4.3 解三角形(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

讲解 实战高考·数学 又角速度w=酒=药（孤度/秒），当=0时， 6030 再次进入水中用时为 =40(秒)，故A 30 ∠0n=吾，所以w09=-百， 错误； 当水轮转动50秒时，半径0P,转动了50×弱 所以点P距离水面的高度H=2sin(需t一需） +1,当水轮转动150秒时，将t=150代入，得 -晋（孤度)，警吾-受点P正好处于最 H=2,所以此时点P距离水面2米，故C 低点，故B正确； 正确； H 将H=1+3代入H=2sin(0-)+1中， 得61一吾=2kx+5或5-吾-2x+红，解 得t=60k+15或t=60k+25(k∈N). 建立如图所示的平面直角坐标系， 所以，点P第二次到达距水面(1十√3)米时用 设，点P距离水面的高度H=Asin(awt十p)十B 时25秒，故D正确. (A>0,w>0), 选题意图 (Hmax=A+B=3, 让学生学会通过已知函数模型求解数学问题， 由 Hm=-A+B=-1, 这类问题就是把实际问题抽象转化成数学问 A=2, 题，利用三角函数的有关知识解决问题，考查 解得 B=1, 了数学建模的数学核心素养 4.3 解三角形 黑 高效复习必备 ①正弦定理及余弦定理的应用；②三角形面积公式的应用；③你能够运用正弦定理和余弦定理 核心知识 解决一些简单的三角形度量问题 我们要熟练应用正弦定理和余弦定理，弄清这类问题主要以三角形为依托，考查求解三角形中 怎么学 的边、角、面积等问题，所以掌握边角之间的灵活转化是解题的关键 主要思想、 ①转化与化归；②整体思想；③分类讨论；④数形结合 方法 ①已知两边和其中一边的对角，解三角形出现增解而致误；②处理三角形中的三角函数求值时， 易错警示 要注意角的范围；③图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错，对仰角、俯角等概念 理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错 224 ○专题四三角函数与解三角形 总内容梳理 ⊙ 考点1正弦定理、余弦定理（高考6年6考） 1,正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2=62+c2-26ccos A; 内容 a b sin A sin B-sin C=2R b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+62-2abcos C (1)a=2Rsin A,6=2Rsin B,c=2Rsin C; cosA=6+c2-a2 2bc ； 变形 (2)snA-录snB=尔sinC-录： cos B=cta-6 2ac (3)a:b:c=sin A:sin B:sin C cosC-a2+62-c2 2ab 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 AB------B A---B B 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 考点2三角形的面积公式（高考6年3考） 三角形中常用的面积公式 (1)S=h.表示边a上的高)， (2)-absin C-acsin B-besin A; (3)S=r(a+6什c)(,为三角形的内切圆半径)： (④)S=√p(p-a)(p-6(p-o)(b=2(a+b什c)月 225 讲解册 实战高考·数学 知识拓展 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A+∠B+∠C=元. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)a>bk台→A>Bsin A>sinB,cosA<cosB. (4)sin(A+B)=sin C:cOS(A+B)=-cos C:tan(A+B)=-tan C:sin AB-cos 2 2;cos 4+B 2 一领9 (5)三角形中的射影定理. 在△ABC中，a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A十acos B. ⊙ 怎么考 题型各个击破 题型一三角形中的最值（范围）问题 (2)已知M是边BC上的点，AM⊥AB,AM= 题型解读 √3，求2b十c的最小值， 求解三角形中面积和周长最值问题的常用 解：(1)因为牛&=sinA+s血B,所以十g a-b sin C a-b 方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设 a+b,即+2-a2=-bc, 已知A,a,根据余弦定理a2=仔十c2一2 bccos A, 可得cosA=+2-公=。c=-1 2bc 2bc 2 即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系 (I)求面积最值时，S=besin A,即求bc最 因为0<A<π，所以A=2x」 3 值，在等量关系中利用基本不等式2+c2≥ (②)由Sae=SaAw十Sa可得2&· 2 2bc,即可求得bc的最值， 1 (2)求周长a十b十c的最值时，即求b十c的最 2cy5+2b3·2,即bc=2c+b, 值，在等量关系中，把b2+c2换成(b+c)2 可得名+是=1，所以25十c 2,再利用基本不等式6c≤（士），即可求 (25+e2+》=4+答+26+1≥9， 得b+c的最值. 当且仅当b=c=3时等号成立，所以2b十c的 典例1(2025山东威海一模)在△ABC中，角 最小值为9. A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a-b 解题技法 -sin A+sin B 三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角 sin C 三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边 (1)求A; 化角，利用三角函数的范围求出最值或范围 226 ○专题四三角函数与解三角形 题型日解三角形的实际应用 题型解读 1.测量中的几个相关术语 术语名称 术语意义 图形表示 目标 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的 视线 仰角与俯角 角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在 垂 灯仰角 水平 线 俯角 视线 水平视线下方的叫做俯角 人目标 视线 北 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间 方位角 135°东 的夹角叫做方位角，方位角0的范围是0°≤0<360° 北1 北 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达 东 方向角 为北（南）偏东（西）a 北偏东a 南偏西a 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(0为坡角)；坡面的 坡角与坡比 垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即二 =tan 0 2.解三角形的应用题的一般步骤 点C与D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°， (1)准确理解题意，弄清问题的实际背景，明 CD=30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB 确已知与未知，理清量与量之间的关系； =60°，则塔高AB约为( )(单位：米，W2≈ (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象 1.414) 成解三角形问题； (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行 求解； (4)将所得结论还原到实际问题中，注意实 B 际问题中有关单位、近似计算等的要求， 典例2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以 选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基「 A.30.42 B.42.42 227 讲解册 实战高考·数学 C.50.42 D.60.42 2.向量表示 )答案B 在△ABC中，D为BC的中点，则AD= 解析：由题意，在△BCD中，∠CBD=180° }(A序+Ad+2A店ACco∠BAC. 75°-45°=60°， 由正弦定理可知 30 sin45,得30、 BC BC 推导过程：易知AD=号(A+AC, in60° √3 ② 2 2 则A=}(A迹+AC)2=4AE+4AC+ 解得BC=10√6米， 在△ABC中，易知AB⊥BC,∠ACB=60°， 号A|·|ACI cos∠BAC,所以AD序- 于是AB=BC·tan60°=10√6X√3=30√2≈ 子A序+AC+2A应Cco∠BAC. 42.42(米). 题型解读 解题技法 典例3在△ABC中，内角A,B,C所对边的长 解决高度问题的三个注意事项： 分别为a,b,c,且满足cos B C=a sin B. (1)要理解仰角、俯角的定义. 2 (2)在实际问题中可能会遇到空间与平面（底 (1)求A; 面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一 (2)若a=√19，BA·AC=3,AD是△ABC的 个空间图形，一个平面图形 中线，求AD的长 (3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问 解：(1)cos B时C-os(含=sm，所以 题转化为平面问题. 题型三三角形中线及角平分线问题 A=a sin B, b sin2 一、中线问题 由正弦定理，得sin B sin A=sin A sin B, 1.中线长定理 在△ABC中，AD是边BC上的中线，则 :sinB≠0，.sin A-sin A, AB2+AC=2(BD2+AD2). ∴.sin A。A 推导过程：在△ABD中，cosB= -2sin 2cos AB2+BD2-AD2 :A∈(0，m,含∈(0，），sin会≠0， 2AB·BD ,在△ABC中，cosB= AB+BC一AC,联立两个方程可得AB 得cos 3 2AB·BC (2).BA·AC=3,∴.bccos(π-A)=3,得bc +AC=2(BD2+AD2). =6, 由余弦定理可得b2十c2=a2十2 bccos A=13, A市=2A+AO, 228 ○专题四三角函数与解三角形 1市2=4(A弦+AC)2=是(e+B+ 2ccos A. 2oosA)=子，所以AD=7,即AD的长 为 2· (1)求∠BAC的大小； 解题技法 (2)若b=4,c=6,设AD为三角形ABC的角 解答三角形的中线问题的两种思路. 平分线，求AD的长 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边 解：(1)由acos B+bcos A=2 ccos A, BC上的中线，则AB+AC2=2(BD2+AD), sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A. 体现了算“两次”的思想. (2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的 又因为sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B) =sinC,所以2 sin Ccos A=sinC. 中线，则A亦=1(B+2+26cosA). 二、三角形的角平分线问题 又因为C∈(0，x),snC>0,所以cosA=2 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠BAC, 又因为A∈(0，)，所以A=5 B,C所对的边分别为a,b,c. (2)因为SABAD十SADAC=SABAC, 所以2AB·ADsin∠BAD+2AD·AC· (1)内角平分线定理：若AD为△ABC的内角 sin∠DAC=2AB·ACsin∠BAC ∠BAC的平分线，则怨肥 又因为AB=c=6,AC=b=4,∠BAD= (2)因为SABD十SAcD=SAC,所以立C· 1 ∠DAC-2∠BAC-S, ADsin∠BAC+号名·ADsn ∠BAC 2 所以6ADX号+4MDX号6×4X,所以 .1 =2 bcsin∠BAC, AD=123 5 所以(b+c)AD=2bcos∠BAC,整理可得 解题技法 2 解答三角形的角平分线问题一般有两种思路： 2bccos ZBAC AD- 2 一是内角平分线定理；二是等面积法.已知 b+c 一（角平分线长公式）. AD是△ABC的角平分线，则 典例4如图，已知三角形ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acos B+bcos A= (是-82，(2)5a四+Saw=5m 229 讲解册 实战高考·数学 黑 么学 本节压轴归纳 考查内容 (2)解：由(1)知，∠BAD=∠CAD= 三角形中的证明问题 3∠BAC,因为caS∠BAC-石，且△ABC为 典例已知在锐角△ABC中，sinA=2sin2C -sin(B-C),D为BC边上一点，且Ci= 锐角三角形，所以AD-A+BD-A+}BC 2 DB. =A+号(AC-A=号a店+}A心， (1)证明：AD平分∠BAC; (2已知us∠BAC-名求C 即1A心2=号A店2+号|A恋1·1AC· (1)证明：由题意，sinA=2sin2C-sin(B- cos∠BAC+寸IAC, C),且A十B+C=π， 则a=号c+号c·2c+ ·(2c)2= 所以sin(B+C)=2sin2C-sin(B-C), 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin2C-(sinB· 故AD总 256c2 cos C-cos Bsin C), 在△ABC中，由余弦定理，得 所以2 sin Bcos C=4 sin Ccos C. 又因为△ABC为锐角三角形，所以cosC≠0， Cos∠BAC= AB+AC-BC4-BC 2AB·AC 2·c·2c 所以sinB=2sinC. 25: 由正弦定理得b=2c.在△ADB中，由正弦定 16c 理得 BD 解得BC= ,所以" 15 16 Fsin∠ADB sin∠BAD' 5 BC 97c 3√97 在△ADC中，由正弦定理得 sin∠ADC =1697 DC 291 sin∠CAD 选题意图 因为∠ADB十∠ADC=π，所以sin∠ADB= 平面几何图形中的证明问题，体现了学生灵 sin∠ADC,所以sin BAD_bsin∠CAD BD DC 活运用逻辑推理能力和数学运算能力，在证 又因为C市=2Di,即CD=2DB,且b=2c,所 明过程中要学生转化到三角形中去求解，利 以sin∠BAD=sin∠CAD, 用正、余弦定理通过运算的方法加以解决. 所以AD平分∠BAC 在解决某些具体问题时，常先引入变量，如 边长、角度等，然后把要解三角形的边或角 用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理 推理证明即可. 230