6.3 等比数列(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

讲解册 实战高考·数学 6.3 等比数列 高②复习必备 核心知识 ①等比数列的概念；②等比数列前n项和；③等比数列的性质；④等比数列前n项和的性质 我们可以类比等差数列知识来掌握等比数列的有关问题，正确理解和掌握等比数列的定义、通 怎么学 项公式、中项公式以及前项和.类比等差数列的证明来运用定义法和等比中项法证明等比数 列.注重方程思想和转化思想的应用 主要思想、 ①方程思想；②逻辑推理；③分类讨论 方法 ①等比数列前项和公式涉及对公比g的分类讨论忘记讨论致误；②易忽视等比数列的项不为 易错警示 零而致误 学什么 考点内容梳理 考点1 等比数列的有关概念及公式（高考6年2考） 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做 的定义 等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此 等比中项 时，G=ab 等比数列的 (I)若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1g”-1. 通项公式 (2)等比数列通项公式的推广：an=anq”m 等比数列的前 n项和公式 等比数列的i前n项和公式：当q=1时，S,=01;当g≠1时，S-4二)_0二a9 1一q 1-q 考点2等比数列的性质（高考6年2考） 1.若m十n=p十q,则amam=apag,其中m,n,p,q∈N*.特别地，若2=m十n,则anan=a品，其中 m,n,∈N*. 2.a,ak+m,a+2m,…仍是等比数列，公比为gm(k,m∈N*). 3.若数列{a},{b,}是两个项数相同的等比数列，则数列{ba,{pan·gb,}和D也是等比数列 (b,p,q≠0). a1>0,a1<0, 4.若 或 a1<0, 或 则等比数列{an}递减. g>1 0<q<1 则等比数列a,递增若a1>0, 0<q<1g>1, 5.等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的公比q≠一1，前n项和为Sm,则Sm,S2m一Sn,Sm一S2n仍成等比数列，其公比 248 O专题六数列 为. 6.等比数列{an}的通项公式可以写成a.=cg,这里c≠0，q≠0. 7.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn=Ag一A(A≠0，q≠1,0). 8.设数列{a}是等比数列，Sn是其前n项和. (1)Smn=S+gSn=Sm +q"Sn. 若·2…·a=T则工，，…成等比数 (3)若数列{a}的项数为2m,则=9若项数为(2m十1)，则S4-g S偶 ⊙ 怎么考 题型各个击破 题型等比数列的判定与证明 当n≥2时，Sn-1十am-1=n十2，② 题型解读 则①一②，得2a,一a-1=1,则2(am一1) 等比数列的四种常用判定方法 a一1，即。名号分所以数列a一1定 1)定义法：若。二，=qg为非零常数，且m≥ 首项为1，公比为}的等比数列. 2,n∈N*),则{a}是等比数列， (2)等比中项法：若在数列{a,}中，an≠0且 (2)解：(1)，得a-1=1·(，即a.= a品+1=anan+2(n∈N*),则{an}是等比数列. +1 (3)通项公式法：若数列{a.}的通项公式可写 (2 十1，则a an-1 =1+2-1, 成an=cq-1(c,q均为非零常数，n∈N*),则 {an}是等比数列. 则Tn=1+2°+1+21+…+1+2m-1=n十 (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和 1-2m =2m十n-1. Sm=kd-k(k为常数，且≠0，q≠0,1)，则 1-2 {an}是等比数列. 因为y=2,y=x一1在[1，十∞)上为增函 典例已知数列{an}的前n项和为Sn,满足 数，所以数列{2”十n一1}为递增数列. 又T10=210+10-1=1033<2025,T11=21 Sm十an=n+3. +11-1=2058>2025,所以满足Tm>2025 (1)证明：数列{an一1}是等比数列； 的最小正整数n的值为11. (2)记数列{。，2-}的前n项和为T,求满足 解题技法 Tm>2025的最小正整数n的值， 定义法和等比中项法是判定等比数列的常用 (1)证明：由Sn十an=n十3，① 方法，常用于证明题；通项公式法和前n项和 当n=1时，a1+a1=1+3,即a1=2; 公式法常用于选择题、填空题中的判定， ⊙ 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 和为一240，且奇数项的和比偶数项的和大 等比数列前n项和的性质 80,则公比q= 典例(1)已知等比数列{an}共有2n项，其 (2)已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，So 249 讲解 实战高考·数学】 =20,则S0一2S0+So的最小值为 )答案(1)2 (2)-5 204-20q=20(3》°-5， (S寺十S%=-240, 解析：(1)由题意，得 解得 故当g=司时，S。一25十S0取得最小值，最 S寺-S%=80, 小值为-5. S寺=-80， S=-160, 所以9-条=二80=2 选题意图 让学生学会等比数列的前n项和性质的应用， (2)依题意，S10,S20一S10,S30一S20成等比数 在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成 列，且S10=20,不妨令其公比为q(q>0),则 立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外， S20-S10=20q,S30-S20=20q, 解题时注意设而不求思想的运用，同时学会转 ∴.S30-2S20+S10=(S30-S20)-(S20-S10)= 化与化归思想的应用. 6.4 数列求和 ⊙ 丝高型复习必备 核心知识 ①分组求和法；②并项求和法；③裂项相消法；④错位相减法 该专题我们需要掌握裂项相消法和错位相减法，解决裂项相消法问题主要能够正确的进行裂 怎么学 项，解决错位相减法问题主要能正确进行错位对齐进行相减，运算量较大，同学们需要重点练习 主要思想、 ①转化与化归；②函数与方程思想；③分类讨论 方法 ①在分组求和时，因分组不合理而致误；②写出“S”与“qS,”的表达式时未将两式“错项对齐”导 易错警示 致计算失误 ⊙ 学什么⊙ 考点内容梳理 ⊙ 考点数列求和的常用方法（高考6年2考） 几种数列求和的常用方法 ()分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时 可用分组求和法，分别求和后相加减： (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消（注意消项规 律)，从而求得前n项和. 常见的拆项类型， a十0a+a+]等： 1 11n+2 =1 1 ②指数型：2*1-2-一202'nm41.2n·2m+)·2等 250