MN 上的一个粒子发射源，它能连续向垂直磁场的各个方向发射速率为 v、质量为 m、带电量为 q（q > 0）的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收。则垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是（） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由题意可知粒子在磁场中的运动半径 ，所有粒子在磁场中半径相同， 由图可知，由 O 点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以 O 点为圆心以 2R 为半径转动。如图所示： 由几何图形可知，带电粒子可能经过的区域的面积为： ，故 C 正确，ABD 错误。 例3（多选）：如图所示，匀强磁场中位于 P 处的粒子源可以垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为 m、电荷量为 q、速率为 v 的带正电粒子，P 到荧光屏 MN 的距离为 d。设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是（） A. 若磁感应强度 ，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为 B. 若磁感应强度 ，则同一时刻发射出粒子到达荧光屏的最大时间差为 C. 若磁感应强度 ，则荧光屏上形成的亮线长度为 D. 若磁感应强度 ，则荧光屏上形成的亮线长度为 【答案】BD 【详解】AB.若磁感应强度 则粒子做圆周运动的半径为 ，解得r = d 粒子运动的周期 如图甲所示，到达荧光屏的粒子运动时间最长的是发射速度垂直且背离MN运动的粒子，其运动时间为 运动时间最短的是以d为弦长的粒子，运动时间为 ，解得 所以同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为 ，解得 ，故A错误，B正确； CD.若磁感应强度，则粒子做圆周运动的半径为R = 2d 如图乙所示，到达荧光屏最下端的粒子的轨迹是与MN相切的，设荧光屏上的亮线在粒子源下方的部分长度为 ，根据几何关系有 得 到达荧光屏最上端的粒子与屏的交点和P点连线为轨迹的直径，设荧光屏上的亮线在粒子源上方的部分长度为 ，根据几何关系，有 解得 所以亮线的总长度为 ，故C错误，D正确。 故选：BD。 例4： 直角三角形 MPN 区域内存在磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。 ，NP=L，C 为 MP 的中点，D 为 NP 的中点，在 C 点有一粒子源不断沿垂直于 PM 方向射入速度大小不同的正、负电粒子。粒子的质量均为 m、电荷量均为 e，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。下列说法正确的是（） A. 可能有粒子从 M 点射出磁场 B．从D点离开磁场的粒子的速度大小为 C．从 MN 边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为 D．负粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】C 【详解】A. 根据题意可知，正粒子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示 由正粒子的运动的轨迹可知，不可能从M点射出磁场，故A错误； C. 当从 MN 边射出的正粒子运动的轨迹与 MN 相切时在磁场中运动时间最长，根据几何关系可知圆心角为 ，则最长时间 故C正确； B. 负电子从 D 点离开磁场的轨迹如图，负粒子从 D 点离开磁场时，则 得 所以负粒子的速度大小为 故B错误； D. 粒子从 P、M 之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为，故D错误。故选： 类型二：科技类（质谱仪，回旋加速器，速度选择器，流量计，霍尔元件） 例5：如图所示，质谱仪的工作原理如下：一个质量为 m，电荷量为 q 的离子，从容器 A 下方的小孔 飘入电势差为 U 的加速电场（初速度为 0），然后经过 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中，最后打到照相的底片 D 上。不计离子重力。则（） A. 离子进入磁场时的速率为 B. 离子在磁场中运动的轨道半径为 C. 离子在磁场中运动的轨道半径为 D. 若 a、b 是两种同位素的原子核，从底片上获知 a、b 在磁场中运动轨迹的直径之比是 1.08:1，则 a、b 的质量之比为 1.08:1 【答案】C 【解析】 A.离子在电场中加速，由动能定理： 解得： ，故A错误； BC、离子在磁场中偏转，由洛伦兹力提供向心力， 可得： ，故C正确，B错误； D.同位素的电量一样，其质量之比为 ，故D错误。 故选：C。 例6：劳伦斯的刘文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图所示。置于真空中的 D 形金属盒半径为 r，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可忽略。磁感应强度为 B 的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为 f，加速电压为 U 若 A 处粒子源产生的质子质量为 m、电荷量为 +q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响。则下列说法正确的是（） A. 质子被加速后的最大速度不可能超过 B．质子离开回旋加速器时的最大动能与加速电压U成正比 C．质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为1: D．不改变磁感应强度 B 和交流电频率 f，该回旋加速器也能加速α粒子 【答案】A 【详解】A、质子出回旋加速器的速度最大，此时的半径为R，则 。所以最大速度不超过 ，故A正确； B.根据 ，知 ，则最大动能 ，与加速的电压无关。故B错误； C.粒子在加速电场中做匀加速运动，在磁场中做匀速圆周运动，根据动能定理 ，知： ，质子第1次和第2次经过D形盒狭缝的速度比为1： ， ，可知， ，则半径比为1： 。故C错误； D.根据 ，和 ，知 ，f与比荷有关，粒子比荷一定相同，故不可以加速，故D错误。 故选：A. 例7：如图所示，M、N 为速度选择器的上、下两个带电极板，两极板间有匀强电场和匀强磁场。匀强电场的电场强度大小为 E。方向由 M 板指向 N 板，匀强磁场的方向垂直纸面向里。速度选择器左右两侧各有一个小孔 P、Q，连线 PQ 与两极板平行。某种带电微粒以速度 v 从 P 孔沿 PQ 连线射入速度选择器，从 Q 孔射出。不计微粒重力。下列判断正确的是（） A. 带电微粒一定带正电 B. 匀强磁场的磁感应强度大小为 C. 若将该种带电微粒以速率 v 从 Q 孔沿 QP 连线射入，不能从 P 孔射出 D. 若将该带电微粒以 2V 的速度从 P 孔沿 PQ 连线射入后将做类平抛运动 【答案】C 【详解】1 判断带电微粒的电性。 无论带电微粒带正电还是带负电，只要洛伦兹力等于静电力，微粒就能沿PQ直线运动。因此，微粒可以带正电也可以带负电。 2 计算匀强磁场的磁感应强度大小。 根据电场力等于洛伦兹力的条件Eq = qvB，可以解得磁感应强度 。 3 分析带电微粒从Q孔沿QP连线射入时的运动状态。 无论微粒带正电还是带负电，从Q孔沿QP连线射入时，受到的洛伦兹力和静电力方向相同，微粒将做曲线运动，不能从P孔射出。 4 分析带电微粒以2v的速度从P孔沿PQ连线射入时的运动状态。 当微粒以2v的速度射入时，洛伦兹力大于静电力，微粒将做曲线运动，由于洛伦兹力是变力，微粒不可能做类平抛运动。综上选择C选项 例8：某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为 L、直径为，左右两端开口，在前后两个内侧面 a、c 固定有金属板作为电极，匀强磁场方向竖直向下。污水（含有大量的正、负离子）充满管口从左向右流经该测量管时，a、c 两端的电压为 U，显示仪器显示污水流量 Q（单位时间内排出的污水体积）。则（） A. a侧电势比c侧电势低 B. 污水中离子浓度越高，显示仪器的示数越大 C. 污水流量 Q 与 U 成正比，与 L、D 无关 D. 匀强磁场的磁感应强度 【答案】D 【详解】A、磁场方向竖直向下，由左手定则，污水中的正离子聚集到a端，负离子聚集到c端，a侧电势比c侧电势高，故A错误 B.电场力等于洛伦兹力，达到平衡时，电势差稳定，即qvB = qE, , U = BDv，与离子浓度无关，故B错误 C.流量 ，又因为U = BDv，所以流量 ，与D有关，故C错误 D.流量 ，又因为U = BDv，所以流量 ，解得 ，故D正确故选：D。 例9（多选）：霍尔元件是把磁学量转换为电学量的电学元件，如图所示某元件的宽度为h，厚度为d，磁感应强度为B的磁场垂直于该元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差U，设元件中能够自由移动的电荷带正电，电荷量为q，且元件单位体积内自由电荷的个数为n，则下列说法正确的是（） A. C侧面的电势低于D侧面的电势 B. 自由电荷受到的电场力为 C. C、D两侧面电势差与磁感应强度的关系为 D. 元件中自由电荷由正电荷变为负电荷，C、D两侧电势高低不会变化 【答案】BC 【详解】 解：A、元件中的自由电荷带正电，根据左手定则可知，自由电荷向C侧面偏转，C侧面聚集正电荷，则C侧面的电势高于D侧面的电势，故A错误； B.稳定后C、D两侧面间的电势差为U，则CD之间的电场强度 ，自由电荷受到的电场力 ，故B正确； C.稳定后，自由电荷所受洛伦兹力大小等于电场力大小，即 根据电流微观表达式I = nqSv 又S = hd 联立可得： ，故C正确； D.元件中自由电荷由正电荷变为负电荷，根据左手定则，负电荷向C侧面偏转，C侧面聚集负电荷，则C侧面的电势低于D侧面的电势，故D错误。 故选：BC。 例10（多选）： 如图所示是霍尔元件的工作原理示意图，磁场垂直于霍尔元件的工作面向上，通入图示方向的电流 I，C、D 两侧面间会产生电势差，下列说法中正确的是（） A. 仅增大电流 I 时，电势差变大 B. 电势差的大小仅与磁感应强度有关 C. 若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势 D. 在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平 【答案】ACD 【详解】1 分析霍尔效应中电势差的产生原因。 当电流通过霍尔元件时，载流子在磁场作用下发生偏转，导致C、D两侧面间产生电势差。电势差的大小与载流子的性质、电流强度、磁感应强度以及霍尔元件的几何形状有关。 2 判断载流子为自由电子时C、D两侧面的电势高低。 若霍尔元件的载流子是自由电子，根据左手定则，电子在磁场作用下会向C侧面偏转，因此C侧面的电势高于D侧面的电势。 3 分析电流强度对电势差的影响。 仅增大电流I时，载流子的密度增加，导致更多的载流子在磁场作用下偏转，从而使得C、D两侧面间的电势差变大。 4 确定在测定地球赤道上方的地磁场强弱时元件的工作面方向。 在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，为了使地磁场垂直于霍尔元件的工作面，元件的工作面应保持水平。 类型三：三角边界类 例题11（多选）：如图所示，边长为 L 的等边三角形 abc 区域外存在垂直于 abc 所在平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，P、Q 两点分别为 ab 边的三等分点。t=0 时刻，带负电的粒子在 abc 平面内以初速度 从 a 点垂直于 ac 边射出，从 P 点第一次进入三角形 abc 区域。不计粒子重力，下列说法正确的是（） A. 粒子的比荷为 B. B. 粒子可以运动到 Q 点 C. 粒子第一次到达 c 点的时间为 D. 粒子第一次回到 a 点的时间为 【答案】AC 【详解】1 计算粒子的比荷。 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 ，其中r为圆周运动的半径。根据几何关系，粒子从a点到P点的直线距离为 ，因此圆周运动的半径 。由此可得粒子的比荷 。 由 ，可得 ，代入 ，得到 2 判断粒子是否可以运动到Q点。 根据粒子的运动轨迹和几何关系，粒子的运动轨迹是以a点为圆心，半径为 的圆弧，因此粒子不会运动到Q点。 3 计算粒子第一次到达c点的时间。 粒子从a点到c点的运动轨迹包括一段圆弧和一段直线。圆弧部分对应的角度为 ，直线部分对应的时间为 。因此，总时间为 。 4 计算粒子第一次回到a点的时间。 粒子第一次回到a点的运动轨迹包括三段圆弧和三段直线。每段圆弧对应的角度为 ，每段直线对应的时间为 。因此，总时间为 。 例题12：如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为 B 的匀强磁场被边长为 L 的等边三角形 AOC 分开，三角形内磁场方向垂直于纸面向里，三角形顶点 A 处有一质子源，能沿 的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过 C 点，质子比荷 ，则以下说法正确的是 A. 质子的速度可能为 B. 质子的速度可能为 C. 质子由 A 到 C 的时间可能为 D. 质子由 A 到 C 的时间可能为 【答案】C 【详解】1 分析质子在磁场中的运动轨迹和几何关系。 质子从A点沿 的角平分线发射，经过磁场后通过C点。由于磁场方向相反，质子在两个磁场中的运动轨迹需要满足特定的几何关系，使得质子能够从A点到达C点。 2 利用洛伦兹力公式和几何关系计算质子的速度。 洛伦兹力公式F = qvB，结合质子的运动轨迹和几何关系，可以计算质子的速度。由于质子比荷 ，可以推导出质子速度与B、k、l的关系。 , , 3 分析选项A和B的可能性。 根据上述分析，质子的速度与B、k、l的关系，选项A和B的速度值 和 不符合质子运动的几何和物理条件。 4 利用几何关系和圆周运动公式计算质子由A到C的时间。 质子在磁场中做圆周运动，运动时间 ，其中 是质子在磁场中运动的圆心角。根据几何关系， 可以是 ，因此 。 , , 5 分析选项C和D的可能性。 根据上述分析，选项C的时间 符合质子运动的几何和物理条件，而选项D的时间 不符合 例13：回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于真空中的 D 形金属盒的半径为 R，两盒间狭缝的宽度为 d，磁感应强度为 B 的匀强磁场与盒面垂直。被加速的粒子质量为 m，电荷量为 +q，加在狭缝间的电压的变化规律如图乙所示，电压为 ，周期 。一束该种粒子在 时间内从 A 处飘入狭缝，其初速度视为零。现考虑粒子在夹缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做匀加速运动，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（） 乙 A. 回旋加速器加速的次数越多，粒子获得的最大动能越大 B．粒子在电场中加速的总次数为 C．经过第一次加速和第二次加速后在磁场中运动的半径之比为1:2 D．粒子在电磁场中运动的总时间为 【答案】B 【详解】解：BD、粒子飞出最大半径为R对应的速度与动能均最大，根据洛伦兹力提供圆周运动的向心力有q 设粒子被加速n次动能达到最大动能 ，根据动能定理有 最大动能为 解得 解得 粒子在夹缝中做匀加速运动，设经过狭缝n次的总时间为 ，加速度为 对匀加速运动过程，有 总时间为 解得 ，故D错误，B正确； A.前面的分析得最大速度 可知，粒子被加速后的最大速度与加速的次数无关，与D形金属盒半径R、磁感应强度B均有关，故A错误； C.粒子第n次被加速前、后，根据动能定理有 ， 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 ， ，解得 ，故经过第一次加速和第二次加速后在磁场中运动的半径之比为 ，故C错误。故选：B 例14：如图所示，在坐标系 xOy 内有一个半径为 R 的圆形区域，圆心坐标为 ，圆内分布有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场垂直纸面向里，电场大小方向未知。在直线 y = R 的上方和直线 x = 2R 的左侧区域内，有一沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小和圆形区域内的电场相等。一质量为 m、电荷量为 +q (q > 0) 的粒子以速度 （未知）从 O 点沿 x 轴正方向垂直于磁场射入，经过时间 t 匀速通过圆形区域并从 Q 点射出；若不改变初速度的大小和方向，仅撤去磁场，粒子飞出圆形区域时间将变为 （不计粒子的重力，已知 m、q、R、t）。 （1）求粒子的初速度 ; （2）求电场强度 E 和磁感应强度 B 的大小； （3）若仅撤去圆形区域中的电场，让粒子以速度 从O点垂直磁场射入第四象限，且速度方向与x轴正方向夹角 ，求粒子从第一次射入磁场到最终离开磁场的时间 。 【答案】（1）粒子的初速度为 ; （2）电场强度大小为 ，磁感应强度B的大小为 ; （3）粒子从第一次射入磁场到最终离开磁场的时间（ ）t。 【详解】（1）粒子在电磁场中做匀速直线运动，所以 （2）撤去磁场后，带电粒子在电场中做类平抛运动 x = R, y = R，沿y轴负方向{ 又因为该粒子在电磁场中做匀速直线运动时 联立可得 （3）撤去电场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动 代入 和B得 由几何关系可知粒子从A点沿y轴正方向射出磁场，并从C点进入上方电场，在电场中减速为零后反向加速从C点出电场时 ，又从A点沿y轴负向进入磁场做匀速圆周运动，刚好从Q点射出磁场，在磁场中运动的总时间 电场中运动的总时间 在AC之间匀速运动的时间 则总时间为 例15：磁聚焦被广泛地应用在电真空器件中，如图所示，在坐标 xoy 中存在有界的匀强聚焦磁场，方向垂直坐标平面向外，磁场边界 PQ 直线与 x 轴平行，距 x 轴的距离为 ，边界 OQ 的曲线方程为 （ ），且与边界 PQ 曲线关于 x 轴对称。在坐标 x 轴上 A 处有一粒子源，向着不同方向射出大量质量均为 m，电量均为 q 的带正电粒子，所有粒子的初速度大小相同均为 v，粒子通过有界的匀强磁场后者都会聚焦在 x 轴上的 F 点。已知 A 点坐标为 ，F 点坐标为 。不计粒子所受重力和相互作用。则： （1） 匀强磁场的磁感应强度为多少？ （2） 粒子射入磁场时的速度方向与 x 轴的夹角为多大时，粒子在磁场中运动时间最长，最长时间为多少？ 【答案】（1） （2） 【详解】（1）设磁场的磁感应强度为 B，粒子在磁场中做圆周运动的半径为 r，圆心为 C，从 D 处射出磁场，其坐标为 ，因 相似于 ， 可得 且 POQ 的曲线方程为 ， 解得： 因 ， 解得： （2）设粒子射入磁场时的度方向与 x 轴夹角为 时，粒子在磁场中运动的轨迹与 PQ 相切，则在磁场中运动的时间最长，最长时间为 t，由几何知识得。 解得： 解得： 例16：如图所示，竖直面内半径分别为 R、 的圆相切于 N 点，两圆心 、 的连线沿水平方向，M、P 分别是大、小圆上的点，M、 的连线竖直，P、 的连线与水平方向的夹角为 ，两圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），P 点的右上方存在水平向左的匀强电场，电场中的一点 Q 与 M 点连线水平。一质量为 m、带电量为 +q 的粒子（不计重力）从 M 点以竖直向下的速度 射入磁场，经过 N 点从 P 点离开磁场进入电场，当运动到 Q 时速度方向恰好竖直向上。 （1）求大、小圆内磁感应强度大小的差值； （2）求粒子从 P 点运动到 Q 点的运动时间以及匀强电场的电场强度大小； （3）求粒子从 M 点运动到 Q 点的平均加速度的大小以及平均速度的大小。 【答案】(1) （4分） (2) （6分） (3) (6分) 【解析】（1）粒子在M点的速度指向圆心 ，则在N点速度的反向延长线也指向圆心 ，同理在N点速度的指向圆心 ，在P点速度的反向延长线也指向圆心 过M、N、P点分别做圆弧轨迹的垂线确定圆弧轨迹的圆心和半径，设两圆弧轨迹的半径分别为 、 ，由几何关系可得 （1分） （1分） 由洛伦兹力充当向心力可得 ， （1分） 综合解得 ， 则有 （1分） （2）粒子在P点的速度与水平方向成60°夹角，把P点的速度分别沿水平方向和竖直方向正交分解，则有 ， （1分） P点与 、 连线的距离为 （1分） Q点与M点连线水平，则Q点与 、 连线的距离为R，则Q点与P点的高度差为 （1分） 粒子从P点到Q点做类斜抛运动，由逆向思维可得从Q点到P点做类平抛运动，竖直方向以 做匀速运动，则运动时间 （1分） 水平方向做匀变速运动则有 （1分） 综合解得 （1分） （3）粒子从M点到N点的运动时间为 ，从N点到P点的运动时间为 （1分）规定竖直向上为正方向 粒子从 M 点到 Q 点的平均加速度的大小为 M.P 两点沿水平方向的距离为 (1分) P.Q 两点沿水平方向的距离为 （1 分） 规定水平向右为正方向 粒子从 M 点到 Q 点的平均速度的大小为 （1 分） 联立解得 (2 分) 例17：在如图所示的平面直角坐标系中，第二象限内存在磁感应强度为 的匀强磁场，方向垂直于 xOy 平面向外；第一象限某矩形区域内存在磁感应强度 的匀强磁场，方向垂直于 xOy 平面向外。一个比荷为 的带正电的粒子从点 P（-10cm，0）发射进入第二象限，其速度 ，方向垂直于磁场 且与 x 轴负方向夹角为 ；后从 Q 点以垂直 y 轴方向直接进入第一象限内的矩形磁场区域，再经 M 点以垂直 x 轴方向进入第四象限；整个第四象限存在大小、方向均未知的匀强电场，粒子经过该电场偏转后从 N 点进入无电场、磁场的第三象限区域，最终回到 P 点的速度与发射速度相同，不考虑粒子的重力。求： （1） 第二象限内磁场的磁感应强度 的大小： （2）粒子在矩形匀强磁场中的运动时间 t 和该磁场区域的最小面积 （3）第四象限内匀强电场场强E的大小。 【答案】（1）=0.2T （2） （3） 【详解】（1）粒子在第二象限的匀强磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设圆周运动的半径为 由几何知识得： ，=0.2T （2）粒子在第一象限中的磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为 ， 洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得： 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期： 由几何知识可知，粒子在第一象限磁场中转过的圆心角： 粒子在第一象限磁场中的运动时间： 代入数据解得： 矩形区域的最小面积： （3）粒子在第三象限中做匀速直线运动，如图NP连线方向与发射速度方向一致，则： 设电场强度水平向左分量大小为 、竖直向上分量大小为 ，粒子从M到N过程， 答：（1）第二象限内磁场的磁感应强度 的大小是0.2T； （2）粒子在矩形匀强磁场中的运动时间t是 s，该磁场区域的最小面积S是 ; （3）第四象限内匀强电场场强E的大小是 。 例18：探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为 ；且各个方向均有速度大小连续分布在 和 之间的离子射出。已知速度大小为 、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔 C 所处位置的坐标 （2）求离子打在 N 板上区域的长度 （3）若在 N 与 M 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为 0 时的电压 ; （4）若将分析器沿着 x 轴平移，调节加载在 N 与 M 板之间的电压，求电流表示数刚为 0 时的电压 与孔 C 位置坐标 x 之间关系式。 【答案】（1） （2） （3） （4） 【详解】（1）圆周运动 （2）与 y 轴夹角为 的离子经磁场偏转后进入孔 C 后仍与 y 轴成 角进入孔 C 后离子速度方向与 y 轴的最大夹角为 因为 ，所以 （3） 进入孔 C 的离子速度大小 v 及其与 y 轴夹角 必须满足 动能定理 （4） 离子经偏转后能进入孔 C 的位置范围 由（1）可知， ，因为 所以 19.研究带电粒子偏转的实验装置原理图如图所示，I区是位于xOy平面内的半圆，直径MN与x轴重合，M点的坐标为 ，N点的坐标为 ；Ⅱ区位于xOy平面内的虚线x=-R和y轴之间，yOz平面的右侧为Ⅲ区域。其中I区和Ⅱ区内存在垂直纸面向外的匀强磁场，Ⅲ区存在沿y轴正方向的匀强磁场。两个相同的粒子源发射器可发射出速度为 、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，调节两个发射器的位置，使两个粒子甲、乙同时从半圆形边界上的a、b两个点沿着y轴正方向射入区域I，a点与半圆形区域的圆心 的连线垂直于x轴，b到 的距离为 。甲粒子从N点离开区域I，乙粒子也从N点离开区域I并垂直于y轴离开区域Ⅱ。已知区域I和区域Ⅲ内的磁感应强度大小相等，不计粒子的重力和粒子之间的影响。求： （1） 区域I内的磁感应强度大小 （2） 区域Ⅱ内的磁感应强度大小 （3）当乙粒子第一次在区域Ⅲ内运动到离y轴最远时甲粒子的位置坐标。 【答案】（1）区域I内的磁感应强度大小 ; (2) 区域Ⅱ内的磁感应强度大小 ; (3) 甲粒子的位置坐标为 【详解】（1）甲沿着半径入射，从N点离开，可知粒子在区域I中运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力，则 ，可得区域I内的磁感应强度大小 ; (2) 如图所示： 由几何关系可知，乙粒子通过N点时速度方向与x轴正方向的夹角为 ，垂直于y轴离开区域Ⅱ， 可知在区域Ⅱ内的轨道圆心在y轴上，则轨道半径r=2R， （3）假设粒子在区域I和Ⅲ内的运动周期为T， 在区域I内，甲的运动时间为 ，乙的运动时间为 ， 在区域Ⅱ内它们的运动时间相等， 甲粒子通过y轴时，速度方向与y轴负方向的夹角为 ， 沿着x轴方向的速度 , 沿着y轴负方向的速度 , 在区域Ⅲ内，粒子甲在xOz平面内做匀速圆周运动，速率为v， 粒子甲沿y轴负方向做匀速直线运动，速度大小为 ， 粒子乙垂直于y轴进入区域Ⅲ，粒子乙在xOz平面内做匀速圆周运动，速率为 ， 当乙粒子经过 离y轴最远，此时甲粒子在区域Ⅲ内运动了 ， 俯视图如图所示： 有 甲粒子的位置坐标为 。 20.如图所示，在 xOy 平面内，以 为圆心，5R 为半径的圆弧与 x 轴交于 和 ，圆 是以 PQ 为直径的圆。在圆 的半圆弧 PQ 与圆 的优弧 PQ 之间存在磁感应强度为 ，方向垂直纸面向里的匀强磁场；半圆 内部是无场区域；x 轴下方存在磁感应强度为 ，方向垂直纸面向外的匀强磁场。在 区域内，大量质量为 m，电荷量为 q 且不计重力的粒子从第二象限沿 x 轴正方向以初速度为 射入磁场 ，经过磁场偏转后都能聚焦于 x 轴上的某点（即为焦点）。 （1）请判断这些粒子的电性，并写出焦点的坐标： （2）若某粒子打到焦点时，速度方向恰沿y轴负方向，求该粒子射入磁场 时到x轴的距离h； （3）求粒子从出发到聚焦的过程中，速度方向偏转角度的最大值； （4）接第（2）问，该粒子进入磁场 后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力 （比例系数 k 已知），且发现该粒子再次到达 x 轴时其轨迹与 x 轴相切于点 M （图中未画出）。①求 M 点到原点的位移大小；②求粒子在 M 点时的速度大小 【答案】（1）粒子带负电，粒子在磁场 中运动的轨迹关于x轴对称，所以粒子聚焦于原点 （2） h = 7R （3） 圆心角为143° （4）M点到原点的位移大小 ，粒子在M点时的速度大小 【详解】 1 判断粒子电性并确定焦点坐标 粒子从第二象限沿x轴正方向射入磁场 ，经过磁场偏转后聚焦于x轴上某点，根据左手定则可判断粒子带负电。由几何关系可知，粒子在磁场 中做圆周运动的半径 ，且粒子在磁场 中运动的轨迹关于x轴对称，所以粒子聚焦于原点 。 2 求粒子射入磁场 时到x轴的距离 已知粒子打到焦点时速度方向恰沿y轴负方向，根据几何关系，粒子在磁场 中运动的轨迹对应的弦长为7R，由几何关系可得粒子射入磁场 时到x轴的距离h = 7R。 3 求粒子从出发到聚焦的过程中速度方向偏转角度的最大值 粒子在磁场 中做圆周运动，其轨迹对应的圆心角即为速度方向偏转角度。当粒子运动轨迹对应的弦长最长时，圆心角最大。由几何关系可知，弦长最长为14R，根据圆周运动知识，可求出圆心角为143°。 4 求M点到原点的位移大小 粒子进入磁场 后，受到与速度大小成正比、方向相反的阻力 ，粒子在磁场 中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，结合阻力做功情况，根据动能定理等知识，可求出粒子在磁场 中运动的半径 ，进而得出M点到原点的位移大小 。 5 求粒子在M点时的速度大小 粒子在磁场 中运动，阻力做功，根据动能定理，阻力做功等于动能的变化量。已知粒子在磁场 中运动的半径 ，结合阻力 v，可求出粒子在M点时的速度大小 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 洛伦兹力及相关应用 考点1：带电粒子在磁场中的运用 解题思路： 类别 关键内容 公式/适用条件 注意事项 1. 确定圆心 速度垂线法：过入射点、出射点作速度方向的垂线，交点即圆心。 弦的中垂线法：弦的中垂线与速度垂线交点为圆心。 切点法：轨迹与边界相切时，切点处法线与速度垂线交点为圆心。 直线边界：入射角 = 出射角 圆形边界：径向射入必径向射出 圆心必在速度方向的垂直线上；若题目给出边界形状（直线/圆形），优先用对应几何性质简化作图。 2. 计算半径 物理公式： （洛伦兹力提供向心力）。几何关系：r 勾股定理如。 半径与速度v成正比，与B、 成反比 速度方向改变不影响r 若粒子速度方向变化但大小不变，半径恒定（适用于旋转圆模型）。 3. 求解时间 时间公式： 周期公式： 圆心角确定：速度偏转角 周期与速度无关 直线边界： （ ：入射角） 时间仅由圆心角决定；若粒子运动半周（ 4. 关键结论 结论1：周期与速度v无关，仅由B和 决定。 适用于所有匀强磁场中的圆周运动问题 比较不同速度粒子运动时间时，只需关注圆心角 。 结论2：直线边界中入射角 = 出射角；圆形边界中径向射入必径向射出。 直线边界： 圆形边界：入射方向沿半径 → 出射方向沿半径 此结论可直接用于快速确定出射方向，避免重复作图。 结论3：磁聚焦条件——轨迹半径 磁场区域半径 R 时，点入平出（所有粒子平行射出）。 圆形磁场特例，常用于设计粒子束准直装置。 结论4：运动时间 t与圆心角 成正比（T相同条件下）。 最大时最长（通常为轨迹与边界相切时， ）。 类型一：临界极值类 例1： 如图所示，矩形 ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为 B，AB 边长为 d，BC 边长为 2d，O 是 BC 边的中点，E 是 AD 边的中点，在 O 点有一粒子源，可以在纸面向磁场内各个方向射出质量均为 m、电荷量均为 q、有同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与 OB 边的夹角为 的粒子恰好从 E 点射出磁场，不计粒子的重力，则（） A. 粒子带正电 B. 粒子运动的速度大小为 C. 粒子在磁场中运动的最长时间为 D. 磁场区域中有粒子通过的面积为 例2：如图，在一挡板 MN 的上方，有磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P 为 MN 上的一个粒子发射源，它能连续向垂直磁场的各个方向发射速率为 v、质量为 m、带电量为 q（q > 0）的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收。则垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是（） A. B. C. D. 例3（多选）：如图所示，匀强磁场中位于 P 处的粒子源可以垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为 m、电荷量为 q、速率为 v 的带正电粒子，P 到荧光屏 MN 的距离为 d。设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是（） A. 若磁感应强度 ，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为 B. 若磁感应强度 ，则同一时刻发射出粒子到达荧光屏的最大时间差为 C. 若磁感应强度 ，则荧光屏上形成的亮线长度为 D. 若磁感应强度 ，则荧光屏上形成的亮线长度为 例4： 直角三角形 MPN 区域内存在磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。 ，NP=L，C 为 MP 的中点，D 为 NP 的中点，在 C 点有一粒子源不断沿垂直于 PM 方向射入速度大小不同的正、负电粒子。粒子的质量均为 m、电荷量均为 e，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。下列说法正确的是（） A. 可能有粒子从 M 点射出磁场 B．从D点离开磁场的粒子的速度大小为 C．从 MN 边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为 D．负粒子在磁场中运动的最长时间为 类型二：科技类（质谱仪，回旋加速器，速度选择器，流量计，霍尔元件） 例5：如图所示，质谱仪的工作原理如下：一个质量为 m，电荷量为 q 的离子，从容器 A 下方的小孔 飘入电势差为 U 的加速电场（初速度为 0），然后经过 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中，最后打到照相的底片 D 上。不计离子重力。则（） A. 离子进入磁场时的速率为 B. 离子在磁场中运动的轨道半径为 C. 离子在磁场中运动的轨道半径为 D. 若 a、b 是两种同位素的原子核，从底片上获知 a、b 在磁场中运动轨迹的直径之比是 1.08:1，则 a、b 的质量之比为 1.08:1 例6：劳伦斯的刘文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图所示。置于真空中的 D 形金属盒半径为 r，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可忽略。磁感应强度为 B 的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为 f，加速电压为 U 若 A 处粒子源产生的质子质量为 m、电荷量为 +q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响。则下列说法正确的是（） A. 质子被加速后的最大速度不可能超过 B．质子离开回旋加速器时的最大动能与加速电压U成正比 C．质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为1: D．不改变磁感应强度 B 和交流电频率 f，该回旋加速器也能加速α粒子 例7：如图所示，M、N 为速度选择器的上、下两个带电极板，两极板间有匀强电场和匀强磁场。匀强电场的电场强度大小为 E。方向由 M 板指向 N 板，匀强磁场的方向垂直纸面向里。速度选择器左右两侧各有一个小孔 P、Q，连线 PQ 与两极板平行。某种带电微粒以速度 v 从 P 孔沿 PQ 连线射入速度选择器，从 Q 孔射出。不计微粒重力。下列判断正确的是（） A. 带电微粒一定带正电 B. 匀强磁场的磁感应强度大小为 C. 若将该种带电微粒以速率 v 从 Q 孔沿 QP 连线射入，不能从 P 孔射出 D. 若将该带电微粒以 2V 的速度从 P 孔沿 PQ 连线射入后将做类平抛运动 例8：某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为 L、直径为，左右两端开口，在前后两个内侧面 a、c 固定有金属板作为电极，匀强磁场方向竖直向下。污水（含有大量的正、负离子）充满管口从左向右流经该测量管时，a、c 两端的电压为 U，显示仪器显示污水流量 Q（单位时间内排出的污水体积）。则（） A. a侧电势比c侧电势低 B. 污水中离子浓度越高，显示仪器的示数越大 C. 污水流量 Q 与 U 成正比，与 L、D 无关 D. 匀强磁场的磁感应强度 例9（多选）：霍尔元件是把磁学量转换为电学量的电学元件，如图所示某元件的宽度为h，厚度为d，磁感应强度为B的磁场垂直于该元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差U，设元件中能够自由移动的电荷带正电，电荷量为q，且元件单位体积内自由电荷的个数为n，则下列说法正确的是（） A. C侧面的电势低于D侧面的电势 B. 自由电荷受到的电场力为 C. C、D两侧面电势差与磁感应强度的关系为 D. 元件中自由电荷由正电荷变为负电荷，C、D两侧电势高低不会变化 例10（多选）： 如图所示是霍尔元件的工作原理示意图，磁场垂直于霍尔元件的工作面向上，通入图示方向的电流 I，C、D 两侧面间会产生电势差，下列说法中正确的是（） A. 仅增大电流 I 时，电势差变大 B. 电势差的大小仅与磁感应强度有关 C. 若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势 D. 在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平 类型三：三角边界类 例题11（多选）：如图所示，边长为 L 的等边三角形 abc 区域外存在垂直于 abc 所在平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，P、Q 两点分别为 ab 边的三等分点。t=0 时刻，带负电的粒子在 abc 平面内以初速度 从 a 点垂直于 ac 边射出，从 P 点第一次进入三角形 abc 区域。不计粒子重力，下列说法正确的是（） A. 粒子的比荷为 B. B. 粒子可以运动到 Q 点 C. 粒子第一次到达 c 点的时间为 D. 粒子第一次回到 a 点的时间为 例题12：如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为 B 的匀强磁场被边长为 L 的等边三角形 AOC 分开，三角形内磁场方向垂直于纸面向里，三角形顶点 A 处有一质子源，能沿 的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过 C 点，质子比荷 ，则以下说法正确的是 A. 质子的速度可能为 B. 质子的速度可能为 C. 质子由 A 到 C 的时间可能为 D. 质子由 A 到 C 的时间可能为 例13：回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于真空中的 D 形金属盒的半径为 R，两盒间狭缝的宽度为 d，磁感应强度为 B 的匀强磁场与盒面垂直。被加速的粒子质量为 m，电荷量为 +q，加在狭缝间的电压的变化规律如图乙所示，电压为 ，周期 。一束该种粒子在 时间内从 A 处飘入狭缝，其初速度视为零。现考虑粒子在夹缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做匀加速运动，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（） 乙 A. 回旋加速器加速的次数越多，粒子获得的最大动能越大 B．粒子在电场中加速的总次数为 C．经过第一次加速和第二次加速后在磁场中运动的半径之比为1:2 D．粒子在电磁场中运动的总时间为 例14：如图所示，在坐标系 xOy 内有一个半径为 R 的圆形区域，圆心坐标为 ，圆内分布有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场垂直纸面向里，电场大小方向未知。在直线 y = R 的上方和直线 x = 2R 的左侧区域内，有一沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小和圆形区域内的电场相等。一质量为 m、电荷量为 +q (q > 0) 的粒子以速度 （未知）从 O 点沿 x 轴正方向垂直于磁场射入，经过时间 t 匀速通过圆形区域并从 Q 点射出；若不改变初速度的大小和方向，仅撤去磁场，粒子飞出圆形区域时间将变为 （不计粒子的重力，已知 m、q、R、t）。 （1）求粒子的初速度 ; （2）求电场强度 E 和磁感应强度 B 的大小； （3）若仅撤去圆形区域中的电场，让粒子以速度 从O点垂直磁场射入第四象限，且速度方向与x轴正方向夹角 ，求粒子从第一次射入磁场到最终离开磁场的时间 。 例15：磁聚焦被广泛地应用在电真空器件中，如图所示，在坐标 xoy 中存在有界的匀强聚焦磁场，方向垂直坐标平面向外，磁场边界 PQ 直线与 x 轴平行，距 x 轴的距离为 ，边界 OQ 的曲线方程为 （ ），且与边界 PQ 曲线关于 x 轴对称。在坐标 x 轴上 A 处有一粒子源，向着不同方向射出大量质量均为 m，电量均为 q 的带正电粒子，所有粒子的初速度大小相同均为 v，粒子通过有界的匀强磁场后者都会聚焦在 x 轴上的 F 点。已知 A 点坐标为 ，F 点坐标为 。不计粒子所受重力和相互作用。则： （1） 匀强磁场的磁感应强度为多少？ （2） 粒子射入磁场时的速度方向与 x 轴的夹角为多大时，粒子在磁场中运动时间最长，最长时间为多少？ 例16：如图所示，竖直面内半径分别为 R、 的圆相切于 N 点，两圆心 、 的连线沿水平方向，M、P 分别是大、小圆上的点，M、 的连线竖直，P、 的连线与水平方向的夹角为 ，两圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），P 点的右上方存在水平向左的匀强电场，电场中的一点 Q 与 M 点连线水平。一质量为 m、带电量为 +q 的粒子（不计重力）从 M 点以竖直向下的速度 射入磁场，经过 N 点从 P 点离开磁场进入电场，当运动到 Q 时速度方向恰好竖直向上。 （1）求大、小圆内磁感应强度大小的差值； （2）求粒子从 P 点运动到 Q 点的运动时间以及匀强电场的电场强度大小； （3）求粒子从 M 点运动到 Q 点的平均加速度的大小以及平均速度的大小。 例17：在如图所示的平面直角坐标系中，第二象限内存在磁感应强度为 的匀强磁场，方向垂直于 xOy 平面向外；第一象限某矩形区域内存在磁感应强度 的匀强磁场，方向垂直于 xOy 平面向外。一个比荷为 的带正电的粒子从点 P（-10cm，0）发射进入第二象限，其速度 ，方向垂直于磁场 且与 x 轴负方向夹角为 ；后从 Q 点以垂直 y 轴方向直接进入第一象限内的矩形磁场区域，再经 M 点以垂直 x 轴方向进入第四象限；整个第四象限存在大小、方向均未知的匀强电场，粒子经过该电场偏转后从 N 点进入无电场、磁场的第三象限区域，最终回到 P 点的速度与发射速度相同，不考虑粒子的重力。求： （1） 第二象限内磁场的磁感应强度 的大小： （2）粒子在矩形匀强磁场中的运动时间 t 和该磁场区域的最小面积 （3）第四象限内匀强电场场强E的大小。 例18：探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为 ；且各个方向均有速度大小连续分布在 和 之间的离子射出。已知速度大小为 、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔 C 所处位置的坐标 （2）求离子打在 N 板上区域的长度 （3）若在 N 与 M 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为 0 时的电压 ; （4）若将分析器沿着 x 轴平移，调节加载在 N 与 M 板之间的电压，求电流表示数刚为 0 时的电压 与孔 C 位置坐标 x 之间关系式。 19.研究带电粒子偏转的实验装置原理图如图所示，I区是位于xOy平面内的半圆，直径MN与x轴重合，M点的坐标为 ，N点的坐标为 ；Ⅱ区位于xOy平面内的虚线x=-R和y轴之间，yOz平面的右侧为Ⅲ区域。其中I区和Ⅱ区内存在垂直纸面向外的匀强磁场，Ⅲ区存在沿y轴正方向的匀强磁场。两个相同的粒子源发射器可发射出速度为 、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，调节两个发射器的位置，使两个粒子甲、乙同时从半圆形边界上的a、b两个点沿着y轴正方向射入区域I，a点与半圆形区域的圆心 的连线垂直于x轴，b到 的距离为 。甲粒子从N点离开区域I，乙粒子也从N点离开区域I并垂直于y轴离开区域Ⅱ。已知区域I和区域Ⅲ内的磁感应强度大小相等，不计粒子的重力和粒子之间的影响。求： （1） 区域I内的磁感应强度大小 （2） 区域Ⅱ内的磁感应强度大小 （3）当乙粒子第一次在区域Ⅲ内运动到离y轴最远时甲粒子的位置坐标。 20.如图所示，在 xOy 平面内，以 为圆心，5R 为半径的圆弧与 x 轴交于 和 ，圆 是以 PQ 为直径的圆。在圆 的半圆弧 PQ 与圆 的优弧 PQ 之间存在磁感应强度为 ，方向垂直纸面向里的匀强磁场；半圆 内部是无场区域；x 轴下方存在磁感应强度为 ，方向垂直纸面向外的匀强磁场。在 区域内，大量质量为 m，电荷量为 q 且不计重力的粒子从第二象限沿 x 轴正方向以初速度为 射入磁场 ，经过磁场偏转后都能聚焦于 x 轴上的某点（即为焦点）。 （1）请判断这些粒子的电性，并写出焦点的坐标： （2）若某粒子打到焦点时，速度方向恰沿y轴负方向，求该粒子射入磁场 时到x轴的距离h； （3）求粒子从出发到聚焦的过程中，速度方向偏转角度的最大值； （4）接第（2）问，该粒子进入磁场 后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力 （比例系数 k 已知），且发现该粒子再次到达 x 轴时其轨迹与 x 轴相切于点 M （图中未画出）。①求 M 点到原点的位移大小；②求粒子在 M 点时的速度大小 学科网（北京）股份有限公司 $