第六章 解三角形图形问题（10类题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以“解三角形图形问题”为核心，通过10大题型（如两次正余弦定理、张角定理、三角形特殊线及心的问题等）系统构建知识体系，结合方法提炼与题型框架呈现知识脉络，突出图形问题中边角关系的重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型化分层设计，每个题型配套“方法提炼”（如角平分线定理的正弦定理与等面积法证明）和梯度例题，培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念），例如“托勒密定理”结合圆内接四边形性质推导，助力学生掌握逻辑推理。例题覆盖基础应用到综合探究，支持不同层次学生提升，为教师提供精准教学资源。

第六章 解三角形图形问题 目录 题型1：妙用两次正弦定理 2 题型2：妙用两次余弦定理 9 题型3：张角定理与等面积法 13 题型4：角平分线问题 18 题型5：中线问题 26 题型6：高的问题 32 题型7：重心问题 38 题型8：外心及外接圆问题 45 题型9：内心及内切圆问题 50 题型10：托勒密定理 60 题型1：妙用两次正弦定理 【例1.1.】 如图，在平面四边形ABCD中，. (1)当时，求的面积. (2)当时，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、已知弦（切）求切（弦）、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）应用余弦定理得出，再根据互余关系求出，最后应用面积公式计算即可； （2）在，中，分别应用正弦定理再化简求解即可. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，所以， 因为，所以， 所以. （2）在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以，所以. 【例1.2.】 在中，为边上一点，． (1)若，，求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】几何图形中的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【详解】（1）由题意得，，， 根据余弦定理，， 故. （2）因为， 所以，，． 设，则，，， 在中，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 则， 化简可得， 则． 【例1.3.】 如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.55 【知识点】余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、几何图形中的计算、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可； （2）设，在与中利用正弦定理结合可得，展开化简即可得其正切值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 则为等腰直角三角形，所以， 则． 在中，由余弦定理得 ， 所以． （2）设，则由题意可知，． 在中，由正弦定理得，即， 即， 在中，由正弦定理得，即，即， 又，所以， 所以，解得，所以． 【例1.4.】 已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.42 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式，同角关系式求解. （2）法一：由得到，两边平方求出；法二：由余弦定理得到，从而得到.利用正弦定理得到， 由利用三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 【例1.5.】 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，由此可得； （2）根据角度关系可得；在和中，分别利用正弦定理表示出，由此可构造等式求得结果. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得； ，，，则； （2） ，，； 在中，由正弦定理得：； 在中，由正弦定理得：； ， 即， 【例1.6.】 在中，角所对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若在边上，且，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）整理等式后由余弦定理求得，即可求得； （2）方法一：由（1）得，由得，通过诱导公式及和差角公式求得，在和中由正弦定理建立等式，即可求得； 方法二：作于于，设，由（1）中结论及条件求得线段，由求得，即可求得. 【详解】（1）由， ， 化简后：， 由余弦定理：， 又. （2）方法一：由（1）可知， 又， 不妨设， 中，由正弦定理， 中，由正弦定理， 两式相除，， 展开化简得， 即， ． 综上，则. 方法二：如图，作于于， 设， 由，， 又，， ， 又，， . 题型2：妙用两次余弦定理 方法提炼 (1) 在中，是线段上一点，连接（如图），则有． 证明：因为，所以．在中使用余弦定理有，在中使用余弦定理有，所以，所以． (2) 平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 证明：因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 【例2.1.】 如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）由三角形面积公式求得，进而得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理得解； （2）由，可得四点共圆，进而得，在中，由余弦定理得解. 【详解】（1），即，解得， 由 ，可知，故， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 代值化简得，解得. （2）若，则四点共圆， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以，解得. 【例2.2.】 圆的内接四边形中，，则四边形的面积是______． 【答案】 【难度】0.64 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据题设条件及余弦定理得，进而求出，结合条件，利用三角形面积公式，即可求解. 【详解】如图，由题知，则， 在中，由余弦定理①， 在中，由余弦定理②， ②①得到， 由，则，所以， 则四边形的面积是. 【例2.3.】 中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________. 【答案】/ 【难度】0.55 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】根据题意可得，利用余弦定理解得，，进而可得和. 【详解】在中，因为，， 则的面积为， 即，则，可得， 在中，设， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 即，，且，， 在中，由余弦定理可得，即， 在中，由余弦定理可得， 且，所以. 【例2.4.】 设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、正弦定理求外接圆半径 【分析】设，然后结合余弦定理和正弦定理计算即可. 【详解】如图，设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 而，由同角三角函数的基本关系得， 代入可得，解得， 从而由正弦定理得，故该圆的直径长为． 故答案为：. 题型3：张角定理与等面积法 方法提炼 在中，角所对的边分别为，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：（等面积法） 因为，所以，于是等式两边同除以得． 【例3.1.】 如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.53 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 【例3.2.】 在中，，的角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.56 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】先利用余弦定理，代入已知边和角，解一元二次方程求出的长度，再利用角平分线的面积关系，通过面积公式建立方程求解. 【详解】在中，由余弦定理： 代入已知条件可得 ，整理得：， 解得（负根舍去）. 由于是的角平分线，故，且， 代入面积公式得， 因为，则. 代入， 可得. 【例3.3.】 如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值； （2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 【例3.4.】 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且. (1)求角； (2)若角的角平分线交AC于点，点在线段AC上，，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.75 【知识点】三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式化简求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求出，进而求出的面积. 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理 ，则， 而，因此，而，所以. （2）由角的角平分线交AC于点及（1），得， 由及，得， 整理得，由余弦定理得，即， 于是，而，解得， 因此，解得，即，则，点为的中点， 由，得，，， 所以的面积. 题型4：角平分线问题 方法提炼 (1) 角平分线定理 在中，的角平分线交于点（如图），则有. 证明①：（妙用两次正弦定理） 因为，所以，在中使用正弦定理有，在中使用正弦定理有，又，所以。 证明②：（等面积法） 如图，过点作边上的高为，过点分别作边上的高为，因为为的角平分线，所以。 ，， 所以。 (2) 角平分线长：. 证明：（等面积法） 由可得，， 所以。 (3) 斯库顿定理：若是的角平分线，则有. 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 因为，所以 所以。 又因为，所以，即 所以，即 【例4.1.】 已知的面积为，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角. （2）先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段的长. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即，所以. 又，所以. （2）因为，所以， 所以 . 由正弦定理可得，，， 又， 所以，解得. 所以线段的长为. 【例4.2.】 如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】诱导公式五、六、几何图形中的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解； （2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，. 又 ，即 ，所以. 因为，所以，即，解得. 因为平分，所以， 解得， 所以 所以. （2）设， 则， 即， 整理得， 又， 故，即，解得. 【例4.3.】 如图，在四边形中，是的角平分线． (1)求证：； (2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析； (2)选条件①②，四边形的面积为，选条件③，四边形不存在. 【难度】0.54 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理推理得证. （2）选条件①②，利用余弦定理建立方程组，再利用三角形面积公式求解；选条件③，利用正弦定理判断三角形无解即可. 【详解】（1）在四边形中，由是的角平分线，， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）选条件①：，则，由（1）得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，又， 所以四边形的面积. 选条件②：，由（1）得，设， 在中，由余弦定理得， 即，则是方程的两个根， 于是，即，， 由，得，则，， 所以四边形的面积. 选条件③：，由（1）得， 在中，由正弦定理得，即不存在，四边形不存在. 【例4.4.】 已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】几何图形中的计算、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果． 【详解】因为，所以， 又，则，化简得， 由正弦定理得， 因为， 所以，整理得， 又，，所以或， 若，即，不满足条件，则，即， 因为为的平分线，所以， 因为，所以， 在中，① 又因为，， 所以， 即， 化简得② ①代入②得，解得，（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理， 所以． 【例4.5.】 在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点. (1)证明； (2)若，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.63 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、纯几何方法 【分析】（1）在、中分别对、应用正弦定理，结合是内角平分线的角度关系推得，同理在、中推得，即可证； （2）结合已知边长及（1）结论求出的长度，进而得到，再利用勾股定理计算得到的长. 【详解】（1）已知平分，平分的外角， 因此 即， 在中：，得， 在中：，得， 因为，所以；又，故， 所以； 同理，在中：，在中：， ，， 故，又， 所以； 因此，原等式得证. （2）已知，，因此，由(1)得，解得， 所以，又由（1）证明过程知，， 所以，所以 即的长为. 题型5：中线问题 方法提炼 中线长定理 在中为的中线，则中线长定理: 证明①：根据平行四边形定理有，所以，即，所以 证明②：（两次使用余弦定理建立等量关系） 在中，， 在中，， 联立两个方程可得：. 证明③：（平面向量法） ，两边平方得 化简得， 又 ，所以. 【例5.1.】 中，，，D为边上的中点，，则的面积为__________． 【答案】/ 【难度】0.62 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】利用余弦定理和三角形中线长公式求出与的乘积，再代入三角形面积公式计算即可。 【详解】设，，， 在中，由余弦定理得： ， 又，，，则 ①； 因为为边的中点，为边上的中线， 所以， 又，则②， 由得，解得， 由三角形面积公式：， 则. 【例5.2.】 在中，角所对的边长分别为，已知，且. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化，结合诱导公式可求得； (2)根据平行四边形法则，用表示，由可得的长度. 【详解】（1）因为，由正弦定理,得：. 因为在中，，所以， 所以. 因为，所以，所以. 因为,所以. （2）方法一：在中，由余弦定理，得,所以. 因为，是的中点，所以. 在中，；在中，. 因为，所以， 所以，即. 因为，所以,所以. 方法二：如图，是边上的中线，所以， 所以， 由题知，，所以，所以.    【例5.3.】 在中，是边的中点，为边上一点，连接，交于点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.27 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理、平面向量加法的几何意义，结合锐角三角函数定义、正弦定理进行求解即可. 【详解】设，， 因为， 所以， 因为是边的中点，且，所以 ， 在中，由余弦定理，得， 所以有，解得，，或舍去， 所以，是边的中点， 因此，所以， ， 所以， ， ， 由正弦定理，得. 【例5.4.】 在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. (1)求； (2)设的中点为，，求的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、用和、差角的正切公式化简、求值、利用正切函数的单调性求参数、几何图形中的计算 【分析】（1）法一：根据三角形内角和以及三边之间的关系可得，再由正切函数单调性可得，即. 法二：假设，所以，根据正切函数单调递增，所以这与矛盾，即可得出结论； （2）由两角和的正切公式计算可得，利用等量代换联立解方程组计算可得，，也可以根据整数要求讨论得出结论，再求出，，最后利用正弦定理和余弦定理计算可得. 【详解】（1）法一： 在中，因为，所以， 又，所以，所以， 且在内单调递增，所以， 又为整数，所以，即. 法二： 在中，因为，所以， 所以为锐角，， 假设，所以， 又在内单调递增，所以， 又，所以，与矛盾， 所以， 又为整数，所以，即. （2）因为，所以， 即， 且，设，，由，可得 由于，，均为整数且，，解得，或， 解得，即，； （另解：可化为， 由，为正整数，且， 所以，，即，）； 所以，. 在中，由正弦定理得， 所以，. 在中，由余弦定理得； 所以. 题型6：高的问题 方法提炼 设分别为边上的高，则 . 【例6.1.】 记中的内角所对的边分别为，且 (1)求; (2)设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用两角差公式和三角形内角和，将等式左边进行化简，再利用正弦定理，即可得角； （2）利用中线向量公式表示，两边平方进行化简，再结合面积公式和余弦定理，即可求得，从而计算面积. 【详解】（1）依题意，， 所以， 又因为， 由正弦定理可得，所以， 因为，，所以， 又因为，所以． （2）依题意，，所以， 又由的面积，依题意，，所以， 由余弦定理可得，，所以， 所以，即，所以， 解得或（舍）． 所以的面积． 【例6.2.】 在中，内角A，B，C所对的边分别为边上的高为． (1)求角的大小； (2)求边的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理得，，结合余弦定理得到，即可得到. （2）利用面积公式化简得到，结合，即可求解边的长. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得，， 由余弦定理得， 而，所以. （2）由边上的高为，得三角形面积，又， 则，即，由，得， 而，因此，即，解得， 所以. 【例6.3.】 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）结合余弦定理及同角三角函数关系求得，由此求得，最后得出. （2）结合三角形的面积公式及两角和正弦公式计算求解. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得，所以， 所以 因为，所以， 又因为，所以，所以； （2）设AB边上的高， 由三角形面积公式得， 因为，所以， 因为为的内角，所以， 因为，由正弦定理得，所以. 【例6.4.】 在中，角的对边分别为，满足为边上的高且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换求角； （2）结合三角形面积公式、余弦定理和正弦定理，通过边的比例关系求解面积. 【详解】（1）由正弦定理，将转化为， 因为， 所以， ，由于，故， 又，所以. （2）由（边上的高），得的面积. 又，故，即. 由余弦定理，. 已知，代入得：. 设（），则，解得（正根），即. 结合与，可得，，故. 【例6.5.】 已知分别为的三个内角的对边，若边上的高，，且． (1)求的大小； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理即可求解； （2）通过求得，再由面积公式即可求解. 【详解】（1）（1）因为， 所以，即， 所以， 因为， 所以； （2） 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以的面积 【例6.6.】 已知的内角，，对应的边分别为，，，为边上的高，若，则____. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】借助同角三角函数基本关系及三角恒等变换公式化简后，利用等面积法与正弦定理将边化为角计算即可得解. 【详解】，同理， 故 ， 又，则， 由正弦定理可得， 化简得，故. 故答案为：. 【例6.7.】 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)点在直线上，且．若，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由余弦定理得，结合已知条件运算得解； （2）由结合诱导公式可得或，结合已知条件可得或，求得，再根据运算得解. 【详解】（1）由余弦定理得，. 又，故，     所以，又， 所以，故而. （2）由，知或. 又或，所以只可能是或， 分别解得或（舍去），    故只有如图情况，即在线段上，且，故，， 于是，，即， 故.     题型7：重心问题 【例7.1.】 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，，点G为的重心，求线段AG的长. 【答案】(1)2 (2) 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简边角关系，得到角A的值，再用正弦定理得到外接圆的半径； （2）利用向量，用向量内积的夹角形式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 所以， 则由余弦定理得. 又，所以. 设外接圆的半径为. 则. （2）因为点G为的重心， 所以， 所以 . 所以线段AG的长为. 【例7.2.】 记的内角的对边分别为，已知为的重心． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、已知数量积求模 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得，进而得，再根据余弦定理解方程即可得答案； （2）记边的中点为，则，再根据，结合向量模的公式得，再结合（1），分为锐角和钝角两种情况讨论求解，再求面积即可. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，， 因为，整理得，解得， 所以 （2）由（1）知，记边的中点为 因为为的重心，， 所以，边上的中线长为，即， 因为， 所以， 因为， 所以，当为锐角时，，则由得，解得或，不满足题意，舍去； 当为钝角时，，则由得，解得或， 所以，当，的面积为 当，的面积为. 【例7.3.】 在中，已知边上的两条中线相交于点 (1)求长 (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理求解，进而结合三角形重心性质和余弦定理求解； （2）由余弦定理求解，进而结合余弦定理和三角形重心性质建立关于的关系式求解即可. 【详解】（1）已知，由余弦定理得： ， 故. 是中线，交点是的重心，重心分中线比为，，延长到点，使，连接： 因为是中点，，，， 所以，得，且. 在中由余弦定理： 故，又，所以. 由重心性质，得：. （2）如图所示，是中点，所以，在中， 已知，由余弦定理得： 故. 由重心性质得：， 又分别是中点，由中位线性质得. 在中，由余弦定理：， 代入数值计算：， ， 所以. 【例7.4.】 设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，． (1)求AD的长度； (2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，再利用余弦定理，即可求得. （2）首先利用重心的性质，求出AG，再利用余弦定理求出，再结合，解出，最后利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）依据题意，由可得 ，则，， ，，解得， ，解得AD为 （2）G为的重心，，， ，，，， ， 【例7.5.】 在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，______. （1）求角的大小； （2）若，，为的重心，求的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）选条件①，利用三角形的面积公式结合已知条件知，即可求得，利用角平分线求得结果； 选条件②，利用正弦定理得，由余弦定理可知，即可得解； 选条件③，由正弦定理知，利用两角和差化积公式化简得，即可得解. （2）在中，由余弦定理可得，，在中，由余弦定理求得，再利用重心的性质即可得解. 【详解】（1）方案一：选条件①. 由题意可得，∴. ∵为的平分线，， ，即 又，∴，即， ∵，∴， ∴，∴. 方案二：选条件②. 由已知结合正弦定理得， 由余弦定理得， ∵，∴. 方案三：选条件③. 由正弦定理得，， 又，∴， ∴， ∴， 易知， ∴，∵，∴. （2）在中，由余弦定理可得，， ∴，∴. 延长交于点， ∵为的重心，∴为的中点，且. 在中，由余弦定理可得，， ∴，∴. 题型8：外心及外接圆问题 【例8.1.】 在中，已知，点为三角形的外心，则______． 【答案】/ 【难度】0.6 【知识点】用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形 【分析】先根据余弦定理求出的长度，再根据外心的性质以及数量积的定义求解即可. 【详解】中，，由余弦定理可得： ，. 因为点为三角形的外心，所以在上的投影为. . 【例8.2.】 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、正弦定理边角互化的应用、辅助角公式 【分析】利用正弦定理边角互化，再利用辅助角公式求解即可. 【详解】∵，由正弦定理， 得， 即， 而，所以， ∵， 由正弦定理，得， ∴，而， ∴，∴， 因为，所以，∴． 设的外接圆半径为，则， ∴，而， ∴， 故选：C 【例8.3.】 （多选）在中，，直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】ABD 【难度】0.45 【知识点】几何图形中的计算、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】利用向量数量积的运算律计算判断A；利用正弦定理、余弦定理及等面积思想计算判断BCD. 【详解】对于A，由为的重心，得， 则，A正确； 对于B，由余弦定理得，而为的外心， 由正弦定理得，B正确； 对于C，由为的垂心，则为边上的高，由面积相等可得 ，则，C错误； 对于D，当为的内心时，为的角平分线，故， 由，可得， 解得，D正确. 【例8.4.】 已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求的值； (2)若，，的面积为，求的值； (3)若，，为垂心，为的外心，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、数量积的运算律、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式、余弦定理可得出关于、的方程组，结合可得出、的值，再利用正弦定理求出的值即可； （3）设，根据，，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出关于、的表达式，推导出，，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 即， 即， 因为、，故，可得， 所以，因此，. （2）因为，可得， 因为，由余弦定理可得， 故，所以，解得， 由正弦定理可得，故， 因此，. （3）由平面向量数量积的定义可得， 设，则， 因为，则， 即①， ， 因为，则， 即②， 联立①②得，，故， 取线段的中点，连接，则，如下图所示： ， 同理可得， 因此. 【例8.5.】 在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． (1)求的面积； (2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1） 直接由三角形的面积公式即可求得答案； （2）首先由等面积法可得内接圆的半径，再结合题干给的公式以及正、余弦定理即可求得外接圆半径为R. 【详解】（1）可知，即，解得． （2）可知内接圆的半径． 连接IB、OB，设，则． 不妨设外接圆半径为R，则． 由角度关系，， 因此代入有 ， 整理：． 右式 由于，因此，解得． 题型9：内心及内切圆问题 【例9.1.】 （多选）已知中，分别是角的对边，其中为中点，点为的内心，连接延长交于，下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式，结合内角平分线的性质、同角三角函数关系式逐一判断即可. 【详解】如图，在中，由余弦定理得， 因为，所以. 所以，故A正确； 在中，， 所以，故B正确； 在中，， 又， 故，故C错误； 由已知为的角平分线，由等面积法得 ， 整理得，解得，故D正确. 【例9.2.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且. (1)求； (2)若O为的内心，求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、辅助角公式、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）先根据正弦定理求出，然后利用余弦定理求出. （2）根据三角形面积和内心的性质求出内心到的距离，从而求出的面积. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得. 因为，所以， 所以，所以， 又，所以. 根据余弦定理， 所以. （2）因为是的内心，所以点到三边的距离相等，设为， 则， 所以，解得. 所以. 【例9.3.】 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________. (1)求. (2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】小问1：若选条件①，应用正弦定理，对等式左侧采用角化边即可统一元素，结合余弦定理可得解；若选择条件②，等式右侧据正弦定理边化角，交叉相乘做恒等变换可得解； 小问2：由面积公式，需求两边乘积和夹角，由三角形的内角和定理和内心的性质，可求出夹角，应用余弦定理求两边的乘积即可. 【详解】（1）选择条件①：. 由正弦定理得， 所以. 由余弦定理，得. 因为，所以. 选择条件②：因为，所以，即. 由正弦定理得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以.因为，所以. （2）连接， 因为点是内心，所以. 因为，所以， 所以，所以. 由余弦定理得，即，解得， 所以. 【例9.4.】 如图，在平面四边形中，，，.    (1)当四边形内接于圆O时，求角C； (2)当四边形面积最大时，求对角线的长. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用、几何图形中的计算 【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可； （2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得： ， ， 所以. 又四边形内接于圆， 所以， 所以， 化简可得，又， 所以. （2）设四边形的面积为S， 则， 又， 所以，即 平方后相加得，即， 又， 所以时，有最大值，即S有最大值. 此时，，代入得. 又，所以 在中，可得： ，即. 所以，对角线的长为. 【例9.5.】 如图，内接于的平分线AF交于点G，过G作分别交AB，AC的延长线于点D，E. (1)求证：DE是的切线； (2)已知，点I为的内心，求GI的长； (3)在（2）的条件下，若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、图形的性质 【分析】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）利用相似三角形得，进而得，代入三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）连接OG， ∵的平分线AF交于点，∴，∴，∴， ∵，∴， ∵OG是的半径，∴DE是的切线； （2）连接BI，BG， ∵点I为的内心，∴BI平分平分， ∴， ∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴ ∴（负根舍去），∴GI的长为4. （3）连接GC，在（2）的条件下，同法可得， ∴，∴ 又∵，∴的面积. 【例9.6.】 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则BD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、用和、差角的正切公式化简、求值、几何图形中的计算 【分析】如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、的方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长. 【详解】 由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为. 设圆为的内切圆，该圆与的切点为， 圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线. 因为，故， 故，故（负值舍去）， 同理， 设，则，， 故且， 所以，即， 故，故（负值舍去）. 故，而为锐角， 故，而，因为锐角， 故，， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 故，故，故. 【例9.7.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、平面向量基本定理的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 可得，解得， 因为，所以； 如图所示，设，延长交于点， 则， 所以，同理可得， 过点作， 则 又由，所以, 所以，可得， 即， 因为为的外心，设的内切圆的半径为， 可得， 可得，即， 又因为，即，可得， 由正弦定理得, 又因为，可得，因为且，所以，可得， 所以，可得，. 故选：D. 题型10：托勒密定理 方法提炼 托勒密定理 在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 如图，设四边形ABCD内接于圆O，则有AB·CD＋AD·BC＝AC·BD． 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 不妨在AC上取一点E，使∠ADE＝∠BDC，由∠DAE＝∠DBC，得△AED∽△BCD，所以，即AE·BD＝AD·BC① 又由∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD，△ABD∽△ECD，所以，即EC·BD＝AB·CD②，两式相加得AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 证明：在四边形ABCD内取一点E使∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD，则△ABE∽△ACD所以，又因为，且∠BAC＝∠EAD，所以△ABC∽△AED，所以；由①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·（BE＋ED），所以AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，等号当且仅当点E在BD上，即A，B，C，D四点共圆时成立． 【例10.1.】 克罗狄斯∙托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且.若，则圆的半径为__________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由托勒密定理求解得结合正弦定理求解出从而得到又因为可以求解出进而解得从而求得外接圆半径. 【详解】由托勒密定理，得. 因为，所以.设圆的半径为， 由正弦定理，得. 又，所以. 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故. 故答案为：2. 【例10.2.】 克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在任意平面凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，即圆的内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知某圆的内接四边形的面积为，若为等边三角形，则对角线的长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意可得.利用平面几何知识知，结合和三角形面积公式计算得到. 【详解】由题意可知：.因为，所以. 又由平面几何知识可知，同理， 故 ，即. 故选:D. 【例10.3.】 克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】连接AC，BD．利用正弦定理求出，，，再利用托勒密定理求出，即得解. 【详解】连接AC，BD． 由，及正弦定理，得， 解得，． 在中，，，， 所以． 因为四边形ABCD内接于半径为的圆， 它的对角互补，所以， 所以,所以， 所以四边形ABCD的周长为． 故选：A． 【例10.4.】 （多选）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式依次判断即可. 【详解】对于AB，由于，，， 在中，，即， 在中，，即， 联立两式解得，由于，所以，，故A正确，B错误． 对于C，，故C正确． 对于D，的面积，故D正确． 【例10.5.】 （多选）四边形内接于圆，，，，下列结论正确的有（    ） A．四边形为梯形 B．四边形的面积为 C．圆的直径为 D．的三边长度满足 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】直接利用余弦定理，三角形的面积公式，圆的内接四边形性质，和等差数列的证明对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，，， 连接，由可得，又因为， 所以，， ，， 显然不平行，即四边形为梯形，故A正确； 对于B，在中， ， 在中由余弦定理可得， ，解得或（舍去）， ， ， ，故B正确； 对于C，由B可知，，，则圆的直径不可能是，故C错误； 对于D，在中，，，，满足，故D正确. 故选：ABD. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 解三角形图形问题 目录 题型1：妙用两次正弦定理 2 题型2：妙用两次余弦定理 3 题型3：张角定理与等面积法 4 题型4：角平分线问题 5 题型5：中线问题 8 题型6：高的问题 9 题型7：重心问题 10 题型8：外心及外接圆问题 11 题型9：内心及内切圆问题 12 题型10：托勒密定理 14 题型1：妙用两次正弦定理 【例1.1.】 如图，在平面四边形ABCD中，. (1)当时，求的面积. (2)当时，求. 【例1.2.】 在中，为边上一点，． (1)若，，求的长； (2)求的值． 【例1.3.】 如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 【例1.4.】 已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【例1.5.】 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 【例1.6.】 在中，角所对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若在边上，且，求． 题型2：妙用两次余弦定理 方法提炼 (1) 在中，是线段上一点，连接（如图），则有． 证明：因为，所以．在中使用余弦定理有，在中使用余弦定理有，所以，所以． (2) 平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 证明：因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 【例2.1.】 如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【例2.2.】 圆的内接四边形中，，则四边形的面积是______． 【例2.3.】 中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________. 【例2.4.】 设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____． 题型3：张角定理与等面积法 方法提炼 在中，角所对的边分别为，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：（等面积法） 因为，所以，于是等式两边同除以得． 【例3.1.】 如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【例3.2.】 在中，，的角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【例3.4.】 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且. (1)求角； (2)若角的角平分线交AC于点，点在线段AC上，，求的面积. 题型4：角平分线问题 方法提炼 (1) 角平分线定理 在中，的角平分线交于点（如图），则有. 证明①：（妙用两次正弦定理） 因为，所以，在中使用正弦定理有，在中使用正弦定理有，又，所以。 证明②：（等面积法） 如图，过点作边上的高为，过点分别作边上的高为，因为为的角平分线，所以。 ，， 所以。 (2) 角平分线长：. 证明：（等面积法） 由可得，， 所以。 (3) 斯库顿定理：若是的角平分线，则有. 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 因为，所以 所以。 又因为，所以，即 所以，即 【例4.1.】 已知的面积为，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 【例4.2.】 如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【例4.3.】 如图，在四边形中，是的角平分线． (1)求证：； (2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【例4.4.】 已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点. (1)证明； (2)若，求的长. 题型5：中线问题 方法提炼 中线长定理 在中为的中线，则中线长定理: 证明①：根据平行四边形定理有，所以，即，所以 证明②：（两次使用余弦定理建立等量关系） 在中，， 在中，， 联立两个方程可得：. 证明③：（平面向量法） ，两边平方得 化简得， 又 ，所以. 【例5.1.】 中，，，D为边上的中点，，则的面积为__________． 【例5.2.】 在中，角所对的边长分别为，已知，且. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 【例5.3.】 在中，是边的中点，为边上一点，连接，交于点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. (1)求； (2)设的中点为，，求的长. 题型6：高的问题 方法提炼 设分别为边上的高，则 . 【例6.1.】 记中的内角所对的边分别为，且 (1)求; (2)设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 【例6.2.】 在中，内角A，B，C所对的边分别为边上的高为． (1)求角的大小； (2)求边的长． 【例6.3.】 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若，求AB边上的高. 【例6.4.】 在中，角的对边分别为，满足为边上的高且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； 【例6.5.】 已知分别为的三个内角的对边，若边上的高，，且． (1)求的大小； (2)求的面积． 【例6.6.】 已知的内角，，对应的边分别为，，，为边上的高，若，则____. 【例6.7.】 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)点在直线上，且．若，求． 题型7：重心问题 【例7.1.】 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，，点G为的重心，求线段AG的长. 【例7.2.】 记的内角的对边分别为，已知为的重心． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【例7.3.】 在中，已知边上的两条中线相交于点 (1)求长 (2)求的余弦值． 【例7.4.】 设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，． (1)求AD的长度； (2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度． 【例7.5.】 在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，______. （1）求角的大小； （2）若，，为的重心，求的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 题型8：外心及外接圆问题 【例8.1.】 在中，已知，点为三角形的外心，则______． 【例8.2.】 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例8.3.】 （多选）在中，，直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【例8.4.】 已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求的值； (2)若，，的面积为，求的值； (3)若，，为垂心，为的外心，求的值. 【例8.5.】 在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． (1)求的面积； (2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 题型9：内心及内切圆问题 【例9.1.】 （多选）已知中，分别是角的对边，其中为中点，点为的内心，连接延长交于，下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 【例9.2.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且. (1)求； (2)若O为的内心，求的面积. 【例9.3.】 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________. (1)求. (2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积. 【例9.4.】 如图，在平面四边形中，，，.    (1)当四边形内接于圆O时，求角C； (2)当四边形面积最大时，求对角线的长. 【例9.5.】 如图，内接于的平分线AF交于点G，过G作分别交AB，AC的延长线于点D，E. (1)求证：DE是的切线； (2)已知，点I为的内心，求GI的长； (3)在（2）的条件下，若，求的面积. 【例9.6.】 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则BD的长为（    ） A． B． C． D． 【例9.7.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型10：托勒密定理 方法提炼 托勒密定理 在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 如图，设四边形ABCD内接于圆O，则有AB·CD＋AD·BC＝AC·BD． 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 不妨在AC上取一点E，使∠ADE＝∠BDC，由∠DAE＝∠DBC，得△AED∽△BCD，所以，即AE·BD＝AD·BC① 又由∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD，△ABD∽△ECD，所以，即EC·BD＝AB·CD②，两式相加得AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 证明：在四边形ABCD内取一点E使∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD，则△ABE∽△ACD所以，又因为，且∠BAC＝∠EAD，所以△ABC∽△AED，所以；由①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·（BE＋ED），所以AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，等号当且仅当点E在BD上，即A，B，C，D四点共圆时成立． 【例10.1.】 克罗狄斯∙托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且.若，则圆的半径为__________. 【例10.2.】 克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在任意平面凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，即圆的内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知某圆的内接四边形的面积为，若为等边三角形，则对角线的长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 【例10.3.】 克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 【例10.4.】 （多选）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 【例10.5.】 （多选）四边形内接于圆，，，，下列结论正确的有（    ） A．四边形为梯形 B．四边形的面积为 C．圆的直径为 D．的三边长度满足 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $