6.2 等差数列(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

讲解册 实战高考·数学 ⊙ 怎么学 本节压轴归纳 ⊙ 考查内容 W3-√3 a4= =0, 数列的周期性 1+√3X√3 所以数列{a}的取值具有周期性，且周期为3. 典例在数列{a}中，a=0,a+1= 3+a,S, 1-√3a 又a1+a2十a3=0, 是数列{a}的前n项和，则So2s= 所以S2026=S3×675+1=a1=0. )答案0 选题意图 √3十am,所以a2= 解决数列的周期性问题，让学生学会归纳猜想 解析：因为a1=0,an+1= 1-√3am 的方法，能够体会由特殊到一般的解题思路， +3=23=-3, 3=8,a-1-3X8 解决该类题目先求出数列的前几项，归纳出数 1 2 列的周期，再根据周期性求值. 6.2 等差数列 ⊙ 考什么 高效复习必备 ①等差数列的概念；②等差数列的性质的应用；③等差数列前项和公式的应用；④等差数列前 核心知识 n项和的性质的应用 本节课我们主要需要掌握的一是等差数列的判定，解决这类问题可以采用等差数列定义法和等 怎么学 差数列中项法进行判定；二是等差数列性质的应用，熟记等差数列的性质，结合不同等差数列情 景去套用性质，熟练解决该类问题，同时熟练应用方程思想和整体思想来解决问题 主要思想、 ①方程思想；②逻辑推理；③分类讨论；④整体思想 方法 易错警示 ①在“知三求二”时运算不过关致误；②应用性质时出现错误 ⊙ 学什么⊙ 考点内容梳理 考点个 等差数列的定义（高考6年4考） 般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列 等差数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an 的定义 an-1=d(常数)(n≥2，n∈N*) 等差中项 由三个数a,A,b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A=a十b 等差数列的 (1)通项公式：an=a1十(n-1)d. 有关公式 (2)前n项和公式：S=a+"2D1或S,-a寸） 2 244 O专题六数列 考点2等差数列的性质（高考6年2考） 1.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p十q=s十t,则ab十a,=a,十a,(,q,s,t∈N*). (2)等差数列{an}的单调性： 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{a.}是递减数列； 当d=0时，{a,}是常数列. 2.等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列(a,的前n项和S。-号2+(a一号)n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{a}中，若a1>0,d<0,则Sn存在最大值；若a1<0,d>0,则Sn存在最小值， 3.等差数列通项公式的推广：a,=am+(n一m)d(m,n∈N*) 4.已知数列{an}的通项公式是an=pn十g(其中p,g为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公 差为p. 5.数列{an}是等差数列台Sn=An2十Bn(A,B为常数).这里公差d=2A 6.若，么均为等差数列且其前项和为S,工…则哈 7.若等差数列{a}的项数为偶数2n,则 (1)Sm=n(a1十ar)==n(a.十a+1);(2)S偶-S6=d,查=a S偶an+1 8.若等差数列{an}的项数为奇数(2n十1)，则 (1)S+1=(2n+1)a+1;(2)=n+ S偶 怎么考⊙》 题型各个击破 题型一等差数列的判定与证明 丽已知数列{a,}满足a1=号，当n心≥2时， 题型解读 判断数列{an}是等差数列的常用方法 an nan-1+1 n+1 (1)定义法：对于数列{an},an一am-1(n≥2，n∈ (1)证明数列{(n十1)an}是等差数列，并求 N*)为同一常数台{a}是等差数列； {an}的通项公式； (2)等差中项法：对于数列{an},2an-1=an十 am-2(n≥3，n∈N*)成立台→{an}是等差数列； (2)证明：2+++01<n十3 a1 a2 an 41 (3)通项公式法：an=pn十q(p,q为常数)对任 意的正整数n都成立台{an}是等差数列； 《①)解：因为a=十是，所以m+1)a,日 (4)前n项和公式法：验证Sn=An2十Bn(A,B nan-1十1，即(n+1)am-na-1=1, 为常数)对任意的正整数n都成立台{an}是等 又因为2a1=1,所以{(n十1)an}是首项为1， 差数列. 公差1的等差数列， 245 讲解 实战高考·数学 新以(n+1)a.=n, 项和为Snm,且S0=S5.求当n取何值时，S,取 所以an平 得最大值，并求出它的最大值. 解：方法一（函数法）： (2)证明：因为+1=（n十1)2 a,n(n十2) =1+ n(n+2) 因为a1=20,So=S5,所以10×20+10X9d 2 1中份十 =15×20+15X14a,解得d=-号， 2 所以要++…+安=[1+-】+ an s.=20m+2D.(- +125,n 5 2 6 [1+2合++[1+日十2)】 24 日品》 因为n∈N*,所以当n=12或13时，Sn有最大 因为n1>0,十2>0， 值，且最大值为S12=S13=130. 方法二（图象法）： 所以+号(1+-十2)< n+1- 因为等差数列{a.}的前n项和Sn是关于n的 二次函数，且S10=S15, +21+2)=+3 所以10×20+1094=15×20+15X14,所 解题技法 证明一个数列为等差数列一般采用定义法和 以d=-5 等差中项法；通项公式法和前项和法一般应 又1015=12.5， 用于选择题和填空题」 2 题型二等差数列的前n项和及其最值 所以当n=12或13时，Sn取得最大值 题型解读 因为s=S=12×20+12X×()= 求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法 130,所以最大值为S12=S13=130. (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表 方法三（邻项变号法）：因为a1=20,S10=S15, 达式Sm=an2十bm,通过配方或借助图象求二 所以10×20+10X94=15×20+15X14,所 2 次函数的最值的方法求解.特别提醒，n∈N. (2)邻项变号法： 以d=-5 am≥0， ①当a1>0,d<0时，满足 的项数m am+1≤0 a=20+6m-1×(号）-+要 使得Sm取得最大值Sm; 因为a1=20>0,d=- <0，所以数列a是 am≤0， ②当a1<0,d>0时，满足 的项数m 递减数列. am+1≥0 使得Sn取得最小值Sm: 由an= 号+5≤0，得≥l13,即ag=0 典例2在等差数列{an}中，已知a1=20,前n 当n≤12时，am>0; 246 O专题六数列 当n≥14时，a.<0. （-)=130. 所以当n=12或13时，S取得最大值，且最大值 为s=s=12x20+121×(号》=13m 解题技法 读 想 算 思 方法四（性质法）： 函数法 数形 由S10=S15,得S1s-S10=a1+a12+a13+a14 S10 前n项和Sn 图象法 结合 +a15=0,所以5a13=0,即a13=0. S15;求 求最 邻项变 又d=器二=-号，所以当m=12或13时， Sm的最 通项an 值的 号法 13-1 大值及 转化 方法 性质am十an=ap十 Sn有最大值， 相应n 化归 性质法 ag(m+n=力+g,m, 且最大值为S2=Sg=12×20+12X1卫× 的值 n,p,q∈N*) 么学 本节压轴归纳 考查内容 所以S2026=-2026. 等差数列前n项和的性质的应用 (2①会-则-=淡司 典例(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项 11 S2026_ 和，若a=-2026,20262034=2,则S28 Γ19^ ②若会号-是则可设8=(2 (2)有两个等差数列{a,),{bn},其前n项和分 n)k,T=(3n2+n)k, 别为Sm,Tn 所以a5=S5-S4=45k-28k=17k,b4=T4- ①会-则- T,=52k-30k=22k,所以%=7。 b422 ②者是-领则 选题意图 让学生学会等差数列的前n项和性质的应用， )著案-2026(2)0唱@号 本题应用了若{an}是等差数列，Sn是其前n项 解析：(1)由等差数列的性质可得 Sm)也为等 和，则}也是等差数列若a,伍均为等 差数列，设其公差为d,则S S2024=2d 2026 2024 差数列且其前n项和分别为Sn,Tm,则= bn =2,所以d=1所以器=昌 +2025d= 今1这两个性质，这两个性质在高考中经常 T2n-1 -2026+2025=-1, 考查，需要灵活记忆， 247