5.1 平面向量(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

专题五 平面向量与复数 目 5.1平面向量 ⊙ 考什么 高效复习必备 ①平面向量的运算；②平面向量的基本定理；③平面向量数量积及性质；④平面向量数量积的 核心知识 应用 我们要熟练掌握平面向量数量积的公式，抓住平面向量“形”的特征，灵活利用平面图形求解模 怎么学 与夹角等问题，并能灵活转化为坐标运算或利用几何意义求解，高考即可顺利过关 主要思想、 ①数形结合；②逻辑推理 方法 ①对平行向量的理解不到位而致误；②根据α·b的符号判断角的大小致误；③不能正确的运用 易错警示 基底表示向量 学什么⊙ 考点内容梳理 考点平面向量的概念及线性运算（高考6年2考） 1.向量的有关概念 向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度（或称模） 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 2.向量的线性运算 向量运算 法则（或几何意义） 运算律 a+b 交换律：a十b=b十a; 加法 a a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 三角形法则 平行四边形法则 减法 b a-b a-b=a+(-b) a |a=a|,当λ>0时，a的方向与a的方向相同； λ(a)=()a; 数乘 当入<0时，a的方向与a的方向相反； (入十)a=a十pa; 当入=0时，a=0 A(a+b)=Xa+Xb 233 讲解 实战高考·数学 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=a. 知识拓展 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终，点的向量， 即A1A2十A2A十A3A十十A,-1A。=A1An,特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和 为零向量 2.在△ABC中，若D为BC的中点，则A币-号(Ai+AC, 3.对于任意两个向量a,b,都有1|a-b≤a士b≤a十b. 考点2平面向量基本定理及坐标表示（高考6年2考） 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 平面向量 对实数入1,2，使a=λ1e1十入2e2.若e1,e2不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量 基本定理 的一个基底 平面向量的 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解 正交分解 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模： 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 平面向量的 a+b=(x+x2,y1十y2),a-b=(x1-x2y-y2),aa=(Ax1入y1),a=√x十y. 坐标运算 (2)向量坐标的求法： ①若向量的起，点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标。 ②设A(x1,y),B(x2,y2),则A市=(2-12一y),AB1-√(x2-)2+(2-h 平面向量共线 设a=(x1y),b=(x2,y2),其中b≠0，则a∥b台x1y-x2y1=0 的坐标表示 知识拓展 1.若a与b不共线，且a十2b=0,则λ=u=0. 2已知P为线段AB的中点，若A),B),则P点坐标为（色乎，吉2） 2 3,已知△ABC的重心为G,若A(aM),B(22),C(),则G(西+十，士+当 3 3 考点3平面向量的数量积（高考6年1考） 1.向量的夹角 已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点，作OA=a,O克=b,则∠AOB=0(0≤≤π)叫 做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们把数量a|bcos0叫做向量a与b的数量积， 记作a·b 234 O专题五平面向量与复数 3.平面向量数量积的几何意义 A 设α，b是两个非零向量，它们的夹角是0，e是与b方向相同的单位向量， AB=a,CD=b,过A的起点A和终点B,分别作C币所在直线的垂线，垂 足分别为A1,B,得到A1B,我们称上述变换为向量a向向量b投影， C A B D A1B叫做向量a在向量b上的投影向量.记为acos0e. 4.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a. (2)(a)·b=λ(a·b)=a·(b). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 5.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(01,y),b=(x2,y2),a与b的夹角为0. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b=albcos0 a·b=x1x2+y1y2 模 |a=√aa |a=√x+y 夹角 cos -a a·b cOS 0=- x1x2十y1y2 √x十y/x十y a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 la·b1与alb的关系 la·bl≤al|bl |x1x2+yM1y2≤√(x+y)(x+y2) 知识拓展 1.平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a十b)·(a-b)=a2-b;(2)(a士b)2=a2±2a·b+b. 2.有关向量夹角的两个结论： (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或元. 3向量口在向蛋b上的钱形向董为的，名 丝题型各个击破 题型一平面向量线性运算的解题策略 2.平面向量坐标运算的技巧 题型解读 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则（或运 算律)进行求解，若已知有向线段两端点的 1.平面向量基本定理解决问题的一般思路 坐标，则应先求向量的坐标 (1)先选择一个基底，并运用该基底将条件 (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标 和结论表示为向量的形式，再通过向量的运 相同”这一结论，由此可列方程（组）进行 算来解决. 求解. (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基 (3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标 底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平 系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有 面几何的一些性质定理. 235 讲解册 实战高考·数学 时更简单 (2)利用坐标运算，若a=(1,y),b=(x2, 3.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 y2),则a·b=c1x2+yy2. (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0， (3)利用基底法求数量积， 则a∥b的充要条件是x1y2=x2yM. (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时， 2.求平面向量模的方法 可设所求向量为a(入∈R) (1)若a=(x,y),利用公式a=√x2+y. 典例1(1)已知平行四边形ABCD的对角线的 (2)利用1a=√a 交点为P,则PA+2PB+2PC+P方=() 3.求平面向量的夹角的方法 A.AD B.DA a·b C.AB D.BA (1)定义法：cos9-Tab0的取值范围为 (2)已知向量a=(1,2),b=(m,3).若 [0,π]. (a-b)∥(a+2b),则m= (2)坐标法：若a=(,y1),b=(x2,y2),则 )答案(1)C(2)号 cos 0= x1x2十yhy2 √+y听·√+y吃 解析：(1)在☐ABCD中，PA+2PB+2PC+ (3)解三角形法：把两向量放到同一三角 P方=PA+2P克-2PA-Pi=P克一PA 形中。 =AB (2)a-b=(1-m,-1),a+2b=(1+2m,8), 民配(1已知单位向量a,b满足a·b=子， 因为(a-b)∥(a+2b),所以8(1-m)+ 则a+b在a上的投影向量为() (1+2m)=0,即9-6m=0,得m=3 1 A.ga 解题技法 (2)在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2, 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是 ∠A=60°，DM=3M心，则AM·BM=() 利用平行四边形法则或三角形法则进行向 A.1 B多 C.2 D.3 量的加、减或数乘运算。 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (3)已知平面向量a,b满足a=(1,-√3)，b 是：先选择一个基底，并运用该基底将条件 =2,1a+b|=2,则向量a与向量b的夹 和结论表示成向量的形式，再通过向量的运 角为( ) 算来解决 3.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加 A哥 B军 c.晋 D. 3 法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向 )答案(1)C(2)D(3)D 量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一 原则，化归为方程（组）进行求解. 解析：因为a=b=1,a~b=3,所以a十b 题型口平面向量的数量积及应用 在a上的投影向量为a·(a+b)·a= |a2 题型解读 1.计算平面向量数量积的主要方法 (a2+a…b)·a=4a (1)利用定义：a·b=|abcos(a,b) (2)如图： 236 0专题五平面向量与复数 (3)由a=(1,-√3)，得al=√12+(-√3)=2，由 a十b=2,得a2++2a·b=4,而b=2, 解得a…b-2,则osa,b=日治-号 -2 以{AB,AD)为基底，则A=16,A心=4， 2,而0≤(a,b)≤，因此(a,b》=2 Ai.Ad=4X2cos60°=4. , 且AM=AD+DM=子A$+AD,BM=BC+ 所以向量a与向量b的夫角为受 CM=-}A$+A市，所以AM·B脑= 解题技法 利用数量积公式可以解决向量的模、投影、向 (AB+A0)·(←A+A)=-是A亦+ 量夹角、最值（范围）等，要注意结合数量的定 2A恋.+7A迹=一爱×16+号×4+4=3， 义法和坐标法灵活来求解 么学 本节压轴归纳 考查内容 则A夜=A它+A市= AB IABI 平面向量在几何中的应用 典例（多选）在△ABC所在平面内有三点 Ac ,所以A泸=( AB ACI O,N,P,则下列命题正确的是() A.若PA·PB=Pi·P心=P心·PA,则P是 惑)=0。 △ABC的垂心 又因为AQ平分∠BAC,故AP必经过△ABC B.若A=A( AB AC ,则直线AP必过 的内心，故B错误； 对于C,因为OA1=|O1=|O心，所以O到 △ABC的外心 △ABC的三个顶点距离相等，所以O为 C.若1OA|=|Oi1=|OC1,则O为△ABC的 △ABC的外心，故C正确； 外心 对于D,记AB,BC,CA的中点分别为D,E, D.若NA+N+NC-0,则N是△ABC的 F,由题意NA+N=2ND=-N心，则NC= 重心 2ND,同理可得NA=2NE,NB=2NF,则N )答案ACD 是△ABC的重心，故D正确. 解析：对于A,由题意可得PA·P-P克.P心 选题意图 =Pi·(PA-PC)=PB·CA=0, 让学生学会利用平面向量解决平面几何问题， 所以PB⊥AC,同理可得PA⊥BC,PC⊥AB, 本题为运用平面向量解决四心问题，四心问题 故P为△ABC的垂心，故A正确； 是高考考查的重点和难点，利用数形结合法， 对于B知因，授心-语，A= AB AC 心，则 挖掘几何特征，进行求解；并总结用向量方法 A=A=1, 解决平面几何问题的步骤为：平面几何问题 以AE,AF为邻边作平行四边形AEQF,则平 设向感向量问题计算解决向量问题还原解决 行四边形AEQF为菱形， 几何问题 237